湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷（含解析）

湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题一、单选题1．在等差数列中，，则（）A．108 B．62 C．56 D．542．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（

）A． B．120 C． D．2403．设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B．3 C．1 D．4．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（

）参考数据：若，则，，.A．6636 B．8186 C．8400 D．97595．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（

）A． B． C． D．6．用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（

）A．280 B．420 C．720 D．16807．已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．8．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（

）A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人B．随机变量C．随机变量的数学期望为D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则10．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（

）A．的离心率为2 B．的渐近线方程为C． D．若，则11．如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（

）A．的取值范围是B．函数有两个极值点C．当时先减后增且恒为负D．三、填空题12．在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______13．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________．四、解答题15．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．(1)证明：；(2)若点是中点，求点到平面的距离．17．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；(2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；（ii）求使得最大时的值．（参考数据：；若，则有，，）18．如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为．(1)求椭圆的标准方程：(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点．（ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标：（ⅱ）求面积的最大值．19．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若，求的最大值；(3)若函数有零点，证明：．参考答案1．D【详解】在等差数列中，，解得，所以.2．D【详解】由题意，时，所以二项式为，其中的展开式通项为，，所以，则，此时，，则不是整数，故该项不存在，综上，展开式中含项的系数为.3．B【详解】设公比为，当时，不符合题意；当时，又，所以，解得.故选：B4．C【详解】由已知，所以，故数学分数介于75到115之间的人数为.5．C【详解】表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为：正、次、正：概率为；次、正、正：概率为；．6．A【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字，将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列，捆绑后共个元素，由重复元素的排列公式得，因此符合要求的十位数个数为280.7．B【详解】圆，圆心，半径是圆的两条切线，，由圆的知识可知四点共圆，且，.又当的值最小，即时，取得最小值.的最小值为.8．B【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为．9．AC【详解】根据分层抽样的方法，可得：从甲社团抽取的人数为；从乙社团抽取的人数为；从丙社团抽取的人数为；故A正确；由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有，则，此时服从超几何分布，故B错误，则随机变量的数学期望为，故C正确；若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误；故选：AC.10．ABD【详解】双曲线：的渐近线方程为，即.圆：的圆心为，半径为.由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以.对于A：，故A正确.对于B：，所以渐近线方程为，故B正确.对于C：，，因为，所以点的横坐标为，代入双曲线方程，解得.取，则，，所以，故C错误.对于D：若，则，，，，.直线方程为，即.圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，故D正确.11．ACD【详解】由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解.令，则，令，.极大值又，，的取值范围，A选项正确.∵f(x)=kx-lnx(x>0)，，令，得由f'(x当，，单调递减；时，，单调递增.是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确.在递增，在递减，∴0<x1<e<x∵lnx1<1，∴k∴1x2<12．【详解】在第一次取到不合格品后，在余下9件产品中有5件合格品，4件不合格品，所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为.13．2025【详解】解：因为，所以，，令，得，又，所以的对称中心是，所以，所以．14．6【详解】如图所示，设过F的直线AB的方程为，

联立直线与抛物线方程，可得，整理得，设，，由韦达定理，所以AB的中点M满足，，即，又垂直平分线EM的斜率为，所以EM的方程为，展开整理，则EM与y轴的交点满足，即，所以，根据梯形中位线可得，所以，解得，所以，所以．15．(1)，(2)，【详解】（1）因为，则，且，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以.（2）因为,所以，设,则，两式相减可得：，所以，又，所以,16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，，故，故.因为平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.（2）由（1）可得平面，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，故，所以，故，而，设平面的法向量为，则即，取，故到平面的距离为.17．(1)(2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.【详解】（1）因为，所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即．所以，由，得，即.（2）（i）由题意知，且，又，所以二项分布可近似看作泊松分布，所以，所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为.（ii）因为最大，所以，即，解得，又，所以当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.18．(1)(2)（ⅰ）证明见解析，定点坐标为（ⅱ）【详解】（1）由已知可得：，解得：，，所以，椭圆的方程为．（2）（ⅰ）易知点，设点、，则，若直线轴，则，，所以，，不合乎题意，设的直线方程为，联立，整理得，，由韦达定理可得，．因为，且，，所以，，，，，整理得，解得或（舍去），所以，直线的方程为，故恒过.（ⅱ），则．令，则，由对勾函数单调性知，函数在上为增函数，则．所以，当且仅当时，即时等号成立，此时最大值为．19．(1)答案见解析(2)．(3)证明见解析【详解】（1）因为，所以，①若，则，所以在上单调递增；②若，则由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增．（2）法1：由，即e-a-b当，时，a+b=e+1此时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以成立．综上，的最大值为．法2：①若，则当时，，当x<b-所以当且x<b-2②若，则的值域为，