湖南省部分学校2025-2026学年高二下学期期末校内检测数学试卷（含答案）

湖南省部分学校2025-2026学年高二下学期期末校内检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．已知集合，，则下列结论错误的是(

)A. B.C. D.3．若的展开式中的系数为84，则(

)A.4 B.5 C.6 D.74．设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为(

)A.4 B.1 C. D.-15．下列说法错误的是(

)A.已知随机变量X服从正态分布，则B.已知随机变量X服从正态分布，且，则C.已知随机变量X服从正态分布，则D.设随机变量ξ服从正态分布，若，则6．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是(

)A.B.直线的方程是C.四边形的面积是48D.的最大值是7．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法错误的是(

)A.，是互斥事件 B.C. D.，是独立事件8．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是a，则a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知数列的前n项和记为，，则(

)A.是等比数列 B.是等比数列C. D.10．设，，（，），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则下列选项正确的是(

)A. B.C. D.11．如图，已知平面，，是正三角形，，且P，F分别是，的中点，则下列说法正确的是(

)A.几何体的体积是B.几何体的体积是C.与平面所成角等于与平面所成角D.设G为的重心，过点G作平面的垂线，交平面于点H，则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有_____________种.（用数字作答）13．某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据：步时x（单位：s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：）909599103117则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为_______________.（精确到0.01）参考公式：相关系数；参考数据：，，，.14．已知，，，的外心是D，则面积最大时，四边形的面积是__________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知为等比数列的前n项和，若，.(1)求；(2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和.16．（15分）已知函数在区间上的最大值为6，(1)求常数m的值，及在上的最小值；(2)的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求.17．（15分）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到D，C，使得，；平面与平面的交线为l.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)证明：；(3)点Q在l上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长.18．（17分）已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上.(1)当时，求的面积；(2)在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是.①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标；②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点.证明：直线过定点，并求出定点坐标.19．（17分）已知函数，其中实数a为参数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，求证：在上恒成立；(3)若在上恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1．答案：B2．答案：D3．答案：D4．答案：A5．答案：C6．答案：C7．答案：D8．答案：A9．答案：BCD10．答案：ACD11．答案：BD12．答案：1213．答案：0.9514．答案：15．(1)，，.(2)当时，，当时，，也满足的情况，所以，当n为偶数时，，.16．(1)，因为，所以，所以.所以.由.所以在上的最小值为3.(2)，因为，所以.方法一：以点A为原点，建立如图所示的坐标系，则，，设，则，所以，，，，，所以，，，所以或.方法二：按图甲，点P在的角平分线上，，按图乙，点P在的角平分线的反向延长线上，.17．(1)方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角.过点O作于G，连接，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以是两个平面所成的角，根据题意可知，，在中，由等面积可得，则，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.方法二：根据题意可知，，于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，利用点B是的中点确定点C的坐标为，所以，，设平面的法向量为，则，即，故可取，显然平面的法向量可以是，设平面与平面的夹角大小为θ，则，即平面与平面夹角的余弦值为.(2)由题可知，A，B分别是，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，

又平面，平面平面，所以，从而.(3)方法一：由(2)可知，，于是可设，即，又，则，，设直线与平面所成角大小为β，则，当时，取得最小值，则取得最大值.此时，；方法二：由(2)可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等，设这个定距离为d，也就是点O到面的距离.在中，，，由余弦定理，，，在三棱锥中，，设直线与平面所成角大小为β，β为锐角，则，当最小时，β最大，显然，即时，最小.又，，.所以.18．(1)方法一：设，，又，，所以的面积是9.方法二：设，又，，则，，，又，所以，所以的面积是；(2)①设，，则以A，B为切点的切线方程分别为，，且，，于是：对于，，两边分别同乘，相减可得：，；②以点A为切点的切线的斜率为，过点A且与以A为切点的切线垂直的直线方程为，进而得，，所以，同理可得，另一方面，把代入中，得，所以，直线的斜率为，M，N中点的横坐标是，M，N中点的纵坐标是，所以直线方程为，，，，可知直线经过定点.19．(1)由题意可知，的定义域为且.当时，，又，，曲线在处的切线方程为，即；(2)当时，，等价于，

令，则，令，则，在上单调递增，且，，在上存在唯一的零点，此时，

当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增；，在上单调递增；

当时，，，；

当时，；综上可得，在上恒成立，即在上恒成立；

方法二：①当时，；