上海复兴中学2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（2026.6）（含答案）

复兴中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．设复数，则它的虚部是.

2．4与9的等比中项是.

3．在空间中，三个平面最多能把空间分成部分.

4．数列中，，则.

5．若向量，且，则.

6．如图是四边形的水平放置的直观图，则原四边形的面积是.

7．已知等差数列中，，则.

8．设，已知方程的两虚根为，若，则.

9．已知，则在方向上的投影向量的坐标为.10．已知复数，满足（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则.

11．在复平面内，点分别表示复数，已知，且，则向量与的夹角为.

12．已知集合是由函数的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．下列说法错误的是（）.

A．已知复数，若，则B．若，则与共线C．若，则D．已知复数，若，则

14．设是平面向量的一组基底，那么＂＂是＂是钝角＂的（）.A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件

15．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（）.

A．B．C．D．

16．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为．若复数满足，且，则的最小值为（）.

A．B．C．3D．5三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列的前项和满足为正整数．

（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前200项和．18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数．

（1）求实数；

（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加。

（1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）；

（2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？参考公式：月产消毒剂中不合格的量月产量×（1－月产品合格率）

20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知平面上的三角形中，是锐角，在边上的射影满足．点满足，点在直线上，使得．

（1）若，求；

（2）若是中点，求的值；（3）记的中点为，求面积的最小值．

21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于一个向量组且，令，如果存在，使得，则称是该向量组的＂—向量＂．

（1）设且，若是向量组的＂-3—向量＂，求实数的取值范围；

（2）若且，则向量组且）是否存在＂1－向量＂？若存在，求出＂1－向量＂；若不存在，请说明理由；（3）若向量组中的每一个向量均是它的＂-1—向量＂，且，，设在平面直角坐标系中有一点列且，满足为坐标原点，，且且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．

参考答案一、填空题1．2．3．4．5．6．7．8．

9．10．11．12．12．已知集合是由函数的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为.【答案】【解析】由已知设，则，由题意得，若，则，

由或，对应，同理，对应，集合中已经含有点，

∴产生的集合中，点可有可无，至少有一个，

∴的个数为，

若，则，或，或，

对应点，，产生的集合中，中至少有一个，的个数为，

综上，集合的个数为．故答案为：60．二、选择题13.D14.C15.C16.C15．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（）.

A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：延长线法如图，延长，交于点，连接，设，连接，显然分别是的中点，且，四点共面，所以截面为所求的截面．因为正方体的棱长为2，所以，所以四边形的周长为．故选A．

解法二：平行线法如图，取的中点，连接，因为分别为棱的中点，则，在正方体中，，则，所以四点共面，所以平面为所求截面，

因为正方体的棱长为2，所以，，所以四边形的周长为．故选A．16．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为．若复数满足，且，则的最小值为（）.

A．B．C．3D．5【答案】C【解析】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为，

设复数在复平面内对应的点的坐标为，

则，又,所以，即，

，当且仅当在线段上取等号，

当时取等，综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3，即的最小值为3．故选：．三、解答题17．（1）；（2）

18．（1）；（2）

19．（1）19896升；（2）第12个月起20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知平面上的三角形中，是锐角，在边上的射影满足．点满足，点在直线上，使得．

（1）若，求；

（2）若是中点，求的值；（3）记的中点为，求面积的最小值．【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，

由题意可知，，因为，且在轴正半轴上，所以，

因为在上的射影为，且，所以，

在Rt中，，由勾股定理得，

因为是锐角，所以点在第一象限，故

当时，，则故；

（2）由可知，点分线段的比为2：1，设，根据定比分点坐标公式，可得所以，则，因为是的中点，且，所以，则，由，可知代入坐标得：，整理得：，即，

因为，所以；

（3）设，则，由，得，

即，，解得，所以，因为是的中点，所以的横坐标，即，的面积，因为，所以，即，，令，因为，所以，则,代入上式得：，由基本不等式可知，，当且仅当，即时取等号，

此时，解得，符合的条件，所以的最小值为：．21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于一个向量组且，令，如果存在，使得，则称是该向量组的＂—向量＂．

（1）设且，若是向量组的＂-3—向量＂，求实数的取值范围；

（2）若且，则向量组且）是否存在＂1－向量＂？若存在，求出＂1－向量＂；若不存在，请说明理由；（3）若向量组中的每一个向量均是它的＂-1—向量＂，且，，设在平面直角坐标系中有一点列且，满足为坐标原点，，且且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．【答案】（1）；（2）存在，或；（3）12156【解析】（1）由题意可知，所以因为，所以，所以，解得或，所以实数的取值范围是；