湖南师范大学高等数学下答案

湖南师范大学高等数学下答案湖南师范大学高等数学（下）测试题及答案。一、选择题（每题3分，共15分）。1.设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微，且f_x(x_0,y_0)=0f_y(x_0,y_0)=0则函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处（）。A.必有极值B.可能有极值，也可能无极值。C.必有极大值D.必有极小值。答案：B。解析：可微函数在某点处偏导数为0，只是该点为驻点，驻点不一定是极值点，还需进一步判断二阶偏导数等条件，所以函数在该点可能有极值，也可能无极值。2.设D是由x=0y=0x+y=1所围成的区域，则∬_De^x+ydxdy的值为（）。A.e1B.e^21C.(1)/(2)(e1)^2D.(1)/(2)(e^21)答案：C。解析：∬_De^x+ydxdy=∫_0^1dx∫_0^1xe^x+ydy=∫_0^1e^x(e^1x-1)dx=∫_0^1(ee^x)dx=(exe^x)big|_0^1=(ee)-(01)=(1)/(2)(e1)^23.设∑_n=1^∞a_n为正项级数，下列说法正确的是（）。A.若lim_n→∞a_n=0则∑_n=1^∞a_n收敛。B.若lim_n→∞frac{a_n+1}{a_n}=1则∑_n=1^∞a_n收敛。C.若∑_n=1^∞a_n收敛，则lim_n→∞frac{a_n+1}{a_n}≤1D.若∑_n=1^∞a_n收敛，则lim_n→∞na_n=0答案：C。解析：选项A，lim_n→∞a_n=0是正项级数收敛的必要不充分条件；选项B，lim_n→∞frac{a_n+1}{a_n}=1时，无法确定级数的敛散性；选项C，若正项级数收敛，则由比值判别法的极限形式可知lim_n→∞frac{a_n+1}{a_n}≤1选项D，∑_n=1^∞a_n收敛，不一定有lim_n→∞na_n=04.设L是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则曲线积分∫_L(x+y)ds的值为（）。A.√(2)B.(3√(2))/(2)C.2√(2)D.(5√(2))/(2)答案：B。解析：直线L的方程为y=x(0≤x≤1)ds=√(1+(y')^2)dx=√(2)dx则∫_L(x+y)ds=∫_0^1(x+x)√(2)dx=2√(2)∫_0^1xdx=2√(2)×(1)/(2)x^2big|_0^1=(3√(2))/(2)5.微分方程y''2y'+y=0的通解为（）。A.y=C_1e^x+C_2e^-xB.y=(C_1+C_2x)e^xC.y=C_1e^2x+C_2e^-2xD.y=C_1cosx+C_2sinx答案：B。解析：该微分方程的特征方程为r^22r+1=0即(r1)^2=0解得r=1（二重根），所以通解为y=(C_1+C_2x)e^x二、填空题（每题3分，共15分）。1.设z=x^2y+ln(xy)则(∂z)/(∂x)=。答案：2xy+(1)/(x)解析：对z=x^2y+ln(xy)求关于x的偏导数，(∂z)/(∂x)=2xy+(1)/(xy)·y=2xy+(1)/(x)2.交换积分次序∫_0^1dy∫_y^1f(x,y)dx=。答案：∫_0^1dx∫_0^xf(x,y)dy解析：根据已知积分限画出积分区域，再交换积分次序得到∫_0^1dx∫_0^xf(x,y)dy3.幂级数∑_n=1^∞(x^n)/(n)的收敛半径为。答案：1。解析：根据幂级数收敛半径公式R=lim_n→∞|(a_n)/(a_n+1)|这里a_n=(1)/(n)a_n+1=(1)/(n+1)则R=lim_n→∞|(frac{1)/(n)}{(1)/(n+1)}|=14.设→a=(1,1,2)→b=(2,1,1)则→a·→b=。答案：-1。解析：→a·→b=1×2+(1)×1+2×(1)=212=-15.曲线x=ty=t^2z=t^3在点(1,1,1)处的切线方程为。答案：(x1)/(1)=(y1)/(2)=(z1)/(3)解析：x^′=1y^′=2tz^′=3t^2在点(1,1,1)处t=1此时切向量为(1,2,3)所以切线方程为(x1)/(1)=(y1)/(2)=(z1)/(3)三、计算题（每题10分，共60分）。1.设z=f(x^2y^2,e^xy)其中f(u,v)具有一阶连续偏导数，求(∂z)/(∂x)和(∂z)/(∂y)解：令u=x^2y^2v=e^xy则(∂z)/(∂x)=(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂x)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂x)=2xf_1^′+ye^xyf_2^′（5分）。(∂z)/(∂y)=(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂y)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂y)=-2yf_1^′+xe^xyf_2^′（5分）。2.计算二重积分∬_D(x^2+y^2)dxdy其中D是由x^2+y^2≤4所围成的区域。解：利用极坐标变换，x=rcosθy=rsinθD变为0≤r≤20≤θ≤2π（2分）。dxdy=rdrdθ则∬_D(x^2+y^2)dxdy=∫_0^2πdθ∫_0^2r^2·rdr（4分）。=∫_0^2πdθ[(1)/(4)r^4]_0^2=2π×4=8π（4分）。3.求幂级数∑_n=1^∞((x1)^n)/(n·2^n)的收敛域。解：令t=x1则原幂级数变为∑_n=1^∞(t^n)/(n·2^n)先求收敛半径RR=lim_n→∞|(a_n)/(a_n+1)|=lim_n→∞|(frac{1)/(n·2^n)}{(1)/((n+1)·2^n+1)}|=lim_n→∞frac{(n+1)·2^n+1}{n·2^n}=2（4分）。当t=2时，级数∑_n=1^∞(2^n)/(n·2^n)=∑_n=1^∞(1)/(n)发散。当t=2时，级数∑_n=1^∞((-2)^n)/(n·2^n)=∑_n=1^∞((-1)^n)/(n)收敛。（4分）。所以原幂级数收敛域为-1≤x1<2即0≤x<3（2分）。4.计算曲线积分∫_L(x^2y)dx+(y^2+x)dy其中L是由点(0,0)到点(1,1)的抛物线y=x^2解：将y=x^2代入曲线积分，dy=2xdx∫_L(x^2y)dx+(y^2+x)dy=∫_0^1[(x^2x^2)dx+(x^4+x)·2xdx]（4分）。=∫_0^1(2x^5+2x^2)dx=[(1)/(3)x^6+(2)/(3)x^3]_0^1=(1)/(3)+(2)/(3)=1（6分）。5.计算曲面积分∬_∑zdS其中∑是锥面z=√(x^2+y^2)在0≤z≤1的部分。解：锥面z=√(x^2+y^2)z_x=(x)/(√(x^2+y^2))z_y=(y)/(√(x^2+y^2))dS=√(1+z_x^2+z_y^2)dxdy=√(1+frac{x^2){x^2+y^2}+(y^2)/(x^2+y^2)}dxdy=√(2)dxdy（4分）。利用极坐标，x=rcosθy=rsinθ0≤r≤10≤θ≤2π∬_∑zdS=∫_0^2πdθ∫_0^1r·√(2)rdr（4分）。=2π√(2)×(1)/(3)r^3big|_0^1=(2√(2)π)/(3)（2分）。6.求微分方程y''3y'+2y=e^3x的通解。解：先求对应的齐次方程y''3y'+2y=0的通解。特征方程为r^23r+2=0即(r1)(r2)=0解得r_1=1r_2=2所以齐次方程通解为Y=C_1e^x+C_2e^2x（4分）。设非齐次方程的特解为y^*=Ae^3x代入原方程得：9Ae^3x-9Ae^3x+2Ae^3x=e^3x解得A=(1)/(2)所以特解y^*=(1)/(2)e^3x（4分）。则原方程通解为y=Y+y^*=C_1e^x+C_2e^2x+(1)/(2)e^3x（2分）。四、证明题（10分）。设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0证明：在(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)+f(ξ)=0证明：构造函数F(x)=e^xf(x)（3分）。因为f(x)在[a,b]