2026年中考二轮复习之选择题复习6：《一元二次方程及其应用》（学生版+教师版合并）

2026年中考第二轮复习选择题专题6.一元二次方程及其应用本课题聚焦中考一元二次方程及其应用板块选择题，结合近三年真题考情与2026年命题趋势，立足第二轮复习“强化核心、精准破题”的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块选择题，扎实拿下基础与中档得分点。一、题型特点一、题型特点1.考点核心，覆盖全面：核心考查一元二次方程的定义、一般形式、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系，以及增长率、利润、几何图形等实际应用，基础题与中档题占比80%，是中考重点得分板块；2.形式灵活，关联紧密：题型包括概念辨析、解法判断、根的情况分析、参数求值、实际应用建模，部分题目结合二次函数、不等式、几何图形性质，跨知识点综合考查，选项干扰性强，需精准分析数量关系；3.应用突出，情境真实：实际应用题多取材于生活场景（如商品销售、增长率、围栏面积）、古代数学问题（如《九章算术》相关题型），侧重考查数学建模能力，符合中考“学以致用”的命题导向。二、二、答题要点1.吃透概念，规范基础：牢记一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)，判断方程类型时先化为一般形式，再确认二次项系数不为0；熟练掌握根的判别式Δ=2.择优解法，高效求解：解一元二次方程时，优先选择简便方法——能因式分解的用因式分解法，能直接开方的用直接开平方法，复杂方程用公式法或配方法；涉及根与系数关系（韦达定理）的题目，先明确x1+x3.建模优先，精准转化：实际应用题先审题提炼关键信息，明确已知量与未知量，再根据数量关系列方程——增长(降低)率问题用a14.巧用技巧，快速排除：选择题可借助代入验证法，将选项代入方程或题干条件验证；涉及参数的题目，利用特殊值法缩小范围；综合题先化简条件（如配方法转化二次函数形式），再结合选项筛选答案。三三、避坑指南1.规避概念误区：勿忽略一元二次方程中“二次项系数不为0”的条件；混淆根的判别式与根与系数的关系，避免在无实根的情况下误用韦达定理。2.防止解法失误：用配方法时，移项后需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加；用公式法时，先确认方程为一般形式，准确代入a、b、c的值，注意符号。3.警惕应用建模错误：实际应用题中易混淆“增长（降低）率”与“增长（降低）量”，如“每月增长率为x”需用(1+x)表示增长后的量；几何问题中忽略图形边长的非负性，解得结果后未验证合理性。4.避免参数陷阱：涉及“一根大于1，另一根小于1”等根的分布问题，勿直接求解方程，可通过构造二次函数，利用函数值符号快速判断；含参数的方程需全面考虑参数取值范围，避免漏解（如二次项系数为字母时，需分一次方程和二次方程讨论）。本课题选择题核心是“抓基础、优解法、善建模、避陷阱”，复习中需强化一元二次方程的概念与解法训练，提升实际问题的建模能力，通过针对性练习熟练掌握解题技巧，减少细节失误，确保基础题型不失分、应用题型稳得分，为中考筑牢该板块得分基础。四四、真题练习1.（24-25·河南模拟）用公式法解一元二次方程3x2=2x−3时，首先要确定a、bA.a=3,b=2,c=3 B.a=−3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=−3 D.a=3,b=−2,c=32.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2−3x−5=0的一个解的范围是（

）x−2−1012x5−1−5−7−7−2<x<−1 B.−1<x<0 C.0<x<1 D.3.（23-24·四川中考）若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2−4=0的一个根是A.2 B.−2 C.2或−2 D.14.（24-25·广东中考）若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则kA.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠05.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A.(x−2)2=−1 C.(x−2)2=1 6.（24-25·山东模拟）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则A.−2024 B.2024 C.−1 D.17.（23-24·山西中考）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1，则CD的长为（）

A.2−1 B.5−1 C.2+18.（24-25·河南模拟）关于一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（

）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.无法判断根的情况9.（24-25·四川模拟）若关于x的一元二次方程(a−1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（

）A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠110.（23-24·四川中考）当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数mA.−3或0 B.0或1 C.−5或−3 D.−5或111.（23-24·贵州中考）一元二次方程x2−2x=0的解是（

）A.x1=3，x2=1 B.C.x1=3，x2=−2 12.（24-25·湖北模拟）已知实数x，y满足x2+y2−1A.1或−2 B.−1或2 C.2 D.113.（24-25·江西模拟）若实数x，y满足x+yx+y−1=2，则x+y的值为（

）A.−1 B.2 C.−1或2 D.−2或114.（23-24·广东中考）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15.（24-25·黑龙江模拟）一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则A.32 B.−3 C.3 D.16.（24-25·湖北中考）一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根为x1A.x1+x2=−4 B.x1+17.（24-25·安徽模拟）已知x,y,z为实数，且y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+x2A.x<y≤z B.y<x≤z C.y≤z<x D.z<x≤y18.（25-26·江苏模拟）不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4yA.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数19.（24-25·山东模拟）已知x为实数，设d=x2+6x+25−xA.22 B.25 C.5 20.（25-26·四川模拟）若关于x的方程−x2+bx+c=0的一根大于1，另一根小于1A.b+c>1 B.b=2 C.b2+4c<0 21.（25-26·湖南模拟）若实数a，b满足a2−8a+5=0，b2−8b+5=0，则A.12 B.−2或20 C.2或−20 D.22.（24-25·山东模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（

）A.8000(1+2x)=1200B.8000(1+xC.8000+8000(1+x)+8000(1+xD.8000×2(1+x)=1200023.（22-23·贵州中考）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（

）

A.x(24−2x)=40 B.x(24−x)=40 C.2x(24−2x)=40 D.2x(24−x)=4024.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（

）A.12元 B.10元 C.11元 D.9元25.（24-25·山西中考）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价x元，根据题意，所列方程正确的是（

）A.(70+x−50)B.(70−x−50)C.(70−x−50)D.(70+x−50)26.（24-25·江苏模拟）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（

）A.(x−4)2+x2=(x+2)2 B.27.（24-25·四川模拟）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：

①当降价为3元时，每星期可卖360件；

②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；

③每星期的最大利润为6250元．

其中，正确结论的个数是（

）A.3 B.2 C.1 D.028.（24-25·天津模拟）四边形ABCD中，AD // BC，∠B=90∘,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t=2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：

①当t=6s时，CN=DM；

②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；

③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cA.0 B.1 C.2 D.329.（24-25·山东模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(−1,n)，B(3,n)，且不论x取何值，都有ax2+bx+c≤2，则以下五个结论错误的是（

）

①a<0；

②c+a=2；

③若当m≤x≤m+1时，y随x增大而减小，则m>1；

④若抛物线与x轴的一个交点在−1与0之间；则有(9a+c)2<9b2A.②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.③④⑤30.（24-25·重庆中考）已知整式M:a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2，…，an为正整数，且a0+a1+⋯+an=4A.0 B.1 C.2 D.3

2026年中考第二轮复习选择题专题6.一元二次方程及其应用本课题聚焦中考一元二次方程及其应用板块选择题，结合近三年真题考情与2026年命题趋势，立足第二轮复习“强化核心、精准破题”的核心目标，梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生高效攻克该板块选择题，扎实拿下基础与中档得分点。一、题型特点一、题型特点1.考点核心，覆盖全面：核心考查一元二次方程的定义、一般形式、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系，以及增长率、利润、几何图形等实际应用，基础题与中档题占比80%，是中考重点得分板块；2.形式灵活，关联紧密：题型包括概念辨析、解法判断、根的情况分析、参数求值、实际应用建模，部分题目结合二次函数、不等式、几何图形性质，跨知识点综合考查，选项干扰性强，需精准分析数量关系；3.应用突出，情境真实：实际应用题多取材于生活场景（如商品销售、增长率、围栏面积）、古代数学问题（如《九章算术》相关题型），侧重考查数学建模能力，符合中考“学以致用”的命题导向。二、二、答题要点1.吃透概念，规范基础：牢记一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)，判断方程类型时先化为一般形式，再确认二次项系数不为0；熟练掌握根的判别式Δ=2.择优解法，高效求解：解一元二次方程时，优先选择简便方法——能因式分解的用因式分解法，能直接开方的用直接开平方法，复杂方程用公式法或配方法；涉及根与系数关系（韦达定理）的题目，先明确x1+x3.建模优先，精准转化：实际应用题先审题提炼关键信息，明确已知量与未知量，再根据数量关系列方程——增长(降低)率问题用a14.巧用技巧，快速排除：选择题可借助代入验证法，将选项代入方程或题干条件验证；涉及参数的题目，利用特殊值法缩小范围；综合题先化简条件（如配方法转化二次函数形式），再结合选项筛选答案。三三、避坑指南1.规避概念误区：勿忽略一元二次方程中“二次项系数不为0”的条件；混淆根的判别式与根与系数的关系，避免在无实根的情况下误用韦达定理。2.防止解法失误：用配方法时，移项后需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加；用公式法时，先确认方程为一般形式，准确代入a、b、c的值，注意符号。3.警惕应用建模错误：实际应用题中易混淆“增长（降低）率”与“增长（降低）量”，如“每月增长率为x”需用(1+x)表示增长后的量；几何问题中忽略图形边长的非负性，解得结果后未验证合理性。4.避免参数陷阱：涉及“一根大于1，另一根小于1”等根的分布问题，勿直接求解方程，可通过构造二次函数，利用函数值符号快速判断；含参数的方程需全面考虑参数取值范围，避免漏解（如二次项系数为字母时，需分一次方程和二次方程讨论）。本课题选择题核心是“抓基础、优解法、善建模、避陷阱”，复习中需强化一元二次方程的概念与解法训练，提升实际问题的建模能力，通过针对性练习熟练掌握解题技巧，减少细节失误，确保基础题型不失分、应用题型稳得分，为中考筑牢该板块得分基础。四四、真题练习1.（24-25·河南模拟）用公式法解一元二次方程3x2=2x−3时，首先要确定a、bA.a=3,b=2,c=3 B.a=−3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=−3 D.a=3,b=−2,c=3【答案】D【解析】本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断a,b,c的值即可．【解答】解：3x2=2x−3，

移项，得3x2−2x+3=0，

这里a=3,b=−2,c=3，

故选：D2.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2−3x−5=0x−2−1012x5−1−5−7−7−2<x<−1 B.−1<x<0 C.0<x<1 D.【答案】A【解析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当x=−2时，x2−3x−5的值大于0，当x=−1时，x2−3x−5的值小于0，因此x2【解答】解：由表格数据可知当x=−2时，x2−3x−5=5的值大于0，

当x=−1时，x2−3x−5=−1的值小于0，

因此x2−3x−5=0的一个解的取值范围是−2<x<−1．

故选：A．3.（23-24·四川中考）若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2−4=0A.2 B.−2 C.2或−2 D.1【答案】A【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知a+2≠0；一根是0，代入(a+2)x2+x+a2【解答】解：(a+2)x2+x+a2−4=0是关于x的一元二次方程，

∴a+2≠0，即a≠−2①

由一个根x=0，代入(a+2)x2+x+a2−4=0，

可得a2−4=0，解之得a=±2；4.（24-25·广东中考）若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0【答案】B【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4k×(−1)>0，且k≠0，

解得：k>−1

5.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A.(x−2)2=−1 C.(x−2)2=1 【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．

分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【解答】解：A、(x−2)2=−1<0，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；

B、(x−2)2=0，解得：x1=x2=2，故本选项符合题意；

C、(x−2)2=1，x−2=±1，解得x1=3,x2=16.（24-25·山东模拟）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a)2=bA.−2024 B.2024 C.−1 D.1【答案】D【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．

用配方法把x2−2x−2023=0移项，配方，化为(x−1)【解答】解：∵x2−2x−2023=0，

移项得，x2−2x=2023，

配方得，x2−2x+1=2023+1，

即(x−1)2=2024，

∴a=−1，b=2024，

∴7.（23-24·山西中考）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1，则CD的长为（）

A.2−1 B.5−1 C.2+1【答案】C【解析】设HG=x，根据矩形的性质可得∠A=∠ADH=90∘，AD=BC=1，再根据折叠的性质可得：∠A=∠AHE=90∘，AD=DH=1，BC=CG=1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得【解答】解：设HG=x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADH=90∘，AD=BC=1，

由折叠得：∠A=∠AHE=90∘，AD=DH=1，BC=CG=1，

∴四边形ADHE是矩形，

∵AD=DH，

∴四边形ADHE是正方形，

∴AD=HE=1，

∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，

∴GHAD=HEDC，

∴x1=11+x+1，

解得：x=2−1或x=−2−1，

经检验：x=2−1或x=−8.（24-25·河南模拟）关于一元二次方程x2−3x+1=0A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.无法判断根的情况【答案】A【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数根．【解答】解：x2−3x+1=0，

a=1,b=−3,c=1

∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×1=9−4=5>0，

∴方程有两个不相等的实数根，

9.（24-25·四川模拟）若关于x的一元二次方程(a−1)x2+2x+1=0有实数根，则实数A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2+2x+1=0有实数根，

∴二次项系数a−1≠0，即a≠1．

Δ=22−4⋅(a−1)⋅1=4−4(a−1)=8−4a.令Δ≥0，即8−4a≥0，

解得a≤2．

∴a≤2且a≠1

故选：C10.（23-24·四川中考）当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数A.−3或0 B.0或1 C.−5或−3 D.−5或1【答案】A【解析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当m+1>0时和当m+1<0，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．【解答】解：当m+1>0即m>−1时，一次函数y随x的增大而增大，

∴当x=5时，y=6，

即5(m+1)+m2+1=6，

整理得：m2+5m=0

解得：m=0或m=−5（舍去）

当m+1<0即m<−1时，一次函数y随x的增大而减小，

∴当x=2时，y=6，

即2(m+1)+m2+1=6，

整理得：m2+2m−3=0

解得：m=−3或m=1（舍去）

综上，m=011.（23-24·贵州中考）一元二次方程x2−2x=0A.x1=3，x2=1 B.C.x1=3，x2=−2 【答案】B【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【解答】解∶x2−2x=0，

∴x(x−2)=0，

∴x=0或x−2=0，

∴x1=2，x2=0，

故选∶12.（24-25·湖北模拟）已知实数x，y满足x2+y2A.1或−2 B.−1或2 C.2 D.1【答案】C【解析】令x2+y2=A，则(A−1)2【解答】解：令x2+y2=A，

∵x2+y2≥0，

∴A≥0

∴(A−1)2+A−3=0，

A2−2A+1+A−3=0，

A2−A−2=0，

(A−2)(A+1)=0，

∴A−2=0或13.（24-25·江西模拟）若实数x，y满足x+yx+y−1=2，则x+yA.−1 B.2 C.−1或2 D.−2或1【答案】C【解析】设：x+y=a，则x+yx+y−1=2变为aa−1=2，进而解含a的一元二次方程，即可求出【解答】解：设：x+y=a，则x+yx+y−1=2变为aa−1=2，变形可得：a2−a=2，则a2−a−2=0，则a−2a+1=0，

解得：a1=2a2=−1，即14.（23-24·广东中考）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．【解答】解：原方程x(x+2)−3=0展开并整理为标准形式：x2+2x−3=0

其中a=1，b=2，c=−3．

∴m=−ba=−21=−2，n=ca=−31=−3．

∴15.（24-25·黑龙江模拟）一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2A.32 B.−3 C.3 D.【答案】C【解析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、【解答】解：∵一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，

∴x1+x2=−3；x1x216.（24-25·湖北中考）一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根为xA.x1+x2=−4 B.x1+【答案】D【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案.【解答】解：对于方程x2−4x+3=0，设其根为x1和x2，

根据根与系数的关系：

∴x1+x2=−17.（24-25·安徽模拟）已知x,y,z为实数，且y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+xA.x<y≤z B.y<x≤z C.y≤z<x D.z<x≤y【答案】A【解析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出y=x2−x+2，z=2x2−3x+3，再利用完全平方公式判断出【解答】解：∵y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+x2，

解得y=x2−x+2，z=2x2−3x+3，

∴y−x=x2−x+2−x=x2−2x+2=(x−1)2+1>0，

18.（25-26·江苏模拟）不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数【答案】A【解析】利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；【解答】解：∵x2+4y2+6x−4y+1=x+32+2y−12+1

又x+319.（24-25·山东模拟）已知x为实数，设d=x2+6x+25−A.22 B.25 C.5 【答案】B【解析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答．【解答】解：依题意，x2+6x+25=x2+6x+16+9=(x+3)2+42，

上式表示A(x,0)与B(−3,4)之间的距离，

x2−2x+5=x2−2x+1+4=(x−1)2+22，

上式表示A(x,0)与C(1,2)之间的距离，

由勾股定理得BC=(−3−1)20.（25-26·四川模拟）若关于x的方程−x2+bx+c=0的一根大于1，另一根小于A.b+c>1 B.b=2 C.b2+4c<0 【答案】A【解析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键．

令y=−x2+bx+c，根据二次函数图象与性质即可判断A选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断B、D错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断C【解答】解：A、令y=−x2+bx+c，

∵二次项系数a=−1<0，

∴抛物线开口向下，

∵关于x的方程−x2+bx+c=0的一根大于1，另一根小于1，

∴当x=1时，−1+b+c>0，即b+c>1，

选项结论正确，符合题意；

B、设关于x的方程−x2+bx+c=0的两个根为x1、x2，

则x1+x2=b，

关于x的方程−x2+bx+c=0的一根大于1，另一根小于1，

若x1=0,x2=2.1，则x1+x2=2.1=b，即b不一定为2，

选项结论错误，不符合题意；

C、∵关于x的方程−x2+bx+c=0的一根大于1，另一根小于1，

∴一元二次方程−x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即Δ=b2+4c>0，

选项结论错误，不符合题意；

D、设关于x的方程−x221.（25-26·湖南模拟）若实数a，b满足a2−8a+5=0，b2−8b+5=0A.12 B.−2或20 C.2或−20 D.【答案】C【解析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程x2−8x+5=0的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当a=b时，直接计算表达式；当a≠b时，将a和b视为方程x2−8x+5=0的两个根，利用根与系数关系求a+b和【解答】解：①当a=b时：

∵a和b满足a2−8a+5=0，且a≠1（因为代入a=1得1−8+5=−2≠0），

∴原式=a−1a−1+a−1a−1=1+1=2；

②当a≠b时：

∵a和b是方程x2−8x+5=0的两个根，

∴a+b=8，ab=5，

原式=(b−1)2+(a−1)2(a−1)(b−1)=a2+b2−2(a+b)+2ab−(a+b)+1，

∵a2+b22.（24-25·山东模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（

）A.8000(1+2x)=1200B.8000(1+xC.8000+8000(1+x)+8000(1+xD.8000×2(1+x)=12000【答案】B【解析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的(1+x)倍，故三月份销量为8000(1+x)²，据此列方程即可．【解答】设每月增长率为x，则二月份销量为8000(1+x)，三月份销量为二月份的(1+x)倍，即8000(1+x)2．

根据题意，三月份销量为12000辆，可得方程为：8000(1+x)2=12000．

故选B．

23.（22-23·贵州中考）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（

）

A.x(24−2x)=40 B.x(24−x)=40 C.2x(24−2x)=40 D.2x(24−x)=40【答案】A【解析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.【解答】解：设矩形的宽为xm，则矩形的宽为(24−2x)m，

∴x(24−2x)=40

故选：A.

24.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（

）A.12元 B.10元 C.11元 D.9元【答案】B【解析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．【解答】设应降价x元则根据题意，等量方程为：(65−x−45)(30+5x)=800

解得：x=4或x=10

∵要尽快较少库存，∴x=4舍去

故此题答案为B．25.（24-25·山西中考）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价x元，根据题意，所列方程正确的是（

）A.(70+x−50)B.(70−x−50)C.(70−x−50)D.(70+x−50)【答案】B【解析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价x元，再根据利润=（售价−进价）×销量即可列出方程．【解答】解：设每盒应降价x元，

∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒，

∴销量为：100+x2×20盒，

∵平均每天盈利2240元，

∴(70−x−50)100+x2×20=2240，

26.（24-25·江苏模拟）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（

）A.(x−4)2+x2=(x+2)2 B.【答案】D【解析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键；

设门的对角线长为x尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案．【解答】解：设门的对角线长为x尺，则可列方程为x2−(x−2)2=(x−4)2；

27.（24-25·四川模拟）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：

①当降价为3元时，每星期可卖360件；

②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；

③每星期的最大利润为6250元．

其中，正确结论的个数是（

）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】设降价x元，则售价为(60−x)元，每件的盈利(60−x−40)=(20−x)元，每天可售出(300+20x)件，

①当降价为3元时，每星期可卖(300+20x)=360件；正确；

②根据题意，得(300+20x)(20−x)=6120，整理，得x2−5x+6=0，

解得x1=2,x2=3，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；

③设每星期的利润为y元，根据题意，得y=(300+20x)(20−x)=−20x+100x+6000

=−20x−522+6125，故每星期的最大利润为【解答】设降价x元，则售价为(60−x)元，每件的盈利(60−x−40)=(20−x)元，每天可售出(300+20x)件，

①当降价为3元时，每星期可卖(300+20x)=360件；

正确；

②根据题意，得(300+20x)(20−x)=6120，

整理，得x2−5x+6=0，

解得x1=2,x2=3，

每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；

错误；

③设每星期的利润为y元，根据题意，得y=(300+20x)(20−x)=−20x+100x+6000

=−20x−522+612528.（24-25·天津模拟）四边形ABCD中，AD // BC，∠B=90∘,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t=2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：

①当t=6s时，CN=DM；

②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；

③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cA.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当t=6s时，点M在AD上，求出DM,CN，可判断①；当1≤t≤2