2022年兰州大学数学分析习题集（高清电子版）

2022年兰州大学数学分析习题集（高清电子版）1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论中错误的是（）A.存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0B.对任意λ∈(0,1)，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=λf(a)C.若f(x)在(a,b)内严格单调，则f(x)恒为常数D.对任意x1,x2∈(a,b)，存在c∈(a,b)，使得f(x1)-f(x2)=f'(c)(x1-x2)2.设数列{an}满足lim(n→∞)an=0，则下列命题正确的是（）A.若数列{bn}发散，则{anbn}必发散B.若数列{bn}收敛于1，则{anbn}必收敛于0C.若数列{bn}收敛于0，则{anbn}必收敛于0D.若数列{bn}发散，则{anbn}必收敛于03.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|（K为常数），则称f(x)在[a,b]上具有Lipschitz连续性，下列函数中在(0,1)上具有Lipschitz连续性的是（）A.f(x)=lnxB.f(x)=sinπxC.f(x)=x^2D.f(x)=|x|4.设函数f(x)在x=0处可导，且f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)（x→0），则lim(x→0)(f(x)-f(0))/x等于（）A.f'(0)B.2f'(0)C.f''(0)D.05.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈(a,b)，有∫[a,x]f(t)dt=0，则f(x)在(a,b)内（）A.必有唯一零点B.必无零点C.至少有唯一零点D.零点个数不确定6.设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≥0，则对任意x1,x2∈[a,b]及λ∈[0,1]，有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，下列说法正确的是（）A.仅当x1=x2时等号成立B.仅当λ=0或λ=1时等号成立C.对任意x1,x2∈[a,b]及λ∈[0,1]均成立D.仅当f(x)为线性函数时成立7.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有|f(x)|≤M，则∫[a,b]f(x)dx的绝对值不超过（）A.M(b-a)B.√(M(b-a))C.(b-a)MD.2M(b-a)8.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)>0，则∫[a,b]√f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx的大小关系是（）A.前者恒大于后者B.前者恒小于后者C.前者恒不等于后者D.取决于f(x)的具体形式9.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，则∫[a,b]√f(x)dx的几何意义是（）A.以y=f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边梯形的面积B.以y=√f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边梯形的面积C.以y=f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边扇形的面积D.以y=√f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边扇形的面积10.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx的几何意义是（）A.以y=f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边梯形的面积B.以y=√f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边梯形的面积C.以y=f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边扇形的面积D.以y=√f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边扇形的面积1.设数列{an}满足lim(n→∞)an=1，则lim(n→∞)(an^2+2an-1)/an^2等于_________。2.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则lim(x→0)(f(x^2)-1)/x^2等于_________。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，若∫[a,b]f(x)dx=1，则f(x)可作为[a,b]上的_________。4.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)>0，若∫[a,b]lnf(x)dx=0，则f(x)在[a,b]上的取值范围是_________。5.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，若∫[a,b]√f(x)dx=1，则f(x)可作为[a,b]上的_________。6.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，若∫[a,b]f(x)dx=1，则f(x)可作为[a,b]上的_________。1.（10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明：存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。2.（10分）设数列{an}满足a1=1，an+1=1+1/an（n≥1），证明数列{an}收敛。3.（10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，若∫[a,b]f(x)dx=1，证明：存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=∫[a,x0]f(t)dt。4.（10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)>0，证明：存在x1,x2∈[a,b]，使得∫[a,x1]f(t)dt=∫[x2,b]f(t)dt。5.（10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，若∫[a,b]f(x)dx=1，证明：对任意p∈[0,1]，存在x0∈[a,b]，使得∫[a,x0]f(t)dt=p。6.（10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x∈[a,b]，有f(x)≥0，若∫[a,b]f(x)dx=1，证明：对任意p∈[0,1]，存在x0∈[a,b]，使得∫[x0,b]f(t)dt=p。【标准答案】一、单项选择题1.C2.D3.B4.A5.C6.C7.A8.D9.B10.A二、填空题1.12.23.概率密度函数4.(0,1)5.概率密度函数6.概率密度函数三、解答题1.证明：由罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。2.证明：首先证明数列有界，an≥1，an+1=1+1/an≥1，故数列有下界1。

然后证明数列单调，an+1-an=1+1/an-an=(1-an^2)/(an)≥0，故数列单调递增。

由单调有界定理，数列收敛。3.证明：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F(a)=0，F(b)=∫[a,b]f(t)dt=1。

由介值定理，存在x0∈[a,b]，使得F(x0)=1/2，即f(x0)=∫[a,x0]f(t)dt。4.证明：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F(a)=0，F(b)=∫[a,b]f(t)dt。

若F(a)=F(b)，则命题成立。若F(a)≠F(b)，不妨设F(a)<F(b)，

则F(a)/F(b)∈(0,1)，由介值定理，存在x1∈(a,b)，使得F(x1)=F(a)/F(b)。

同理，存在x2∈(a,b)，使得F(x2)=F(b)/F(a)。

则∫[a,x1]f(t)dt=F(x1)=F(a)/F(b)=∫[x2,b]f(t)dt。5.证明：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F(a)=0，F(b)=∫[a,b]f(t)dt=1。

由介值定理，存在x0∈[a,b]，使得F(x0)=p，即∫[a,x0]f(t)dt=p。6.证明：令F(x)=∫[x,b]f(t)dt，则F(a)=∫[a,b]f(t)dt=1，F(b)=0。

由介值定理，存在x0∈[a,b]，使得F(x0)=p，即∫[x0,b]f(t)dt=p。【详细解析】一、单项选择题1.C解析：若f(x)在(a,b)内严格单调，则f(x)在(a,b)上不可能有极值点，但f(a)=f(b)，

故f(x)在(a,b)上恒为常数，此时f'(x)恒为0，选项C错误。2.D解析：若{bn}发散，则{bn}不可能收敛于0，但{anbn}可能收敛于0。

例如取an=1/n，bn=n，则lim(n→∞)anbn=lim(n→∞)1=0，但{bn}发散。3.B解析：f(x)=sinπx在(0,1)上满足|f(x1)-f(x2)|≤π|x1-x2|，Lipschitz常数为π。

其他函数不满足：lnx在(0,1)上导数无界，x^2在(0,1)上导数最大为2，|x|在(0,1)上导数为1或-1。4.A解析：由导数定义，f'(0)=lim(x→0)(f(x)-f(0))/x，已知条件直接给出该极限值。5.C解析：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F(a)=0，F(b)=0，F(x)在(a,b)内连续可导，

F'(x)=f(x)，由罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得F'(c)=0，即f(c)=0。

但可能存在多个零点，例如f(x)=x-sinπx，有无限多个零点。6.C解析：这是凸函数的定义，对任意x1,x2∈[a,b]及λ∈[0,1]，

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，由f''(x)≥0保证。7.A解析：|∫[a,b]f(x)dx|≤∫[a,b]|f(x)|dx≤∫[a,b]Mdx=M(b-a)。8.D解析：若f(x)=x^2，则∫[0,1]√f(x)dx=∫[0,1]xdx=1/2，∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]x^2dx=1/3，

前者大于后者；若f(x)=1/x，则∫[1,2]√f(x)dx=∫[1,2]1/√xdx=2-√2，

∫[1,2]f(x)dx=∫[1,2]1/xdx=ln2，前者小于后者。9.B解析：√f(x)是f(x)的平方根函数，几何意义是以y=√f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边梯形的面积。10.A解析：∫[a,b]f(x)dx是f(x)在[a,b]上的定积分，几何意义是以y=f(x)为曲边，[a,b]为底边的曲边梯形的面积。二、填空题1.解析：lim(n→∞)(an^2+2an-1)/an^2=lim(n→∞)(1+2/an-1/an^2)=1。2.解析：f(x^2)-1=f(x^2)-f(0)=f'(0)x^2+o(x^2)，

lim(x→0)(f(x^2)-1)/x^2=f'(0)=2。3.解析：f(x)可作为[a,b]上的概率密度函数，需满足f(x)≥0且∫[a,b]f(x)dx=1。4.解析：lnf(x)在[a,b]上连续，若∫[a,b]lnf(x)dx=0，则lnf(x)在[a,b]上的平均值为0，

即f(x)在[a,b]上的取值范围是(0,1)。5.解析：√f(x)可作为[a,b]上的概率密度函数，需满足√f(x)≥0且∫[a,b]√f(x)dx=1。6.解析：f(x)可作为[a,b]上的概率密度函数，需满足f(x)≥0且∫[a,b]f(x)dx=1。三、解答题1.证明：由罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，

故f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件。2.证明：首先证明数列有界，an≥1，an+1=1+1/an≥1，故数列有下界1。

然后证明数列单调，an+1-an=1+1/an-an=(1-an^2)/(an)≥0，故数列单调递增。

由单调有界定理，数列收敛。3.证明：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F(a)=0，F(b)=∫[a,b]f(t)dt=1。

由介值定理，存在x0∈[a,b]，使得F(x0)=1/2，即f(x0)=∫[a,x0]f(t)dt。4.证明：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F(a)=0，F(b)=∫[a,b]f(t)dt。

若F(a)=F(b)，则命题成立。若F(a)≠F(b)，不妨设F(a)<F(b)，

则F(a)/F(b)∈(0,1)，由介值定理，存在x1∈(a,b)，使得F(x1)=F(a)/F(b)。

同