第5章刚体力学

第五章刚体力学

♦本章学习目标

了解刚体的基本运动形式，在此基础上掌握质心运动定理、转动定律、刚体

定轴转动的动能定理及动量矩守恒定律。

♦本章教学内容

刚体的基本运动（平动、定轴转动）、质心运动定理、刚体的转动惯量及转

动定律、刚体定轴转动的动能定理、动量矩守恒定律。

♦本章教学重点

1.刚体运动的描述（角速度、角加速度）。

2.质心运动定理。

3.刚体的转动惯量及转动定理.

4.刚体定轴转动的动能定理。

5.动量矩定理及动量矩守恒定律。

♦本章教学难点

1.质心概念。

2.转动惯量。

3.转动定律。

♦本章学习方法建议及参考资料

1.本章内容是新学内容注意学生对难点的理解；

2.采用多种教学方法加强对知识点的教学。

参考教材

东南大学等七所工科院校编，《物理学》，高等教育出版，1999年11月第4

版

§5.1刚体的基本运动

刚体：是受力时不改变形状和体积的物体。它是物体的理想化模型。

刚体的组成：刚体可以看成有许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质

元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。

刚体的基本运动形式有:

一、平动

概念：刚体化运动中，连接体内两点的直线在空间的指向总保挣平行的运动。

如图5.1所示，刚体做平动运动，但是

刚体内各点的轨迹可能是曲线。

刚体做平动时，其上各质元的运动情况

都是相同的，了解了某一质元的运动就掌握

了整个刚体的运动情况，故平动刚体的运动

可以简化为质点。

二、定轴转动

在此运动中，各质元均做圆周运动，且图5-1刚体的平动

各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴，这种运动为定轴转动。

用角量来描述刚体的定轴转动：

1.角速度

dO

CD=——

dt

〃。为刚体在力时间内转过的角位移。S的方向用右手螺旋法则确定：四指

弯向质点的运动方向，大拇指所指方向就是角速度的方向。

2.角加速度

dcod-0

a=——=-----

dtdt2

线量和角量之间的关系

刚体上某质元距转轴的距离为人则质元的线速度和角速度的关系为:

v=r(o

而其加速度与角加速度的关系分别为

「

a1=ra

2

Jafnl=rco

刚体定轴转动时，若角加速度。保持不变，则刚体做匀变速转动。①0,。分

别表书=0和，时刻的角速度，用。表示0至打时刻这一段时间内的角位移。匀变

速转动的相应公式为：

rco=a)Q+at

ICD2-0(J=laO

例题5.1P83

§5.2质心运动定理

一、质心

设质点系有N个质点组成，以〃…，町，••・，〃?”分别表示各质点的质量，以

、，与，…，1?…，1*〃分别表示各质点对某一坐标原点的位矢，则此质点系质心的位矢

为

JJ

Z〃科Z〃科

(5-9)

1=1

工在直角坐标系各坐标轴上的分量为

J

-

m

i

(5-10)

>;=--m

i

Zc=---

in

质心位矢可用积分法求得

Jrdm

(5-11)

f出虱

它在直角坐标系中的分量式分别为

[xdm

(xc=^—

Jdm

|ydrn

yc=(5-12)

fdm

zdm

二、质心运动定理

对(5-9)式对时间求导，得质心运动速度为

(5-13)

dttnm

由此得

〃叫二z叫。

r=l

故质心动量为

p=〃叫(5-14)

质心动量的变化率

而g

—=m--=(5-15)

dtdtc

质点系所受外力F和质心加速度4的关系

F=mac(5-16)

此即质心运动定理。它表明质心的运动如同整个质点系的质量集中在质心的

•个质点的运动。

§5.3刚体的转动惯量

质点运动中，质量是质点惯性的量度。而在刚体运动中，转动惯量是角速度

变化的量度。

一、刚体的转动惯量

设在转动刚体上有一质量为A"质元，距转动轴的垂直距离为£,则刚体转

动惯量I定义为:

/=£八川*2（5-17）

r=l

对于连续分布的刚体，上述求和应以积分代替，即

I=fr2dm（5-18）

p表示刚体密度，表示力〃的体积元，dm=pdV,得

I=^pr2dV(5-19)

如果刚体是均匀的，密度是常量，上式又可改写为

I=夕Jr2dV(5-20)

讨论：刚体的转动惯量与下列因素有关

（1）与物体的质量有关。

（2）与转轴的位置有关。

（3）与转轴的位置有关。

在SI中，转动惯量的量纲为MZ?，单位是依制2。

二、平行轴定理

设有两平行的轴Cz和。/，两轴之间的距离CO=4,其中Cz通过刚体的质

心（图5-6）,现在来讨论刚体对两根平行轴的转动惯量之间的关系。

质元△町与轴Cz和°z'的距离分别为号和二

在两坐标系中的坐标分别为（冷凹0）（心j'，z；）,

则：

Ic=£A/zz-z;2=+X2）

i=li=l

1。=力加7“'2=//（玉'2+y；2）

1=1r=l

图5-6平行轴定理

因x'=%，乂=y-d,z：=z'

将其代入〃的表达式，得

1)2)

f=l

iii

=£A"U(V,2+yj)+，ZAm「2d工人”从

1=11=11=1

因£△，〃/=(),于是

1=1

Io=/.4-md~(5-21)

三、垂直轴定理

设有一薄板，建坐标系。孙z,Oz轴垂直于板面，Ox轴和Oy轴在板面内

,J

1:=工卜〃后=z△町(/+/.)

r=l1=1

ii

4=£4%优，/),二£△"*

r=li=l

显然，1.=/v+Ix

X

图5-7垂直轴定理

§5.4转动定律

一、力矩

如图，刚体所受外力F在垂直于转动轴的

转动平面内，作用点P在转动平面内相对于转

轴的位置矢量为r,作用力F相对于转轴的力矩

M定义为

M=rxF

M的大小MTHTMcos。

M的方向：与r，F成右手螺旋系

SI单位制中：单位和量纲分别是，〃・N和MZ/NL

二、转动定律

如图5-8所示，在刚体上任取一质元△/，位矢为I；,所受的外力和内力耳,

f,均在△叫所在的平面内，它们与I；的夹角分别为分和q,由牛顿第二定律得

Fz+f：=Anz（«a.

将上式投影至圆周轨道的法向和切向

-Ficos（pt-cos0t=A，％疗彳

Fsin.+ffsin.=△町az;

{i

将第二式两边分别乘以号得

耳彳sin（p.+于网sin0t=

上式左边第一项和第二项分别为外力和内里的力矩，对刚体中的所有质元求

和得

iii

X%sin©+Z启sina=（£△町T）a

i=li=li=l

根据牛顿第三定律，所有内力距之和为0,二是有

ii

ZRsin已=（2）a

i=l/=1

等式左边是作用在刚体上所有外力的力矩总和M,故得

M=（J>见rr）a

i=\

即

M=la

这就是刚体定轴转动的转动定律。

§5.5刚体定轴转动的动能定理

一、刚体的动能

所有质点的动能之和即为该时刻整个刚体转动的动能。即:

&二力;AW：

/=1L<=1乙

二、力矩的功

设以F表示作用在刚休上P点的外力，当

刚体绕固定轴。有一角位移10时，力F做的元

功为

dA=F“/r=Feos同dr|=Feos（prdO

Fcos°r就是力对转轴的力矩M。因而有

dA=MdO

对于有限的角位移，力矩所做的功图5-11力矩的功

A=jMdO

如果力矩是恒量

0>

A=^MdO=M\O

q

（10

功率2=竺=时=Meo

dt五

在刚体的转动定律M=中，对a作如下变换

d①d（od0do）

a=—=—•——=co—

dtd9dtd9

有MdO=kodco

设刚体在力矩M作用下，角速度由例变化到。，角位置由为变化到。,则

efff11

\MdO=[I（oda）=—I（o2——/m9）2

以

J砾22

即刚体动能增量等于刚体所受外力距做的功，这就是刚体动能定理。

§5.6动量距守恒定律

一、动量距

先讨论单个质点绕故定轴转动的情况

如图5-12,质量为〃？的质点具有线动量

p=/wv,r为质点的位矢，定义质点绕z轴转动的

动量距为：

J=rxp=rx(5-6-1)

大小：同=卜卜|加忖11。

方向：遵从右手螺旋法则，即在z轴上。

如图5-13,对定轴转轴刚体来说，其中任一质

元的动量距为

J-=r.x"叫

整个刚体对z轴的动量距为

J=Z肛4\co=lco

i=\\i=\)

方向在Z