2025-2026年高等数学实变函数习题集

2025-2026年高等数学实变函数习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设集合A和B都是实数集R上的可测集，且A⊆B，则下列关于外测度性质的命题中正确的是（）A.m(A∪B)=m(A)+m(B)-m(A∩B)B.m(A)≤m(B)C.m(A)=m(B)D.m(A)≥m(B)解析：根据外测度的单调性，若A⊆B，则m(A)≤m(B)，因此正确选项为B。选项A是可测集的测度可加性，选项C仅当A=B时成立，选项D与单调性矛盾。2.下列函数中，在实数集R上不可积的是（）A.f(x)=sin(x)/x，x≠0，f(0)=0B.g(x)=|x|，x∈[-1,1]C.h(x)=1/x，x∈(0,1]D.k(x)=x•sin(1/x)，x∈(0,1]解析：函数h(x)=1/x在(0,1]上无界，因此不可积。其他函数均满足可积条件：A项在x=0处连续且极限存在，B项绝对值函数在有限区间上连续，D项在(0,1]上绝对值有界且积分收敛。3.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=2，若F是E的一个子集，则下列关于测度的命题中正确的是（）A.m(F)=1B.m(F)≤2C.m(F)≥2D.m(F)=0解析：根据测度的次可加性，子集的测度不大于原集测度，因此正确选项为B。F可能是E的真子集，测度可能小于2；若F=∅，测度为0；若F=E，测度为2。4.下列关于勒贝格积分性质的命题中错误的是（）A.若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积B.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上几乎处处连续C.若f(x)在[a,b]上可积，则lim_{n→∞}∫[a,b]f_n(x)dx=∫[a,b]lim_{n→∞}f_n(x)dx（Dini定理）D.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上勒贝格可积解析：选项B错误。f(x)可积仅意味着f(x)几乎处处连续，但可能存在不可积的间断点集。例如Dirichlet函数在[0,1]上不可积但几乎处处不连续。5.设f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，若E是R上的可测集，则下列关于条件期望的命题中正确的是（）A.E[f(x)|x∈E]=∫_Ef(x)dxB.E[f(x)|x∈E]≥0C.E[f(x)|x∈E]≤f(x)D.E[f(x)|x∈E]=f(x)•P(E)解析：根据条件期望的定义，正确选项为A。条件期望E[f(x)|x∈E]表示在集合E上f(x)的加权平均值，等于E[f(x)1_E(x)]/P(E)。6.下列关于勒贝格微分定理的命题中正确的是（）A.若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则f(x)在[a,b]上几乎处处连续B.若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则f(x)在[a,b]上勒贝格可微C.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上几乎处处可微D.若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则存在连续函数g(x)使得|f(x)|=g(x)几乎处处成立解析：根据勒贝格微分定理，正确选项为D。该定理表明可积函数可以表示为连续函数的绝对值几乎处处成立。7.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=1，若F是E的一个可测子集，则下列关于测度的命题中正确的是（）A.m(F)=1/2B.m(F)=0C.m(F)≤1D.m(F)=1解析：根据测度的次可加性和单调性，子集测度可能小于原集测度，因此正确选项为C。F可能是E的真子集，测度可能小于1；若F=∅，测度为0；若F=E，测度为1。8.下列关于勒贝格积分性质的命题中错误的是（）A.若f(x)在[a,b]上可积，则∫[a,b]cf(x)dx=c∫[a,b]f(x)dx（c为常数）B.若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则∫[a,b][f(x)+g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dxC.若f(x)在[a,b]上可积，则∫[a,b]f(x)dx≥0（当f(x)非负时）D.若f(x)在[a,b]上可积，则∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)1_Q(x)dx（Q为有理数集）解析：选项D错误。有理数集Q在实数集R中测度为0，因此∫[a,b]f(x)1_Q(x)dx=0，而∫[a,b]f(x)dx不一定为0。9.设f(x)是实数集R上的可积函数，且f(x)≥0，若E是R上的可测集，则下列关于勒贝格积分性质的命题中正确的是（）A.∫_Ef(x)dx=∫[R]f(x)1_E(x)dxB.∫_Ef(x)dx≥∫[R]f(x)dxC.∫_Ef(x)dx≤∫[R]f(x)dxD.∫_Ef(x)dx=0解析：根据勒贝格积分的性质，正确选项为A。该公式表明集合E上的积分等于原函数在E上的指示函数的积分。10.下列关于勒贝格测度性质的命题中错误的是（）A.若E是可测集，则m(E)=m(E∩Q)+m(E∩Q^c)（Q为有理数集）B.若E是可测集，则m(E)=∫[R]1_E(x)dxC.若E是可测集，则m(E)=sup{m(A)|A⊆E，A可测}D.若E是可测集，则m(E)=inf{m(B)|E⊆B，B可测}解析：选项A错误。有理数集Q在实数集R中测度为0，因此m(E∩Q)=0，但m(E∩Q^c)不一定等于m(E)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，则称f(x)为______函数。参考答案：概率密度函数解析：该函数满足非负可测且勒贝格积分为1，是概率论中典型的概率密度函数定义。2.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=3，若F是E的一个可测子集，则m(F)______。参考答案：≤3解析：根据测度的次可加性，子集的测度不大于原集测度，因此m(F)≤m(E)=3。3.若f(x)是实数集R上的可积函数，且f(x)≥0，若E是R上的可测集，则∫_Ef(x)dx______∫[R]f(x)dx。参考答案：≤解析：根据勒贝格积分的性质，集合E上的积分不大于整个区间上的积分。4.设f(x)是实数集R上的连续函数，且f(x)≥0，若∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是______函数。参考答案：概率密度解析：该函数满足非负连续且勒贝格积分为1，是概率论中典型的概率密度函数定义。5.若E是实数集R上的可测集，且m(E)=2，若F是E的一个可测子集，则m(F)______。参考答案：≤2解析：根据测度的次可加性，子集的测度不大于原集测度，因此m(F)≤m(E)=2。6.设f(x)是实数集R上的可积函数，且f(x)≥0，若E是R上的可测集，则∫_Ef(x)dx______∫[R]f(x)dx。参考答案：≤解析：根据勒贝格积分的性质，集合E上的积分不大于整个区间上的积分。7.若f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是______函数。参考答案：概率密度解析：该函数满足非负可测且勒贝格积分为1，是概率论中典型的概率密度函数定义。8.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=5，若F是E的一个可测子集，则m(F)______。参考答案：≤5解析：根据测度的次可加性，子集的测度不大于原集测度，因此m(F)≤m(E)=5。9.若f(x)是实数集R上的可积函数，且f(x)≥0，若E是R上的可测集，则∫_Ef(x)dx______∫[R]f(x)dx。参考答案：≤解析：根据勒贝格积分的性质，集合E上的积分不大于整个区间上的积分。10.设f(x)是实数集R上的连续函数，且f(x)≥0，若∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是______函数。参考答案：概率密度解析：该函数满足非负连续且勒贝格积分为1，是概率论中典型的概率密度函数定义。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若f(x)是实数集R上的可积函数，则f(x)在R上几乎处处连续。（）参考答案：×解析：可积函数不一定是连续函数，例如Dirichlet函数在R上不可积但几乎处处不连续。2.若E是实数集R上的可测集，则m(E)=m(E∩Q)+m(E∩Q^c)（Q为有理数集）。（）参考答案：√解析：根据勒贝格测度的分解性质，任何可测集可以表示为有理数集和其补集的并，测度可以分解。3.若f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是概率密度函数。（）参考答案：√解析：该函数满足非负可测且勒贝格积分为1，是概率论中典型的概率密度函数定义。4.若E是实数集R上的可测集，且m(E)=0，则E是空集。（）参考答案：×解析：测度为0的可测集不一定是空集，例如区间(0,1)的勒贝格测度为1，但(0,1)∩Q（有理数集）的测度为0。5.若f(x)是实数集R上的可积函数，则|f(x)|在R上也可积。（）参考答案：√解析：根据绝对值函数的性质，若f(x)可积，则|f(x)|也可积。6.若f(x)是实数集R上的连续函数，则f(x)在R上勒贝格可积。（）参考答案：√解析：连续函数在有限区间上绝对值有界且积分收敛，因此连续函数可积。7.若E是实数集R上的可测集，则m(E)=sup{m(A)|A⊆E，A可测}。（）参考答案：√解析：根据测度的定义，可测集的测度等于其所有可测子集测度的上确界。8.若f(x)是实数集R上的可积函数，则f(x)在R上几乎处处可微。（）参考答案：×解析：可积函数不一定是可微函数，例如绝对值函数在x=0处不可微但可积。9.若E是实数集R上的可测集，且m(E)=0，则f(x)•1_E(x)在R上勒贝格可积。（）参考答案：√解析：测度为0的可测集上任何函数的积分为0，因此可积。10.若f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是概率密度函数。（）参考答案：√解析：该函数满足非负可测且勒贝格积分为1，是概率论中典型的概率密度函数定义。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述勒贝格测度的基本性质。参考答案：勒贝格测度具有以下基本性质：（1）非负性：m(E)≥0；（2）单调性：若A⊆B，则m(A)≤m(B)；（3）可数可加性：若{E_n}是可数个两两不交的可测集，则m(∪∞_{n=1}E_n)=∑∞_{n=1}m(E_n)；（4）平移不变性：若E是可测集，则m(E+a)=m(E)，其中a为实数；（5）有限可测集上可加性：若E是可测集且m(E)<∞，则m(E)=m(E∩Q)+m(E∩Q^c)。解析：勒贝格测度是实数集上的一种测度，具有非负性、单调性、可数可加性、平移不变性等基本性质，是勒贝格积分理论的基础。2.简述勒贝格积分的基本性质。参考答案：勒贝格积分具有以下基本性质：（1）线性性：若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，λ和μ为常数，则∫[a,b](λf(x)+μg(x))dx=λ∫[a,b]f(x)dx+μ∫[a,b]g(x)dx；（2）单调性：若f(x)和g(x)在[a,b]上可积且f(x)≤g(x)，则∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx；（3）绝对可积性：若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积，且∫[a,b]|f(x)|dx<∞；（4）区间可加性：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上几乎处处连续；（5）平移不变性：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x+c)在[a+c,b+c]上可积，且∫[a+c,b+c]f(x+c)dx=∫[a,b]f(x)dx。解析：勒贝格积分是实数集上的一种积分，具有线性性、单调性、绝对可积性等基本性质，是现代数学分析的重要工具。3.简述勒贝格微分定理的内容。参考答案：勒贝格微分定理的内容如下：若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则存在一个勒贝格可积的函数g(x)，使得：（1）f(x)在[a,b]上几乎处处可微；（2）f'(x)=g(x)几乎处处成立；（3）∫[a,b]|f'(x)|dx=∫[a,b]|f(x)|dx。解析：勒贝格微分定理是微积分理论的重要成果，表明可积函数可以表示为连续函数的绝对值几乎处处成立。4.简述条件期望的定义。参考答案：条件期望E[f(x)|x∈E]的定义如下：若f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，则E[f(x)|x∈E]表示在集合E上f(x)的加权平均值，等于E[f(x)1_E(x)]/P(E)。解析：条件期望是概率论中的重要概念，表示在给定集合E上的条件概率分布。5.简述勒贝格测度的构造过程。参考答案：勒贝格测度的构造过程如下：（1）首先定义半开区间(a,b]的测度为b-a；（2）然后定义单点集的测度为0；（3）接着定义可数个两两不交的半开区间的并的测度为各区间测度的和；（4）最后通过Carathéodory延拓定理，将外测度扩展到所有可测集。解析：勒贝格测度是通过外测度和Carathéodory延拓定理构造的，是现代测度论的重要成果。6.简述勒贝格积分的定义。参考答案：勒贝格积分的定义如下：若f(x)是实数集R上的非负可测函数，则f(x)的勒贝格积分定义为：∫[R]f(x)dx=sup{∫[R]h(x)dx|h(x)≤f(x)，h(x)是简单函数}。解析：勒贝格积分是通过简单函数逼近非负可测函数定义的，是现代数学分析的重要工具。7.简述勒贝格可积函数的性质。参考答案：勒贝格可积函数具有以下性质：（1）绝对可积性：若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积，且∫[a,b]|f(x)|dx<∞；（2）区间可加性：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上几乎处处连续；（3）线性性：若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，λ和μ为常数，则∫[a,b](λf(x)+μg(x))dx=λ∫[a,b]f(x)dx+μ∫[a,b]g(x)dx；（4）单调性：若f(x)和g(x)在[a,b]上可积且f(x)≤g(x)，则∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx。解析：勒贝格可积函数是现代数学分析的重要研究对象，具有多种重要性质。8.简述勒贝格积分与黎曼积分的区别。参考答案：勒贝格积分与黎曼积分的主要区别如下：（1）定义方式：黎曼积分通过分割区间求和定义，勒贝格积分通过简单函数逼近定义；（2）可积函数范围：黎曼积分只能处理连续函数或有有限个间断点的函数，勒贝格积分可以处理几乎处处连续的函数；（3）积分性质：勒贝格积分具有线性性、绝对可积性等性质，黎曼积分不具有这些性质；（4）应用范围：勒贝格积分在概率论、泛函分析等领域有广泛应用，黎曼积分主要应用于初等数学。解析：勒贝格积分是现代数学分析的重要工具，与黎曼积分相比具有更广泛的应用范围。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=3，若F是E的一个可测子集，且m(F)=1，求m(E∩F^c)。参考答案：m(E∩F^c)=2解析：根据测度的可加性，m(E)=m(F)+m(E∩F^c)，因此m(E∩F^c)=m(E)-m(F)=3-1=2。2.设f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，若E是R上的可测集，且m(E)=2，求∫_Ef(x)dx。参考答案：∫_Ef(x)dx≤1解析：根据勒贝格积分的性质，集合E上的积分不大于整个区间上的积分，因此∫_Ef(x)dx≤∫[R]f(x)dx=1。3.设f(x)是实数集R上的连续函数，且f(x)≥0，若∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是概率密度函数，请证明。证明：根据题意，f(x)是实数集R上的连续函数，且f(x)≥0，且∫[R]f(x)dx=1。根据勒贝格积分的性质，连续函数在有限区间上绝对值有界且积分收敛，因此f(x)是概率密度函数。4.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=5，若F是E的一个可测子集，且m(F)=2，求m(E∩F^c)。参考答案：m(E∩F^c)=3解析：根据测度的可加性，m(E)=m(F)+m(E∩F^c)，因此m(E∩F^c)=m(E)-m(F)=5-2=3。5.设f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，若E是R上的可测集，且m(E)=3，求∫_Ef(x)dx。参考答案：∫_Ef(x)dx≤1解析：根据勒贝格积分的性质，集合E上的积分不大于整个区间上的积分，因此∫_Ef(x)dx≤∫[R]f(x)dx=1。6.设f(x)是实数集R上的连续函数，且f(x)≥0，若∫[R]f(x)dx=1，则f(x)是概率密度函数，请证明。证明：根据题意，f(x)是实数集R上的连续函数，且f(x)≥0，且∫[R]f(x)dx=1。根据勒贝格积分的性质，连续函数在有限区间上绝对值有界且积分收敛，因此f(x)是概率密度函数。7.设E是实数集R上的可测集，且m(E)=4，若F是E的一个可测子集，且m(F)=1，求m(E∩F^c)。参考答案：m(E∩F^c)=3解析：根据测度的可加性，m(E)=m(F)+m(E∩F^c)，因此m(E∩F^c)=m(E)-m(F)=4-1=3。8.设f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，若E是R上的可测集，且m(E)=2，求∫_Ef(x)dx。参考答案：∫_Ef(x)dx≤1解析：根据勒贝格积分的性质，集合E上的积分不大于整个区间上的积分，因此∫_Ef(x)dx≤∫[R]f(x)dx=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.D7.C8.D9.A10.A二、填空题1.概率密度函数2.≤33.≤4.概率密度5.≤26.≤7.概率密度8.≤59.≤10.概率密度三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.勒贝格测度的基本性质包括非负性、单调性、可数可加性、平移不变性等。非负性指测度非负；单调性指若A⊆B，则m(A)≤m(B)；可数可加性指若{E_n}是可数个两两不交的可测集，则m(∪∞_{n=1}E_n)=∑∞_{n=1}m(E_n)；平移不变性指若E是可测集，则m(E+a)=m(E)，其中a为实数。2.勒贝格积分的基本性质包括线性性、单调性、绝对可积性、区间可加性等。线性性指若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，λ和μ为常数，则∫[a,b](λf(x)+μg(x))dx=λ∫[a,b]f(x)dx+μ∫[a,b]g(x)dx；单调性指若f(x)和g(x)在[a,b]上可积且f(x)≤g(x)，则∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx；绝对可积性指若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积，且∫[a,b]|f(x)|dx<∞；区间可加性指若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上几乎处处连续。3.勒贝格微分定理的内容是：若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则存在一个勒贝格可积的函数g(x)，使得f(x)在[a,b]上几乎处处可微，f'(x)=g(x)几乎处处成立，∫[a,b]|f'(x)|dx=∫[a,b]|f(x)|dx。4.条件期望E[f(x)|x∈E]的定义是：若f(x)是实数集R上的非负可测函数，且∫[R]f(x)dx=1，则E[f(x)|x∈E]表示在集合E上f(x)的加权平均值，等于E[f(x)1_E(x)]/P(E)。5.勒贝格测度的构造过程是：首先定义半开区间(a,b]的测度为b-a；然后定义单点集的测度为0；接着定义可数个两两不交的半开区间的并的测度为各区间测度的和；最后通过Carathéodory延拓定理，将外测度扩展到所有可测集。6.勒贝格积分的定义是：若f(x)是实数集R上的非负可测函数，则f(x)的勒贝格积分定义为∫[R]f(x)dx=sup{∫[R]h(x)dx|h(x)≤f(x)，h(x)是简单函数}。7.勒贝格可积函数的性质包括绝对可积性、区间可加性、线性性、单调性等。绝对可积性指若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积，且∫[a,b]|f(x)|dx<∞；区间可加性指若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]