2025-2026年广东省人教版高中数学上册第11章数列同步练习题

2025-2026年广东省人教版高中数学上册第11章数列同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.7C.6D.5解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项均不正确，重新计算发现递推关系为c_{n+1}=c_n+2n，即c_{n+1}-c_n=2n，累加可得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=n^2-n+1，故c_6=6^2-6+1=31。选项均不正确，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项A、C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项均不正确，重新计算发现题目数据错误，需修正。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由递推关系可得f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)，无法精确计算。选项均不正确，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_7=15/2，a_5+a_9=2×15/2=15。选项均不正确，需修正题目。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_4=2×3^3=54。选项均不正确，需修正题目。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_6的值等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+2=4，i_4=i_3+3=7，i_5=i_4+4=11，i_6=i_5+5=16。选项均不正确，重新计算发现递推关系为i_{n+1}=i_n+n，即i_{n+1}-i_n=n，累加可得i_n=i_1+(i_2-i_1)+(i_3-i_2)+…+(i_n-i_{n-1})=1+1+2+…+(n-1)=1+n(n-1)/2=n^2-n/2+1/2，故i_6=6^2-6/2+1/2=31/2。选项均不正确，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则j_7的值等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质j_5/j_3=j_7/j_5，代入j_3=8，j_5=32可得32/8=j_7/32，解得j_7=128。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_4的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_4=4×4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5的值等于______。解：由递推关系可得c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，c_4=c_3+3×3=20，c_5=c_4+3×4=32。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=n^2+n+1-(n-1)^2-(n-1)+1=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_4的值等于______。解：由递推关系可得f_2=f_1+2×1=5，f_3=f_2+2×2=9，f_4=f_3+2×3=15。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则a_6+a_10的值等于______。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_6+a_10=2a_8，故a_8=15，a_6+a_10=2×15=30。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=5^n-1，则h_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_3=4×5^2=100。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+n+1，则i_6的值等于______。解：由递推关系可得i_2=i_1+1+1=7，i_3=i_2+2+1=10，i_4=i_3+3+1=14，i_5=i_4+4+1=19，i_6=i_5+5+1=25。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则j_6的值等于______。解：由等比数列性质j_4/j_2=j_6/j_4，代入j_2=6，j_4=54可得54/6=j_6/54，解得j_6=486。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=4，当n≥2时a_n=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，验证n=1时成立，故a_n=6n-2，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_3=b_1q^2=8，解得q=±2。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2，则该数列是等差数列。（√）解：由递推关系可得c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+2=6，…，c_n=c_1+2(n-1)=2n，是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（√）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10，又a_5+a_7=2a_6，故a_6=10，a_5+a_7=20。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（×）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，是等差数列。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+n，则该数列是等比数列。（×）解：由递推关系可得f_2=f_1+1=2，f_3=f_2+2=4，f_4=f_3+3=7，…，f_n=f_1+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2+1，不是等比数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则g_6的值等于486。（√）解：由等比数列性质g_4/g_2=g_6/g_4，代入g_2=6，g_4=54可得54/6=g_6/54，解得g_6=486。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（√）解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2^{n-1}，是等比数列。9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n+2n，则i_5的值等于35。（√）解：由递推关系可得i_2=i_1+2=5，i_3=i_2+4=9，i_4=i_3+6=15，i_5=i_4+8=23。10.在等差数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=12，则该数列的公差q等于4。（×）解：由等比数列性质j_5/j_3=j_7/j_5，代入j_3=8，j_5=12可得12/8=j_7/12，解得j_7=18，不是等差数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式b_n。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=3n^2-2n-(3(n-1)^2-2(n-1))=6n-5，验证n=1时成立，故b_n=6n-5。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，求该数列的前5项。解：由递推关系可得c_2=2c_1+1=3，c_3=2c_2+2=8，c_4=2c_3+3=19，c_5=2c_4+4=42。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，求该数列的通项公式d_n。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2，当q=2时d_n=2^{n-1}，当q=-2时d_n=(-2)^{n-1}。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的通项公式e_n。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，求该数列的前5项。解：由递推关系可得f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，f_4=f_3+6=15，f_5=f_4+8=23。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的通项公式g_n。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，又a_n=a_1+(n-1)d，故g_n=a_1+(n-1)d。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=5^n-1，求该数列的通项公式h_n。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=4×5^{n-1}。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}中a_1=10，d=5，求a_{10}，由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_{10}=10+(10-1)×5=60，故第10年生产设备数量为60台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}中b_1=100，q=1.1，求b_5，由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_5=100×1.1^4≈146.41，故2025年人口数量约为146.41万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第5年存款总额。解：由等比数列{c_n}中c_1=1000，q=1.05，求S_5，由等比数列前n项和公式S_n=c_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_5=1000×(1-1.05^5)/(1-1.05)≈6077.53，故第5年存款总额约为6077.53元。4.某林场计划每年比上一年多植树1000棵，已知第一年植树5000棵，求第8年植树数量。解：由等差数列{d_n}中a_1=5000，d=1000，求a_8，由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_8=5000+(8-1)×1000=9000，故第8年植树数量为9000棵。5.某产品成本每年降低10%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{e_n}中e_1=100，q=0.9，求e_4，由等比数列通项公式e_n=e_1q^{n-1}，代入e_4=100×0.9^3≈729，故2024年成本约为729元。6.某工厂计划每年比上一年增加员工数量，已知第一年员工数量为200人，以后每年比前一年多增加20人，求第6年员工数量。解：由等差数列{f_n}中a_1=200，d=20，求a_6，由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=200+(6-1)×20=300，故第6年员工数量为300人。7.某城市道路长度每年增加5%，已知2020年道路长度为1000公里，求2023年道路长度。解：由等比数列{g_n}中g_1=1000，q=1.05，求g_3，由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=1000×1.05^2≈1102.5，故2023年道路长度约为1102.5公里。8.某产品售价每年上涨8%，已知2020年售价为50元，求2025年售价。解：由等比数列{h_n}中h_1=50，q=1.08，求h_5，由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_5=50×1.08^4≈72.97，故2025年售价约为72.97元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.无解（需修正题目）4.A、C5.无解（需修正题目）6.无解（需修正题目）7.无解（需修正题目）8.无解（需修正题目）9.无解（需修正题目）10.B二、填空题1.32.153.324.±25.66.157.308.1009.2510.486三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.a_n=3n-12.b_n=6n-53.c_1=1，c_2=3，c_3=8，c_4=19，c_5=424.d_n=2^{n-1}或(-2)^{n-1}5.e_n=2n6.f_1=3，f_2=5，f_3=9，f_4=15，f_5=237.g_n=a_1+(n-1)d8.h_n=4×5^{n-1}五、应用题1.a_{10}=602.b_5≈146.41万3.S_5≈6077.53元4.a_8=90005.e_4≈729元6.a_6=3007.g_3≈1102.5公里8.h_5≈72.97元【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。选项A正确。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_4=15。选项D正确。3.由递推关系可得c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+3=7，c_4=c_3+4=11，c_5=c_4+5=16。选项均不正确，需修正题目。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2。选项A、C正确。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=6。选项D正确。6.由递推关系可得f_2=f_1+1+1=3，f_3=f_2+2+1=6，f_4=f_3+3+1=10，f_5=f_4+4+1=15，f_6=f_5+5+1=21。选项均不正确，需修正题目。7.由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_6+a_10=2a_8，故a_8=15，a_6+a_10=30。选项均不正确，需修正题目。8.由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_3=100。选项均不正确，需修正题目。9.由递推关系可得i_2=i_1+1+1=7，i_3=i_2+2+1=10，i_4=i_3+3+1=14，i_5=i_4+4+1=19，i_6=i_5+5+1=24。选项均不正确，需修正题目。10.由等比数列性质j_4/j_2=j_6/j_4，代入j_2=6，j_4=54可得54/6=j_6/54，解得j_6=486。选项B正确。二、填空题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=3n^2-n-(3(n-1)^2-(n-1))=6n-5，验证n=1时成立，故b_n=6n-5。3.由递推关系可得c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+3=7，c_4=c_3+4=11，c_5=c_4+5=16。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2，当q=2时d_n=2^{n-1}，当q=-2时d_n=(-2)^{n-1}。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。6.由递推关系可得f_2=f_1+1+1=3，f_3=f_2+2+1=6，f_4=f_3+3+1=10，f_5=f_4+4+1=15，f_6=f_5+5+1=21。7.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，又a_n=a_1+(n-1)d，故g_n=a_1+(n-1)d。8.由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=4×5^{n-1}。三、判断题1.由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=4，当n≥2时a_n=3n^2-n-(3(n-1)^2-(n-1))=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5，是等差数列。2.由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_3=b_1q^2=8，解得q=±2√2。3.由递推关系可得c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+3=7，c_4=c_3+4=11，c_5=c_4+5=16，不是等比数列。4.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，又a_5+a_7=2a_6，故a_6=10，a_5+a_7=20。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，是等差数列。6.由递推关系可得f_2=f_1+1+1=3，f_3=f_2+2+1=6，f_4=f_3+3+1=10，f_5=f_4+4+1=14，不是等比数列。7.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，又a_5+a_7=2a_6，故a_6=10，a_5+a_7=20。8.由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=4×5^{n-1}，是等比数列。9.由递推关系可得i_2=i_1+1+1=7，i_3=i_2+2+1=10，i_4=i_3+3+1=14，i_5=i_4+4+1=19，i_6=i_5+5+1=24。10.由等比数列性质j_5/j_3=j_7/j_5，代入j_3=8，j_5=12可得12/8=j_7/12，解得j_7=18，不是等差数列。四、简答题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=3n^2-n-(3(n-1)^2-(n-1))=6n-5，验证n=1时成立，故b_n=6n-5。3.由递推关系可得c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+3=7，c_4=c_3+4=11，c_5=c_4+5=16。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2，当q=2时d_n=2^{n-1}，当q=-2时d_n=(-2)^{n-1}。5