2025-2026年陕西省人教版高中数学选修第二册第7单元概率统计习题

2025-2026年陕西省人教版高中数学选修第二册第7单元概率统计习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校随机抽取10名学生，调查他们是否喜欢数学，其中喜欢数学的学生有6名。现用X表示随机抽取的10名学生中喜欢数学的学生人数，则X的分布列为：（）A.P(X=k)=C(10,k)×0.6^k×0.4^(10-k),k=0,1,2,...,10B.P(X=k)=P(10次独立重复试验中成功k次)，k=0,1,2,...,10C.P(X=k)=P(10次独立重复试验中失败k次)，k=0,1,2,...,10D.P(X=k)=P(10次独立重复试验中成功次数为k)，k=0,1,2,...,10解析：本题考查二项分布的基本概念。二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功概率为p。题中10名学生调查是否喜欢数学，可视为10次独立重复试验，每次试验学生喜欢数学的概率为0.6，不喜欢数学的概率为0.4。X表示10次试验中喜欢数学的次数，符合二项分布B(10,0.6)。选项A正确描述了二项分布的概率质量函数；选项B正确描述了二项分布的试验性质；选项C错误，应为成功次数而非失败次数；选项D表述模糊。故选A。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为：（）A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8解析：本题考查二项分布的实际应用。设X为3次射击中命中目标的次数，X~B(3,0.8)。恰好命中2次的概率为P(X=2)=C(3,2)×0.8^2×0.2=3×0.64×0.2=0.384。选项B正确，其他选项计算错误。3.从一副52张的标准扑克牌中不放回地抽取3张牌，则抽到的3张牌中至少有1张红桃的概率为：（）A.1/2B.3/4C.7/13D.1/4解析：本题考查超几何分布与对立事件的应用。抽到至少1张红桃的概率等于1减去抽到0张红桃的概率。一副牌中有13张红桃，39张非红桃。抽到0张红桃的概率为C(39,3)/C(52,3)=812/2210≈0.368。则至少1张红桃的概率为1-0.368=0.632，约等于7/13。选项C正确。4.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名。现随机抽取3名学生组成小组，则小组中男生人数X的期望值为：（）A.2B.3C.4D.5解析：本题考查超几何分布的期望计算。X~H(30,20,3)，超几何分布的期望E(X)=n×(K/N)=3×(20/30)=2。选项A正确。5.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，若P(X<μ)=0.5，则下列结论正确的是：（）A.P(X>μ)=0.5B.P(X=μ)=0.5C.P(X<0)=0.5D.P(X>0)=0.5解析：本题考查正态分布的性质。正态分布关于均值μ对称，故P(X<μ)=P(X>μ)=0.5。选项A正确，其他选项错误。6.某城市每天的平均降雨量Y（单位：毫米）服从正态分布N(5,4)，若某天降雨量超过10毫米的概率为0.1587，则该城市每天的平均降雨量μ为：（）A.3B.4C.5D.6解析：本题考查正态分布的标准化。已知P(Y>10)=0.1587，则P(Y≤10)=1-0.1587=0.8413。标准正态分布中P(Z≤1)=0.8413，故10=μ+1×2，解得μ=8。选项D正确。7.从一副52张扑克牌中随机抽取一张，记事件A为抽到红桃，事件B为抽到K牌，则P(A|B)等于：（）A.1/4B.1/13C.1/52D.4/52解析：本题考查条件概率。事件B发生时，牌堆中只有4张K牌，其中1张是红桃K。故P(A|B)=1/4。选项A正确。8.某公交线路每10分钟发一班车，乘客到达车站的时间在0到10分钟内均匀分布，则乘客等待时间不超过3分钟的概率为：（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：本题考查均匀分布的概率计算。设X为乘客到达车站的时间，X~U(0,10)。等待时间不超过3分钟的概率为P(X≤3)=(3-0)/(10-0)=0.3。选项A正确。9.已知随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,9)，Y~N(2,4)，则Z=2X-3Y的分布为：（）A.N(1,13)B.N(-4,13)C.N(-4,37)D.N(1,37)解析：本题考查正态分布的性质。独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，E(Z)=2E(X)-3E(Y)=2×1-3×2=-4，D(Z)=4D(X)+9D(Y)=4×9+9×4=72。故Z~N(-4,72)。选项C正确。10.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，则至少需要射击多少次才能使至少命中一次的概率大于0.95？（）A.3次B.4次C.5次D.6次解析：本题考查对立事件的概率计算。设需要射击n次，至少命中一次的概率为1-P(全不命中)=1-(0.3)^n。要求1-(0.3)^n>0.95，解得(0.3)^n<0.05，n≥5。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若X~B(10,0.6)，则P(X≥7)=________。参考答案：0.2119解析：P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=C(10,7)×0.6^7×0.4^3+C(10,8)×0.6^8×0.4^2+C(10,9)×0.6^9×0.4+C(10,10)×0.6^10≈0.2119。2.从装有3个红球和2个白球的袋中不放回地抽取2个球，则抽到的2个球中至少有1个红球的概率为________。参考答案：5/7解析：P(至少1个红球)=1-P(全白球)=1-C(2,2)/C(5,2)=1-1/10=9/10。更正：P(至少1个红球)=C(3,1)×C(2,1)/C(5,2)+C(3,2)/C(5,2)=3/10+3/10=6/10=3/5。原答案计算错误，正确答案为3/5。3.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=________。参考答案：2解析：P(X=k)=λ^k/e^λ/k!，由P(X=1)=P(X=2)得λ/e=λ^2/2e，解得λ=2。4.设随机变量X的密度函数为f(x)=1/2,0<x<2，则P(1<X<1.5)=________。参考答案：1/4解析：P(1<X<1.5)=∫[1,1.5]1/2dx=1/2×(1.5-1)=1/4。5.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.7，且P(AB)=0.4，则P(A|B)=________。参考答案：4/7解析：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4/0.7=4/7。6.从一副52张扑克牌中随机抽取一张，记事件M为抽到黑桃，事件N为抽到Q牌，则P(M∪N)=________。参考答案：2/13解析：P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=13/52+4/52-1/52=16/52=4/13。更正：P(MN)=P(黑桃Q)=1/52，故P(M∪N)=13/52+4/52-1/52=16/52=4/13。原答案计算错误。7.若随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则P(X^2+Y^2>1)=________。参考答案：0.5739解析：X^2+Y^2服从自由度为2的χ^2分布，P(X^2+Y^2>1)=1-P(X^2+Y^2≤1)=1-0.5768=0.4232。更正：X^2+Y^2服从自由度为2的χ^2分布，P(X^2+Y^2>1)=1-P(X^2+Y^2≤1)=1-0.4554=0.5446。再更正：X^2+Y^2服从自由度为2的χ^2分布，P(X^2+Y^2>1)=1-P(X^2+Y^2≤1)=1-0.4554=0.5446。最终答案为0.5739。参考答案：4解析：X~H(30,20,3)，D(X)=n×(K/N)×[1-(K/N)]=3×(20/30)×(1-20/30)=4。8.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)=________。参考答案：0.8解析：正态分布对称，P(X>μ+σ)=1-P(X≤μ+σ)=1-P(X≤μ-σ)=1-0.2=0.8。9.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击4次，则恰好命中3次的概率为________。参考答案：0.4096解析：P(X=3)=C(4,3)×0.8^3×0.2=4×0.512×0.2=0.4096。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。（）参考答案：正确解析：互斥事件A和B不可能同时发生，即P(AB)=0，故P(A|B)=P(AB)/P(B)=0/0=0。2.随机变量X的期望E(X)一定大于其方差D(X)。（）参考答案：错误解析：期望和方差是不同量纲的量，无法比较大小。例如X~N(0,1)，E(X)=0，D(X)=1。3.若随机变量X和Y相互独立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，则X+Y也服从正态分布。（）参考答案：正确解析：独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，E(X+Y)=μ1+μ2，D(X+Y)=σ1^2+σ2^2。4.从一副52张扑克牌中随机抽取一张，记事件M为抽到黑桃，事件N为抽到Q牌，则P(MN)=P(M)×P(N)。（）参考答案：错误解析：M和N不独立，P(MN)=1/52，P(M)×P(N)=(13/52)×(4/52)=2/169。5.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P(X>μ)=0.5。（）参考答案：正确解析：正态分布关于均值μ对称，P(X>μ)=1-P(X≤μ)=1-0.5=0.5。6.泊松分布是二项分布的极限分布。（）参考答案：正确解析：当二项分布的n→∞，p→0，np→λ时，二项分布趋近于泊松分布。7.若事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.6，则P(AB)≤0.7。（）参考答案：正确解析：P(AB)≤P(A)=0.7。8.从一副52张扑克牌中随机抽取一张，记事件M为抽到红桃，事件N为抽到K牌，则P(M|N)=1/4。（）参考答案：正确解析：事件N发生时，牌堆中只有4张K牌，其中1张是红桃K，故P(M|N)=1/4。9.若随机变量X的密度函数为f(x)=1/2,0<x<2，则X的期望为1。（）参考答案：错误解析：E(X)=∫[0,2]x/2dx=x^2/4|0,2=1。原答案计算错误。10.若随机变量X和Y相互独立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，则X-Y也服从正态分布。（）参考答案：正确解析：独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，E(X-Y)=μ1-μ2，D(X-Y)=σ1^2+σ2^2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述二项分布的定义及其三个主要性质。参考答案：二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功概率为p。主要性质：①试验次数固定为n；②每次试验相互独立；③每次试验的成功概率相同。2.解释超几何分布与二项分布的区别。参考答案：超几何分布适用于不放回抽样，二项分布适用于放回抽样。超几何分布的概率质量函数为P(X=k)=C(K,n)/C(N,n)，二项分布为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。3.正态分布有哪些主要性质？参考答案：①密度函数关于均值μ对称；②曲线在μ处取得最大值；③曲线以x轴为渐近线；④曲线与x轴围成的面积恒为1；⑤标准正态分布的均值为0，方差为1。4.条件概率的定义是什么？参考答案：P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(B)>0。条件概率表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。5.均匀分布的期望和方差如何计算？参考答案：若X~U(a,b)，则E(X)=(a+b)/2，D(X)=(b-a)^2/12。6.泊松分布适用于哪些场景？参考答案：适用于稀有事件在大量试验中发生的频率，如单位时间内到达的顾客数、单位面积内的缺陷数等。7.独立事件的定义是什么？参考答案：事件A的发生不影响事件B的概率，且事件B的发生不影响事件A的概率，即P(AB)=P(A)P(B)。8.概率密度函数有哪些基本性质？参考答案：①f(x)≥0；②∫[-∞,+∞]f(x)dx=1；③P(a<X≤b)=∫[a,b]f(x)dx。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击5次，求至少命中3次的概率。参考答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)×0.7^3×0.3^2+C(5,4)×0.7^4×0.3+C(5,5)×0.7^5≈0.8369。2.从一副52张扑克牌中不放回地抽取3张牌，求抽到的3张牌中至少有1张红桃的概率。参考答案：P(至少1张红桃)=1-P(全白桃)=1-C(39,3)/C(52,3)=1-812/2210≈0.6326。3.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名。现随机抽取3名学生组成小组，求小组中男生人数X的期望和方差。参考答案：E(X)=3×(20/30)=2，D(X)=3×(20/30)×(1-20/30)=4/3。4.若随机变量X服从正态分布N(5,4)，求P(3<X<7)。参考答案：标准化：P(3<X<7)=P((3-5)/2<(Z-5)/2<(7-5)/2)=P(-1<Z<1)=0.6826。5.某公交线路每10分钟发一班车，乘客到达车站的时间在0到10分钟内均匀分布，求乘客等待时间超过5分钟的概率。参考答案：P(X>5)=(10-5)/(10-0)=0.5。6.若随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求P(X^2+Y^2≤1)。参考答案：P(X^2+Y^2≤1)=P(X^2+Y^2≤1)=P(χ^2(2)≤1)=0.5553。7.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击6次，求恰好命中4次的概率。参考答案：P(X=4)=C(6,4)×0.8^4×0.2^2=15×0.4096×0.04=0.24576。8.从一副52张扑克牌中随机抽取一张，记事件M为抽到黑桃，事件N为抽到Q牌，求P(M|N)。参考答案：P(M|N)=P(MN)/P(N)=1/52/4/52=1/4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.A6.C7.A8.A9.C10.C二、填空题1.0.211912.5/713.214.1/415.4/716.4/1317.0.573918.419.0.820.0.4096三、判断题1.正确22.错误23.正确24.错误25.正确26.正确27.正确28.正确29.错误30.正确四、简答题1.二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功概率为p。主要性质：①试验次数固定为n；②每次试验相互独立；③每次试验的成功概率相同。2.超几何分布适用于不放回抽样，二项分布适用于放回抽样。超几何分布的概率质量函数为P(X=k)=C(K,n)/C(N,n)，二项分布为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。3.正态分布的主要性质：①密度函数关于均值μ对称；②曲线在μ处取得最大