2025-2026年人教版高二数学第7章函数的性质与图像综合测试卷

2025-2026年人教版高二数学第7章函数的性质与图像综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2的图像关于原点对称，则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减。A.正确B.错误解析：f(x)为奇函数需满足f(-x)=-f(x)，但f(-x)=(-x)³-3(-x)+2=-x³+3x+2≠-f(x)，故f(x)非奇函数。原函数f(x)导数为f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，在(-∞,0)区间f'(x)>0，函数单调递增，选项B正确。2.若函数g(x)=|x-a|+|x+a|在x=1处取得最小值，则实数a的取值范围是[-1,1]。A.正确B.错误解析：g(x)的最小值为2|a|，当x=1时g(1)=|1-a|+|1+a|，需满足1-a=1+a或1-a=-1-a，解得a=0，此时最小值为2|a|=0，故a=0，取值范围非[-1,1]，选项B正确。3.函数h(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后与原图像重合，则φ=2kπ+π/2（k∈Z）。A.正确B.错误解析：平移π/4后h(x)=sin[2(x-π/4)+φ]=sin(2x-π/2+φ)，与原函数重合需满足-π/2+φ=2kπ+π/2，解得φ=2kπ+π，选项B正确。4.函数m(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值为1，则a的取值范围是[-1,3]。A.正确B.错误解析：m(x)=(x-a)²+1为开口向上的抛物线，对称轴x=a，分情况讨论：①a≤0时，m(x)在[0,2]单调递增，最小值m(0)=1，解得a=0；②0<a<2时，最小值m(a)=1，解得a=1；③a≥2时，m(x)在[0,2]单调递减，最小值m(2)=1，解得a=3。综上a∈{0,1,3}，选项B正确。5.函数n(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为3。A.正确B.错误解析：n'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令n'(x)=0得x=1±√3/3，n(-1)=-12，n(1-√3/3)=4√3/9-2/3>0，n(1+√3/3)=4√3/9-2/3<0，n(3)=0，由零点定理知n(x)在(-1,1-√3/3)、(1-√3/3,1+√3/3)、(1+√3/3,3)各有一个零点，共3个，选项A正确。6.函数p(x)=|x-1|+|x+2|的图像与直线y=kx+3有且仅有一个交点，则k的取值范围是(-∞,-3)∪{1}∪(3,+∞)。A.正确B.错误解析：p(x)分段为：x<-2时，p(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，p(x)=3；x>1时，p(x)=2x+1。①直线过(-2,3)时k=1；②直线y=-3x+3与p(x)=-2x-1相切，k=-2；③直线y=-3x+3与p(x)=2x+1相切，k=4。故k∈(-∞,-2)∪{1}∪(4,+∞)，选项B正确。7.函数q(x)=2cos²x-sin(2x)-1在[0,2π]上的最大值为√2-1。A.正确B.错误解析：q(x)=1+cos(2x)-sin(2x)-1=cos(2x)-sin(2x)=√2cos(2x+π/4)，当2x+π/4=2kπ时取得最大值√2，即x=kπ-π/8，在[0,2π]内最大值√2，选项B正确。8.函数r(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程为y=x-1。A.正确B.错误解析：r'(x)=3x²-6x+2，r'(1)=-1，r(1)=0，切线方程为y-0=-1(x-1)，即y=-x+1，选项B正确。9.函数s(x)=x²lnx在x=1处取得极小值。A.正确B.错误解析：s(x)定义域为(0,+∞)，s'(x)=2xlnx+x，令s'(x)=0得x=1/e，s''(x)=2lnx+3，s''(1/e)=-3<0，故x=1/e为极小值点，选项A正确。10.函数t(x)=x²/(x²+1)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上单调递增。A.正确B.错误解析：t'(x)=2x(x²+1)-x²•2x/(x²+1)²=2x/(x²+1)²，当x<-1或x>1时t'(x)>0，函数单调递增，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数u(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________。参考答案：3解析：u(x)分段为：x<-2时，u(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，u(x)=3；x>1时，u(x)=2x+1，最小值为3。2.函数v(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ=________（k∈Z）。参考答案：kπ+π/4解析：对称轴x=π/4需满足2(π/4)+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ+π/4。3.函数w(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为________。参考答案：5解析：w(x)导数为w'(x)=3x²-6x+2，令w'(x)=0得x=1±√3/3，w(-1)=-12，w(1-√3/3)=4√3/9-2/3>0，w(1+√3/3)=4√3/9-2/3<0，w(3)=0，最大值为max{w(-1),w(1-√3/3),w(3)}=5。4.函数z(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值为________。参考答案：6解析：z(x)分段为：x<-2时，z(x)=-3x+4；-2≤x≤1时，z(x)=-x+3；1<x≤3时，z(x)=x+2；x>3时，z(x)=3x-4，最小值为6。5.函数y=cos²x-sin(2x)-1在[0,2π]上的最小值为________。参考答案：-√2-1解析：y=-sin²x-sin(2x)，令t=sinx，y=-t²-t，t∈[-1,1]，当t=-1/2时y取得最小值-√2-1。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线斜率为________。参考答案：2解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=2。7.函数g(x)=x²lnx在x=1处的导数为________。参考答案：1解析：g'(x)=2xlnx+x，g'(1)=1。8.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的图像与直线y=kx+3有且仅有一个交点，则k的取值范围是________。参考答案：(-∞,-3)∪{1}∪(3,+∞)解析：同选择题第6题解析。9.函数k(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π/4个单位后与原图像重合，则φ=________（k∈Z）。参考答案：kπ-π/4解析：平移π/4后k(x)=sin[2(x+π/4)+φ]=sin(2x+π/2+φ)，与原函数重合需满足π/2+φ=2kπ，解得φ=2kπ-π/2。10.函数m(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为________。参考答案：3解析：同选择题第5题解析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数n(x)=|x-a|+|x+a|在x=0处取得最小值2|a|。A.正确B.错误解析：n(0)=2|a|，当x=0时n(x)≥2|a|，最小值为2|a|，选项A正确。2.函数p(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/2个单位后与原图像重合，则φ=2kπ。A.正确B.错误解析：平移π/2后p(x)=sin[2(x-π/2)+φ]=sin(2x-π+φ)，与原函数重合需满足-π+φ=2kπ，解得φ=2kπ+π，选项B错误。3.函数q(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极大值。A.正确B.错误解析：q'(x)=3x²-6x+2，q'(1)=0，q''(1)=-3<0，故x=1为极大值点，选项A正确。4.函数r(x)=x²/(x²+1)在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增。A.正确B.错误解析：r'(x)=2x/(x²+1)²，当x>0时r'(x)>0，当x<0时r'(x)<0，选项B错误。5.函数s(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于x=-1对称。A.正确B.错误解析：s(-1)=4，s(-1-x)=|x+3|+|x+1|≠s(-1+x)，选项B错误。6.函数t(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π/4个单位后与原图像重合，则φ=2kπ+π/2（k∈Z）。A.正确B.错误解析：平移π/4后t(x)=sin[2(x+π/4)+φ]=sin(2x+π/2+φ)，与原函数重合需满足π/2+φ=2kπ，解得φ=2kπ-π/2，选项B错误。7.函数u(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为0。A.正确B.错误解析：最小值为3，选项B正确。8.函数v(x)=x³-3x²+2x在x=0处取得极小值。A.正确B.错误解析：v'(x)=3x²-6x+2，v'(0)=2>0，非极值点，选项B正确。9.函数w(x)=cos²x-sin(2x)-1在[0,2π]上的最大值为1。A.正确B.错误解析：w(x)=-sin²x-sin(2x)，当sinx=0时w(x)=0，非最大值，选项B正确。10.函数x(x)=x²/(x²+1)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上单调递增。A.正确B.错误解析：同选择题第10题解析，选项A正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数y=|x-1|+|x+2|的图像有何对称性？答：关于直线x=-1对称。解析：设f(x)=|x-1|+|x+2|，f(-1-x)=|x+3|+|x+1|=f(-1+x)，图像关于x=-1对称。2.函数y=sin(2x+φ)的图像向右平移π/2个单位后与原图像重合，求φ的取值。答：φ=2kπ-π/2（k∈Z）。解析：平移π/2后y=sin[2(x-π/2)+φ]=sin(2x-π+φ)，与原函数重合需满足-π+φ=2kπ，解得φ=2kπ+π。3.函数y=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。答：最大值5，最小值-12。解析：y'=-6x+2，令y'=0得x=1/3，y(-1)=-12，y(1/3)=4√3/27-2/9>0，y(3)=0，最大值为max{y(-1),y(1/3),y(3)}=5，最小值为-12。4.函数y=cos²x-sin(2x)-1在[0,2π]上的最值。答：最大值0，最小值-√2-1。解析：令t=sinx，y=-t²-t，t∈[-1,1]，当t=-1/2时y取得最小值-√2-1，当t=0时y取得最大值0。5.函数y=x²/(x²+1)的单调区间。答：增区间(0,+∞)，减区间(-∞,0)。解析：y'=2x/(x²+1)²，当x>0时y'>0，当x<0时y'<0。6.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。答：最小值3，取得最小值时x∈[-2,1]。解析：分段函数在x=-2时取得最小值3，且在x∈[-2,1]上恒为3。7.函数y=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，求φ的取值。答：φ=kπ-π/2（k∈Z）。解析：对称需满足sin(2(-x)+φ)=sin(2x+φ)，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)，-2x+φ=2x+φ+2kπ或-2x+φ=π-2x-φ+2kπ，解得φ=kπ-π/2。8.函数y=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程。答：y=x-1。解析：y'=-6x+2，y'(1)=-1，y(1)=0，切线方程为y=-1(x-1)，即y=x-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|在x=1处取得最小值2，求a的值。解：f(1)=|1-a|+|1+a|，由最小值条件得|1-a|+|1+a|=2，①a≥1时，1-a+1+a=2，解得a=1；②-1≤a<1时，1-a+1+a=2，解得a=0；③a<-1时，-1-a+1+a=2，无解。综上a=0或a=1。2.函数g(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,√2/2)，求φ的值。解：g(π/4)=sin(π/2+φ)=√2/2，π/2+φ=π/4+2kπ或π/2+φ=3π/4+2kπ，解得φ=-π/4+2kπ或φ=π/4+2kπ。3.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点。解：h(x)导数为h'(x)=3x²-6x+2，令h'(x)=0得x=1±√3/3，h(-1)=-12，h(1-√3/3)>0，h(1+√3/3)<0，h(3)=0，由零点定理知零点为x=-1，x∈(1-√3/3,1+√3/3)，x=3。4.函数k(x)=|x-1|+|x+2|的图像与直线y=mx+3有且仅有一个交点，求m的取值范围。解：k(x)分段为：x<-2时，k(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，k(x)=3；x>1时，k(x)=2x+1。①直线过(-2,3)时m=1；②直线y=-3x+3与k(x)=-2x-1相切，m=-2；③直线y=-3x+3与k(x)=2x+1相切，m=4。故m∈(-∞,-2)∪{1}∪(4,+∞)。5.函数f(x)=x²lnx在x=1处取得极值，求极值。解：f'(x)=2xlnx+x，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=2lnx+3，f''(1/e)=-3<0，故x=1/e为极小值点，f(1/e)=-(1/e)²ln(1/e)=1/e²。6.函数g(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后与原图像重合，求φ的值。解：平移π/4后g(x)=sin[2(x-π/4)+φ]=sin(2x-π/2+φ)，与原函数重合需满足-π/2+φ=2kπ，解得φ=2kπ+π/2。7.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：h'(x)=3x²-6x+2，令h'(x)=0得x=1±√3/3，h(-1)=-12，h(1-√3/3)>0，h(1+√3/3)<0，h(3)=0，最大值为max{h(-1),h(1-√3/3),h(3)}=5，最小值为-12。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.B5.A6.B7.B8.B9.A10.A二、填空题1.312.kπ+π/413.514.615.-√2-116.217.118.-∞,-3∪{1}∪(3,+∞)19.kπ-π/420.3三、判断题1.A22.B23.A24.B25.B26.B27.B28.B29.B30.A四、简答题1.关于直线x=-1对称2.φ=2kπ-π/2（k∈Z）3.最大值5，最小值-124.最大值0，最小值-√2-15.增区间(0,+∞)，减区间(-∞,0)6.最小值3，x∈[-2,1]7.φ=kπ-π/2（k∈Z）8.y=x-1五、应用题1.a=0或a=12.φ=-π/4+2kπ或φ=π/4+2kπ3.x=-1，x∈(1-√3/3,1+√3/3)，x=34.m∈(-∞,-2)∪{1}∪(4,+∞)5.极小值1/e²6.φ=2kπ+π/27.最大值5，最小值-12【解析】一、单项选择题1.奇函数需f(-x)=-f(x)，但f(-x)=-x³+3x-2≠-f(x)，非奇函数，f'(x)=3x²-3，x∈(-∞,0)时f'(x)>0，函数单调递增，选项B错误。2.g(x)最小值为2|a|，当x=a时取得，需x=1=a，a=1，选项B错误。3.sin(2x+φ)周期为π，平移π/4重合需满足2π/4=2kπ，φ=2kπ+π/2，选项B错误。4.h(x)导数为h'(x)=3x²-6x+2，令h'(x)=0得x=1±√3/3，x∈[0,1-√3/3)时h(x)单调递增，x∈(1-√3/3,1+√3/3)时单调递减，x∈(1+√3/3,3]时单调递增，最小值h(1+√3/3)<0，最大值h(1-√3/3)>0，选项B错误。5.r(x)导数为r'(x)=2x/(x²+1)²，x∈(-∞,-1)时r'(x)>0，x∈(-1,0)时r'(x)<0，x∈(0,1)时r'(x)>0，x∈(1,+∞)时r'(x)<0，零点为x=-1，x∈(1-√3/3,1+√3/3)，x=3，共3个，选项A正确。6.g(x)导数为g'(x)=2x/(x²+1)²，x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，x∈(-1,0)时g'(x)<0，x∈(0,1)时g'(x)>0，x∈(1,+∞)时g'(x)<0，选项B错误。7.t(x)=-sin²x-sin(2x)，令t=sinx，t∈[-1,1]，y=-t²-t，当t=-1/2时y取得最小值-√2-1，当t=0时y取得最大值0，选项B错误。8.t(x)导数为t'(x)=2x/(x²+1)²，x∈(-∞,-1)时t'(x)>0，x∈(-1,0)时t'(x)<0，x∈(0,1)时t'(x)>0，x∈(1,+∞)时t'(x)<0，选项B错误。9.s(x)导数为s'(x)=2xlnx+x，s'(1)=1>0，非极值点，选项B错误。10.t(x)导数为t'(x)=2x/(x²+1)²，x∈(-∞,-1)时t'(x)>0，x∈(-1,0)时t'(x)<0，x∈(0,1)时t'(x)>0，x∈(1,+∞)时t'(x)<0，选项A正确。二、填空题1.分段函数x∈(-∞,-2)时，u(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，u(x)=3；x∈(1,+∞)时，u(x)=2x+1，最小值为3。2.平移π/4后y=sin[2(x-π/4)+φ]=sin(2x-π/2+φ)，与原函数重合需满足-π/2+φ=2kπ，解得φ=2kπ+π/2。3.分段函数x∈[-1,1-√3/3)时，h(x)单调递增，h(1-√3/3)>0；x∈(1-√3/3,1+√3/3)时，h(x)单调递减，h(1+√3/3)<0；x∈(1+√3/3,3]时，h(x)单调递增，h(3)=0，最大值为max{h(-1),h(1-√3/3),h(3)}=5。4.分段函数x∈(-∞,-2)时，z(x)=-3x+4；x∈[-2,1]时，z(x)=-x+3；x∈(1,3)时，z(x)=x+2；x∈(3,+∞)时，z(x)=3x-4，最小值为6。5.y=-sin²x-sin(2x)，令t=sinx，t∈[-1,1]，y=-t²-t，当t=-1/2时y取得最小值-√2-1。6.f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=2。7.g'(x)=2xlnx+x，g'(1)=1。8.同选择题第6题解析。9.平移π/4后y=sin[2(x+π/4)+φ]=sin(2x+π/2+φ)，与原函数重合需满足π/2+φ=2kπ，解得φ=2kπ-π/2。10.同选择题第5题解析。三、判断题1.最小值为2|a|，当x=a时取得，需x=0=a，a=0，选项A正确。2.平移π/2后y=sin[2(x-π/2)+φ]=sin(2x-π+φ)，与原函数重合需满足-π+φ=2kπ，解得φ=2kπ+π，选项B错误。3.h'(x)=3x²-6x+2，h'(1)=0，h''(1)=-3<0，故x=1为极大值点，选项A正确。4.r'(x)=2x/(x²+1)²，当x>0时r'(x)>0，当x<0时r'(x)<0，选项B错误。5.设f(x)=|x-1|+|x+2|，f(-1-x)=|x+3|+|x+1|≠f(-1+x)，选项B错误。6.平移π/4后y=sin[2(x+π/4)+φ]=sin(2x+π/2+φ)，与原函数重合需满足π/2+φ=2kπ，解得φ=2kπ-π/2，选项B错误。7.最小值为3，选项B正确。8.h'(x)=3x²-6x+2，h'(0)=2>0，非极值点，选项B正确。9.y=-sin²x-sin(2x)，当sinx=0时y=0，非最大值，选项B正确。10.同选择题第10题解析，选项A正确。四、简答题1.设f(x)=|x-1|+|x+2|，f(-1-x)=|x+3|+|x+1|=f(-1+x)，图像关于x=-1对称。2.平移π/2后y=sin[2(x-π/2)+φ]=sin(2x-π+φ)，与原函数重合需满足-π+φ=2kπ，解得φ=2kπ+π。3.h'(x)=3x²-6x+2，令h'(x)=0得x=1±√3/3，h(-1)=-12，h(1/3)=4√3/27-2/9>0，h(3)=0，最大值为max{h(-1),h(1/3),h(3)}=5，最小值为-12。4.令t=sinx，y=-t²-t，t∈[-1,1]，当t=-1/2时y取得最小值-√2-1，当t=0时y取得最大值0。5.h'(x)=2x/(x²+1)²，当x>0时h'(x)>0，当x<0时h'(x)<0，增区间(0,+∞)，减区间(-∞,0)。6.分段函数x∈(-∞,-2)时，k(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，k(x)=3；x∈(1,3)时，k(x)=x+2；x∈(