第一章 勾股定理 单元试卷（含答案）2026-2027学年-北师大版八年级上册数学

北师大版8年级数学上2026-2027第一章勾股定理一．选择题（共10小题）1．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2．如图，一根长10米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时AO长8米，当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′，若AA′＝2，则BB′的长为（）A．1 B．1.5 C．3 D．23．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（）A．45° B．30° C．60° D．90°4．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．125．如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3，CD＝4，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．13cm D．15cm6．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．①② B．①②④ C．②④ D．①④7．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为6cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底2cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为（）cm（杯壁厚度不计）A．13 B．14 C．15 D．168．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（）A．29 B．32 C．36 D．459．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则EC的长是（）A． B． C． D．10．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（）A． B． C．2 D．3二．填空题（共6小题）11．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是．12．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝．13．如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．如图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC（∠ABC＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝30米，BC＝40米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．14．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝．15．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇数，则b＝（用含m的式子表示）．16．如图，设AD、BE、CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，AE﹣EC＝，则线段BE的长为．三．解答题（共7小题）17．如图，在树干的顶部A和地面B、C两点处引两条绳子AB，AC，已知树干AD的长为12m，BD的长为5m，DC的长为16m，AD⊥BC，求绳子总长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，BC长为10，点D是AB上的一点，BD＝6，CD＝8．（1）△BDC是哪种类型的三角形，请给出证明；（2）求出线段AC的长．19．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？（2）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，连接BD，且AD2﹣DC2＝BC2．判断△BCD的形状，并说明理由．21．定义：如图所示，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段分割成AM，MN，NB，若AM＝2，MN＝4，BN2＝12，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．22．如图，B、C、D三点在同一直线上，AO⊥BC于O，BC＝CD，且AB＝AC＝5，AO＝3．点P是线段DB上的一个动点，点P从起点D运动到终点B（包括D、B），当△ACP是等腰三角形时，求线段DP的长度．23．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝12，将其沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕与AC交于点E，求CE的长；【深入探究】（2）如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若AB＝8，BC＝16，求AE的长；【拓展延伸】（3）如图3，在长方形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝16，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值．

参考答案一．选择题（共10小题）1．选：C．2．选：D．3．选：A．4．选：B．5．选：D．6．选：A．7．选：A．8．选：D．9．选：B．10．选：B．二．填空题（共6小题）11．答案为：5．12．答案为：6．13．答案为：50，20．14．答案为24．15．答案为：m．16．答案为：．三．解答题（共7小题）17．答：钢丝的总长等于33m．18．解：（1）△BDC是直角三角形，理由如下：∵BD2+CD2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴△BDC是直角三角形；（2）设AC＝x，则AD＝x﹣6，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2，∴x2＝82+（x﹣6）2，∴x＝，∴AC＝．19．解：（1）设AB、BC、CA分别为3xcm、4xcm、5xcm，由题意得：3x+4x+5x＝36，解得：x＝3，则AB＝3x＝9cm，BC＝4x＝12cm，AC＝5x＝15cm，∵AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠B＝90°，当t＝3时，AP＝3cm，BQ＝6cm，则BP＝9﹣3＝6（cm），∴；（2）当点B在PQ的垂直平分线上时，BP＝BQ，即9﹣t＝2t，解得：t＝3．20．解：△BCD是直角三角形，理由：∵AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，∴AD＝BD，∵AD2﹣DC2＝BC2，∴BD2﹣DC2＝BC2，即CD2+BC2＝BD2，∴∠C＝90°，∴△BCD是直角三角形．21．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝22+12＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．故点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．综上所述BN的长为或．22．解：∵AB＝AC，AO⊥BC，∴BO＝OC，在Rt△AOB中，OB＝＝＝4，∴BC＝2OB＝8，∵BC＝CD，∴BD＝8+8＝16，当CP′＝AC＝5时，DP′＝8﹣5＝3，当P′′A＝P′′C时，OP′′＝4﹣P′′C，在Rt△AOP′′中，OA2+OP′′2＝AP′′2，即32+（4﹣CP′′）2＝CP′′2，解得，CP′′＝，则DP′′＝+8＝，当CP′′′＝CA＝5时，DP′′′＝8+5＝13，当点P与点B重合时，AC＝AP，BP＝16，综上所述，△ACP是等腰三角形时，线段DP的长度为3或或13或16．23．解：（1）由折叠的性质得：AE＝BE，∵AC＝18，BC＝12，∴BE＝18﹣CE，在Rt△BCE中，根据勾股定理，BC2+CE2＝BE2，即122+CE2＝（18﹣CE）2，解得CE＝5，即CE的长为5；（2）由题意得，∠A＝90°，AD＝BC＝16，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠的性质得：∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE＝16﹣AE，在Rt△ABE中，根据勾股定理，AB2+AE2＝BE2，即82+AE2＝（16﹣AE）2，解得AE＝6，即AE的长为6；（3）∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC＝16，∠B＝90°，设线段BC的垂直平分线交BC于点M，交AD于点N，则MN＝AB＝10，分两种情况：①如图3，当点F在长方形内部时，∵点F在线段BC的垂直平分线MN上，∴AN＝AD＝8，BM＝BC＝8，由折叠的性质得：BF＝BA＝10，AE＝FE，在Rt△BFM中，由勾股定理得：FM＝＝＝6，∴FN＝MN﹣FM＝10﹣6＝4，设AE＝FE＝y，则EN＝8﹣y，在Rt△ENF中，由勾股定理得：EF2＝EN2+FN2，即y2＝（8﹣