《微积分》（第3版·下册） 教学大纲

《微积分II》中英文课程简介和教学大纲《微积分II》课程简介“CalculusII”CourseIntroduction课程代码：Coursecode:课程名称：微积分IICoursename:CalculusII学时：64Periods:64学分：4Credits:4考核方式：闭卷考试Assessment:Closed-bookExamination《微积分II》是高等学校经济、管理类专业的一门通识教育必修课，为一学期课程。通过本课程的学习，使学生掌握一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学的基本概念、基本理论及基本运算技能，逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和比较熟练的运算能力，培养学生综合运用所学知识去分析和解决有关实际问题的能力，为学生学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。本课程是一门以极限为工具，研究一元函数的积分、多元函数的微分与积分及其应用的数学学科。主要讲解了：定积分、多元函数微积分、无穷级数、微分方程、差分方程等知识，为学习后续课程奠定必要的数学基础。“CalculusII”isanimportantone-semesterbasiccompulsoryforeconomicsandmanagementmajorsinuniversities.Thoughthestudyingofthiscourse,studentsshouldmaserbasicconcepts,basictheoryandbasiccomputingskillsofintegrationofsingle-variablefunctions,differentiationandintegrationofmultivariatefunctions.Thecoursecancultivatestudents’abilityofabstractinggeneralproblems,logicalreasoning,spatialimaginationandskilledcomputing.Inaddition,thecoursecancultivatestudentstheabilitytoanalyzeandsolvepracticalproblemsthoughusingtheirknowledgelearnt,andlayabasicforstudentstostudyrelevantcoursesandfurthertoacquiremathematicalknowledge.Thiscourseisamathematicaldisciplinethatemployslimitsasatooltostudytheintegrationofsingle-variablefunctions,differentiationandintegrationofmultivariatefunctions,alongwiththeirapplications.Itmainlycoveredknowledgesuchasdefiniteintegrals,infiniteseries,multivariablefunctioncalculus,differentialequations,anddifferenceequations.Itlaysanecessarymathematicalfoundationforthestudyofsubsequentcourses.《微积分II》课程教学大纲课程编号：课程类型：eq\o\ac(□,√)通识教育必修课□专业必修课□专业选修课学分：4考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查一、教学目标《微积分Ⅱ》是高等学校经济、管理类专业的一门必修课，为一学期课程。通过本课程的学习，使学生掌握1.一元函数积分学；2.多元函数微积分学；3.无穷级数；4.微分方程等微积分学的基本概念、基本理论及基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。目标1：培养学生的运算能力、自学能力以及空间想象能力；目标2：培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力与；目标3：培养学生综合运用所学知识去分析和解决有关实际问题的能力；目标4：提高学生的数学素养。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系通过本课程的学习，要求学生掌握定积分、多元函数微积分、无穷级数、微分方程与差分方程的理论、方法和公式，熟练解决与此相关计算及应用问题。重点讲授定积分的计算与应用、偏导数与全微分的概念、复合函数微分法与隐函数微分法、二元函数求极值的方法、二重积分的计算、级数敛散性的判别、幂级数的收敛域与和函数、微分方程与差分方程的解法的相关内容。对数学实验与应用建模等问题，做简单提示引导学生依据自身兴趣自学。教学中主要采用讲授法为主，讲练结合的方式。要求学生做到课前预习课后练习，做好每章的课后习题。作业计入平时成绩。其与毕业要求的关系体现在：微积分课程为我校诸多专业的公共必修课，直接关系到学位获取；使学生具备扎实的数学基础，服务于后续专业课程的学习；它更是培养量化分析、逻辑思维和解决动态问题能力的关键工具，这些能力是高等教育赋予毕业学生的核心素养。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验习题课合计1定积分182202多元函数微积分202223无穷级数162184微分方程224合计56864四、教学内容第五章定积分及其应用第一节定积分的概念第二节定积分的基本性质第三节微积分基本公式积分上限函数及其导数牛顿—莱布尼兹公式第四节定积分的计算定积分的换元积分法定积分的分部积分法第五节广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分第六节定积分的应用微元法平面图形的面积立体的体积4.定积分在经济学中的应用教学重点、难点：本章教学重点是定积分的概念、变上限积分函数及其导数、牛顿—莱布尼兹公式、定积分的应用，难点是定积分概念的理解、变上限积分函数求导、定积分的换元法、广义积分。课程的考核要求：理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理；．熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，熟练掌握变限积分的导数的求法；熟练掌握计算定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分计算平面图形的面积和两种几何体体积的方法，会用定积分求解一些简单的经济应用题；了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算收敛广义积分的方法，知道广义积分，的敛散条件，知道函数的概念、基本性质与递推公式。复习思考题：用换元法求定积分应注意的问题？如何求旋转体的体积？第六章多元函数微积分第一节空间解析几何简介空间直角坐标系空间两点间的距离曲面及其方程第二节多元函数的极限与连续平面区域的概念二元函数的概念二元函数的极限二元函数的连续性第三节偏导数偏导数的定义高阶偏导数第四节全微分全微分的定义相关定理第五节复合函数微分法与隐函数微分法多元复合函数微分法全微分形式的不变性隐函数微分法第六节多元函数的极值与最值二元函数极值的概念条件极值与拉格朗日乘数法第七节二重积分的概念和性质二重积分的概念二重积分的性质第八节二重积分的计算教学重点、难点：本章教学重点是多元函数的偏导数、全微分的定义与求法、多元复合函数求导、多元函数的极值与条件极值的求法、二重积分的计算，难点是多元复合函数求导法、极坐标系下二重积分的计算。课程的考核要求：了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离，知道常见的几种曲面方程；了解多元函数的概念，掌握二元函数的定义与表示法，知道二元函数的极限与连续性的概念；理解二元函数偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法；熟练掌握求多元复合函数偏导数的方法以及由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法；了解二元函数的极值与条件极值的概念，掌握用二元函数极值存在的必要条件和充分条件求二元函数极值的方法，掌握用拉格朗日乘数法求简单二元函数条件极值问题的方法；理解二重积分的概念、几何意义与基本性质，熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的方法。复习思考题：如何求二元抽象复合函数的二阶偏导数？求二重积分的方法有哪些？第七章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质常数项级数的概念收敛级数的基本性质第二节正项级数1.比较判别法2.比值判别法3.根值判别法第三节任意项级数交错级数与莱布尼兹判别法绝对收敛与条件收敛第四节幂级数函数项级数的一般概念幂级数及其收敛域的求法求幂级数的和函数第五节函数的幂级数展开泰勒级数的概念直接展开法间接展开法教学重点、难点：本章教学重点是无穷级数收敛与发散的定义、正项级数敛散性判别法、交错级数的莱布尼兹判别法、一般项级数绝对收敛与条件收敛的判别、幂级数的收敛域及和函数的求法，难点是幂级数的和函数求法与函数幂级数的展开。课程的考核要求：理解无穷级数、部分和、收敛、发散以及和的概念，掌握几何级数与P级数（包括调和级数）敛散性判别条件，掌握级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性质；掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法；掌握交错级数的莱布尼兹判别法，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，掌握绝对收敛与条件收敛的判别方法；掌握幂级数的收敛域与和函数的概念，会求幂级数的收敛半径，知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解泰勒级数的概念，会用的麦克劳林展开式将一些简单函数展开成幂级数。复习思考题：简述级数敛散性的判别步骤。如何求幂级数的和函数？第八章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程齐次方程第三节一阶线性微分方程一阶线性微分方程伯努利方程第四节*可降阶的二阶微分方程第五节*高阶线性微分方程解的结构第六节*常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程及其解法n阶常系数齐次线性微分方程的解法第七节*常系数非齐次线性微分方程教学重点、难点：本章教学重点是，微分方程及其解的概念、可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程的概念及其解法，难点是一阶线性方程的概念及其解法。课程的考核要求：了解微分方程的阶、通解与特解等概念；掌握可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程的解法；了解二阶常系数线性齐次微分方程，会求解一些简单的经济应用问题。复习思考题：求解微分方程的方法总结。注：本课程教学大纲中打*号部分内容可根据教学具体情况选用。五、考核方式、成绩评定课程考核方式以笔试、闭卷方式进行。课程成绩评定采用综合评定方式，期末卷面成绩占总成绩的60%，线上学习占10%，平时成绩占30%，其中平时成绩主要以考勤、作业、课堂测验和课堂讨论发言等情况综合评定。六、主要参考