综合与实践 进位制的认识与探究（新人教版）

第二章有理数的运算综合与实践进位制的认识与探究目

录CONTENTS011星题落实四基022星题提升四能033星题发展素养1.

《孙子算经》中记载：“十圭为一抄，十抄为一撮，十撮

为一勺，十勺为一合.”说明“抄、搬、勺、合”均为进

制，则九合等于(

C

)A.9×102圭B.9×103圭C.9×104圭D.9×105圭C234567812.

[2024宁波海曙区期中]不同于十进制，古巴比伦使用的是

60进制.这与他们独特的计数方式有关，如图，右手4根手

指的12个指关节表示1～12，另一只手用五根手指表示1～

5倍.如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手大拇指掐住

第八指关节时，表示的十进制数是12＋8＝20.若当其左手

伸出两根手指，右手大拇指掐住第五指关节时，表示的十

进制数是(

D

)DA.7B.25C.21D.2923456781点拨：由题意得，当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐

住第五指关节时，表示的十进制数是12×2＋5＝24＋5＝

29.234567813.[2024淄博淄川区期中]在日常生活中，我们用十进制来表

示数，如3516＝3×103＋5×102＋1×101＋6×1.计算机

中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示

数，如二进制中的1010＝1×23＋0×22＋1×21＋0×1，可

以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制

中的⁠.点拨：110101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋

1×1＝32＋16＋0＋4＋0＋1＝53.53

234567814.[教材P65活动三变式]上海举办过第十四届国际数学教育

大会(简称ICME－14)，会徽的主题图案(如图)有着丰富的

数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下

方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字

3745.我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103＋

6×102＋5×101＋7×1，在电子计算机中用的二进制，如

二进制中110＝1×22＋1×21＋0×1等于十进制的数6，八

进制数3745换算成十进制是⁠.点拨：3745＝3×83＋7×82＋4×81＋5×1＝2

021.2

021

234567815.

【情境题·生活应用】某APP将用户的使用等级用四个标

识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采

用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个

星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于

一个皇冠，某用户的使用等级标识图为两个皇冠，则其使

用等级为(

B

)BA.26B.27C.28D.29点拨：由题意得两个皇冠的等级是2×4×4×4＝

2×2×2×2×2×2×2＝27，即其使用等级为27.234567816.

[2024武汉汉阳区月考]计算机利用的是二进制数，它共有

两个数码0，1.将一个十进制数转化为二进制数，只需把

该数写成若干个2

n

(注：20＝1)数的和，依次写出1或0即

可.如19(10)＝16＋2＋1＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1

＝10011(2)，在二进制下是五位数，则十进制1

025在二进

制下是(

B

)BA.

十位数B.

十一位数C.

十二位数D.

十三位数点拨：1

025＝1

024＋1＝1×210＋1，10＋1＝11，所以共

有十一位数.234567817.

[2024苏州吴江区月考]计算机中常用的十六进制是一种逢

16进1的计数制，采用数字0～9和字母

A

～

F

共16个计数

符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进

制0123456789

A

B

C

D

E

F

十进制01234567891

01

11

21

31

41

523456781例如，用十六进制表示D＋E＝1B，用十进制表示也就

是13＋14＝1×16＋11，则用十六进制表示B×D＝⁠

⁠.点拨：因为

B

×

D

＝11×13＝143，143÷16＝8……15，所以

B

×

D

＝8

F

.

8

F

234567818.

【新视角·项目探究题】综合与实践：我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢

十进一”的原则，而现代的计算机和依赖计算机的设备都

使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数

时“逢二进一”.二进制数和十进制数可以互相转化，二

进制数的运算也和十进制数的运算类似.23456781【任务一】问：如何把十进制数103转化成二进制整数？答：103＝1×26＋1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋1×21＋

1×20，所以103用二进制数码表示是1100111，记为103＝

(1100111)2.23456781【任务二】问：如何把十进制数0.125转化为二进制小数？答：0.125＝0×𝟏𝟐＋0×𝟏𝟐𝟐＋1×𝟏𝟐𝟑，所以0.125可以表示成

二进制小数(0.001)2.0.125＝𝟏𝟖，这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，

在二进制下用分子除以分母得到𝟏𝟖的二进制小数表示：23456781由于1＝(1)2，8＝(1000)2，所以𝟏𝟖＝(𝟏)𝟐(𝟏𝟎𝟎𝟎)𝟐，而(𝟏)𝟐(𝟏𝟎𝟎𝟎)𝟐＝

(1)2÷(1000)2可以类比十进制数一样做除法，只是商和余

数都只能是0或1：，所以𝟏𝟖＝(0.001)2.23456781【任务三】问：二进制是否也有循环小数？23456781答：有，如0.𝟑·＝𝟏𝟑＝(𝟏)𝟐(𝟏𝟏)𝟐＝(1)2÷(11)2，由，可

知𝟏𝟑＝(𝟎.𝟎·𝟏·)𝟐.综合以上探究，我们可得下表：23456781十进

制转

二进

制整数小数分数方法除二取

余，倒序

摆列，高

位补零乘2取整，顺序排列将分子、分

母分别转换

成二进制，

用除法23456781十进

制转

二进

制整数小数分数举例

0.625×2＝1.25取出整数

部分1，0.25×2＝0.5取

出整数部分0，0.5×2＝1

取出整数部分1，0.625的

二进制数是0.10123456781【反思评价】(1)将十进制数35化成二进制数为.二进制小数

(0.101)2化为十进制分数是⁠.(2)将十进制分数化成二进制小数：𝟓𝟑𝟐＝

(

)2，𝟏𝟓＝(𝟎.𝟎·𝟎𝟏𝟏·

)𝟐.100011

0.00101

23456781(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将0.𝟔·化

为分数形式.设x＝0.𝟔·＝0.66666…①，则10x＝6.66666…②.23456781②－①，得9x＝6，即x＝𝟐𝟑，于是得到0.𝟔·＝𝟐𝟑.同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进

制分数.请将二进制循环小数(𝟎.𝟎𝟎𝟏