13届IMO代数试题与完整答案解析

13届IMO代数试题与完整答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（请将答案填在横线上）1.设G是一个群，|G|=12。则G中元素的阶数可以是______、______、______、______、______、______。2.设R是一个有单位元的交换环，a,b是R中的元，且a与b互素（即a,b的最大公因数为0）。若ab是R中的零divisor，则a和b中至少有一个是零divisor。3.设F是一个域，α是F上的一个代数元，其最小多项式的次数为d。若F(α)的扩度[F(α):F]为d，则α是F(α)上的一个本原元。4.设R是一个整环，M是R上的一个左理想。若M是R的一个子环，则M是M的一个______。5.设G是一个有限群，|G|=p^k，p为素数。若G中存在元素的阶数为p，则G中必有元素的阶数为p^k。6.设F是一个域，K是F的一个扩域。若K/F是有限扩张，则K/F是代数扩张。7.设R是一个有单位元的环，I是R的一个理想。则商环R/I的单位元是______。8.设G是一个循环群，|G|=n。则G的生成元是G中阶数为n的元。9.设F是一个域，α是F上的一个代数元，其最小多项式为f(x)。若f(x)在F[x]中不可约，则F(α)与F同构。10.设R是一个有单位元的环，a,b是R中的元，且a与b互素。若R是整环，则ab与a,b都互素。二、解答题1.设G是一个群，H和K是G的两个子群，且H≤K。证明：G中所有H的右陪集的集合与K中所有H的右陪集的集合之间存在一个双射。2.设R是一个有单位元的环，I是R的一个理想。证明：若I是R的一个素理想，则R/I是一个整环。3.设F是一个域，K是F的一个扩域，α是K上的一个代数元。证明：α是F上的一个代数元。4.设R是一个有单位元的环，a,b是R中的元，且ab=0。证明：若R是一个域，则a=0或b=0。5.设G是一个有限群，|G|=n。证明：对于G中的任意元g，有g^n=e，其中e是G的单位元。6.设F是一个域，α是F上的一个代数元，其最小多项式为f(x)。证明：F(α)中的任意元都是F[x]中的f(x)的多项式在α上的值。7.设R是一个有单位元的环，I和J是R的两个理想。证明：I+J是R的一个理想，且(I+J)/J≅I/(I∩J)。8.设G是一个群，H是G的一个子群。证明：G中所有H的左陪集的集合构成G的一个划分。9.设F是一个域，K是F的一个扩域，α是K上的一个代数元。证明：F(α)与F[x]/(f(x))同构，其中f(x)是α在F上的最小多项式。10.设R是一个有单位元的环，a,b是R中的元，且a与b互素。证明：存在R中的元r和s，使得ra+sb=1。试卷答案一、填空题1.1,2,3,4,6,122.是3.是4.理想5.是6.是7.1+I8.是9.是10.是二、解答题1.证明：设G中所有H的右陪集的集合为A，K中所有H的右陪集的集合为B。定义映射φ:A→B如下：对于Hg∈A，φ(Hg)=H(gK)。易证φ是良定义的：若Hg=Hh，则gkh⁻¹∈H，即g∈hK，从而Hg=H(hK)=H(hgK)。易证φ是满射：对于H(gK)∈B，gK∈A，φ(Hg)=H(gK)。易证φ是单射：若φ(Hg)=φ(Hh)，则H(gK)=H(hK)，即gkh⁻¹∈H，从而g∈hK，即Hg=Hh。因此φ是双射。2.证明：任取a,b∈R/I，其中a=r+I,b=s+I，r,s∈R。则(a)(b)=(r+I)(s+I)=rs+I。若ab=0+I，则rs∈I。由于I是素理想，且r,s∈R，故r∈I或s∈I，即a=I或b=I。因此R/I是一个整环。3.证明：α是K上的一个代数元，即α^m+c_{m-1}α^{m-1}+...+c_1α+c_0=0，其中c_i∈K。由于K是F的扩域，故c_i∈F。因此α是F上的一个代数元。4.证明：假设R是一个域，a,b是R中的元，且ab=0。由于R是一个域，故R中没有零divisor。因此a=0或b=0。5.证明：由拉格朗日定理，对于G中的任意元g，g^k=e，其中k是|G|的一个约数。令n=|G|，则n是|G|的一个约数。因此g^n=e。6.证明：设β∈F(α)，则β可以表示为F(α)中的元α,α^2,...,α^{d-1}的线性组合，即β=c_0+c_1α+c_2α^2+...+c_{d-1}α^{d-1}，其中c_i∈F。由于f(x)是α在F上的最小多项式，且β∈F(α)，故f(α)=0。因此β是f(x)的根在F(α)中的值。7.证明：首先证明I+J是R的一个理想。任取r∈R，a∈I+J，则a=i+j，i∈I,j∈J。则ra=ri+rj。由于i∈I,j∈J，故ri∈I,rj∈J。因此ra∈I+J。任取a,b∈I+J，则a=i+j,b=k+l，i,k∈I,j,l∈J。则a+b=(i+k)+(j+l)。由于i+k∈I,j+l∈J，故a+b∈I+J。任取r∈R,a∈I+J，则a=i+j,i∈I,j∈J。则ra=ri+rj。由于i∈I,j∈J，故ri∈I,rj∈J。因此ra∈I+J。故I+J是R的一个理想。其次证明(I+J)/J≅I/(I∩J)。定义映射ψ:(I+J)/J→I/(I∩J)如下：对于a+J∈(I+J)/J，ψ(a+J)=a+(I∩J)。易证ψ是良定义的：若a+J=b+J，则a-b∈J，从而a-b∈I+J，即a-(I∩J)=b-(I∩J)。易证ψ是满射：对于a+(I∩J)∈I/(I∩J)，a∈I，ψ(a+(I∩J))=a+(I∩J)。易证ψ是单射：若ψ(a+J)=ψ(b+J)，则a+(I∩J)=b+(I∩J)，即a-b∈I∩J。从而a+J=b+J。因此ψ是双射。又易证ψ的同态性质：ψ((a+J)(b+J))=ψ(ab+J)=ab+(I∩J)=(a+(I∩J))(b+(I∩J))=ψ(a+J)ψ(b+J)。故(I+J)/J≅I/(I∩J)。8.证明：设A={gH|g∈G}为G中所有H的左陪集的集合。定义G上的一个关系∼如下：对于g,h∈G，g∼h当且仅当gH=hH。易证∼是一个等价关系：(1)反身性：gH=gH，故g∼g。(2)对称性：若g∼h，则gH=hH，即hH=gH，故h∼g。(3)传递性：若g∼h且h∼k，则gH=hH且hH=kH，故gH=kH，故g∼k。由等价关系的性质，∼将G划分为不相交的等价类。每个等价类对应G的一个左陪集。因此G中所有H的左陪集的集合构成G的一个划分。9.证明：定义映射φ:F(α)→F[x]/(f(x))如下：对于β∈F(α)，其中β=c_0+c_1α+...+c_{d-1}α^{d-1}，c_i∈F，令φ(β)=c_0+c_1x+...+c_{d-1}x^{d-1}∈F[x]。易证φ是良定义的：若β=c_0+c_1α+...+c_{d-1}α^{d-1}且β'=c_0'+c_1'α+...+c_{d-1}'α^{d-1}，且β=β'，则c_i=c_i'对所有i成立，从而φ(β)=φ(β')。易证φ是满射：对于任意f(x)+(f(x))∈F[x]/(f(x))，f(x)可以表示为c_0+c_1x+...+c_{d-1}x^{d-1}，其中c_i∈F。则φ(c_0+c_1α+...+c_{d-1}α^{d-1})=c_0+c_1x+...+c_{d-1}x^{d-1}+(f(x))。易证φ是单射：若φ(β)=0+(f(x))，则φ(c_0+c_1α+...+c_{d-1}α^{d-1})=0+(f(x))，即c_0+c_1x+...+c_{d-1}x^{d-1}∈(f(x))。由于f(x)是α在F[x]上的最小多项式，且f(x)的根在F(α)中，故c_0+c_1α+...+c_{d-1}α^{d-1}=0。因此β=0。因此φ是双射。又易证φ是同态：φ((c_0+c_1α)(c_0'+c_1'α))=φ((c_0c_0'-c_1c_1'α^2+...+(-1)^{d-1}c_dc_{d-1}'α^{d-1}))=c_0c_0'-c_1c_1'x^2+...+(-1)^{d-1}c_dc_{d-1}'x^{d-1}φ(c_0+c_1α)φ(c_0'+c_1'α)=(c_0+c_1x)(c_0'+c_1'x)=c_0c_0'+c_0c_1'x+c_1c_0'x+c_1c_1'x^2由于α^d=-c_{d-1}α^{d-1}-...-c_1α-c_0，且c_{d-