广东省梅州市2027届高三上学期9月模拟数学试卷（含答案）

广东省梅州市2027届高三上学期9月模拟数学试题一、单选题1．复数A． B． C． D．2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．下列求导运算中，正确的是（

）A． B．C． D．4．若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望（

）12A．1 B． C． D．25．某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次/分钟），而且落在区间内的占比为30%．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳次数少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（

）（参考数据：，，，）A．10 B．11 C．12 D．138．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到C．的图象关于直线对称D．在上的值域为10．下列命题中，真命题的有（

）A．，都有B．，都有C．，，使得D．，，使得11．设有两个罐子，A罐中放有1个蓝球，1个红球，B罐中放有2个蓝球，这些球的大小与质地相同．规定“先从A罐中摸1个球放入B罐，再从B罐中摸1个球放回A罐”为一轮交换．连续进行轮交换后，红球还在A罐中的概率记为，则（

）A． B． C． D．三、填空题12．在二项式的展开式中，常数项为___________．13．已知直线为曲线的一条切线，则________；14．已知等边的边长为1，在边，上分别取，两点，使沿直线对折，顶点正好落在边上，则的最小值为________．四、解答题15．为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据：机床类型良品次品合计新型国产机床16040200原有进口机床14060200合计300100400(1)从新型国产机床所生产的200件样本中抽3件，求恰有1件为次品的概率；(2)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关?附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82816．在中，内角，，所对的边分别为，，．(1)求证：“”是“”的充分不必要条件；(2)若．①求角的大小；②设为的中点，，的面积为，求．17．已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为．(1)写出复数和的三角形式，其中辐角取其主值；(2)若，．证明：，即两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加；(3)在复数范围内，解方程：．18．已知函数，其中．(1)若，求函数的单调区间；(2)讨论方程的实数根的个数．19．对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和．定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”．(1)判断，和是否为完全集合（无需证明）；(2)若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值；(3)设所有满足的完全集合的个数为，证明：．参考答案1．D2．B3．B4．C5．D6．D7．B8．A9．ACD10．ABD11．BC12．13．14．15．（1）新型国产机床的200件样本中含40件次品、160件良品，从中不放回抽取3件，符合超几何分布，恰有1件次品的概率为：；（2）提出零假设：产品的质量与使用机床的类型无关，代入卡方公式计算观测值：，由于，依据的独立性检验，推断不成立，即能判断产品的质量与使用机床的类型有关.16．(1)设为外接圆半径，若，则，故，故，所以，结合正弦定理可得，故，故充分性成立.若，由正弦定理可得，故，而，故或，故或，故或，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.（2）①因为，由正弦定理可得，而，故，而为三角形内角，故，故即，故（舍）或，而为三角形内角，故.②因为为的中点，故，所以，故，而的面积为，故，故，故，故，由余弦定理可得，故.17．（1）设，其中，，则即，故，故的三角形式为.同理的三角形式为.（2）,（3）设，则，故，故，而，故，结合得，故且，故，故，其中.结合正弦函数、余弦函数的周期性可得的解为：，，，，，以上共5个不同的复数解.18．（1）由题意得，，令，解得或2.+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为.（2）令，解得或.当时，则在单调递减，在单调递增，所以极小值为.当时，，，所以时，即，此时无实根.时，即，此时有且仅有一个实根.时，即，此时有两个实根.当时，则，为增根，所以此时有一个实根.当时，则在单调递减，在单调递增，所以极大值为，极小值为.以下讨论的正负，，设，则对恒成立，所以在单调递增.所以在恒成立，所以在单调递减，因为，所以.于是在有一个实根.当时，在单调递增，此时有一个实根.当时，在单调递增，在单调递减，所以极小值为，极大值为.此时，在有一个实根.综上所述，当时，无实根.当或时，有一个实根.当时，有两个实根.19．（1）集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义.（2）设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得：要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1；为了能连续表示，故前个元素的和，因此，当时，，不符合要求；当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7.（3）对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1；集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都