2027版三维设计 高中总复习数学第三章重难专攻2　不等式恒（能）成立问题

重难专攻2不等式恒（能）成立问题重难解读

用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、分类讨论法、拆解法等，其解题思路是构造新函数分类讨论，将不等式恒（能）成立问题转化为函数的最值问题处理.

分离参数法求参数范围（师生共研过关）

（2026·山师附中一模节选）已知函数f（x）＝xln

x－ax，若对任意

x∈（0，＋∞），f（x）≤x2＋2恒成立，求实数a的取值范围.

令h'（x）＝0，得x1＝2，x2＝－1（舍去），当x∈（0，2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（2，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，故当x＝2时，h（x）取得极大值，也是最大值，且h（x）max＝h（2）

＝ln

2－3，所以若a≥h（x）在x∈（0，＋∞）上恒成立，则a≥h（x）max＝ln

2

－3，故实数a的取值范围是[ln

2－3，＋∞）.

分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量

分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f

（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在

x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a

＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围.训练1

（2025·山东济宁一模节选）已知函数f（x）＝ex－ax－1，若f

（x）≤x2在（0，＋∞）上有解，求实数a的取值范围.

所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，g（x）min＝e－2，所以a≥e－2，综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞）.分类讨论法求参数范围（师生共研过关）

根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问

题，解此类问题的关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最

值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数

值不满足题意即可.

（1）当x＞0时，求函数f（x）的最小值；

（2）若关于x的不等式f（x）≥ax－aln

x＋e－1恒成立，求实数a的取

值范围.

①当a≤e，x＞0时，ex－ax≥ex－ex≥0，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）≥h（1）＝e－a－（e－1）＝1－a≥0，所以a≤1.②当a＞e时，h（1）＝1－a＜0，这与h（x）≥0矛盾.综上，实数a的取值范围为（－∞，1].拆解法求解双变量的恒（能）成立问题（师生共研过关）

双变量的恒（能）成立问题的常见转化类型（1）∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min；（2）∀x1∈M，∀x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max；（3）∃x1∈M，∃x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）min；（4）∃x1∈M，∀x2∈N，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max.

（2）当m＞0时，若对于任意的x1∈（0，＋∞），总存在x2∈[1，＋

∞），使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围.

课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：50分）1.

（10分）设函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋aln

x（a∈R），若f（x）

≥1恒成立，求实数a的取值范围.

①当a≤0时，令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝－a－1，所以－a－1≥1，即a≤－2；②当a＞0时，存在f（1）＝－a－1＜0，不满足题意，可知a＞0时，f（x）≥1不恒成立，综上，实数a的取值范围是（－∞，－2].12342.

（10分）（2026·辽宁部分重点中学协作体考试节选）已知函数f（x）

＝（ln

x－x＋1）（ex－ax）（a∈R），若f（x）≤0恒成立，求实数a

的取值范围.

1234

1234

解：

f'（x）＝x2＋2x＋a，∵f（x）在[1，＋∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－x2－2x在[1，＋∞）上恒

成立，易知当x＝1时，（－x2－2x）max＝－1－2＝－3，∴a≥－3，∴实数a的最小值为－3.1234

1234

12344.

（15分）（2026·四川雅安模拟）已知函数f（x）＝（a－1）x－2

sin

x.（1）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围；解：

依题意，f'（x）＝a－1－2cos

x，令f'（x）＝0，得a＝1＋2

cos

x，因为1＋2cos

x∈[－1，3]，所以当a≤－1时，f'（x）≤0，f（x）在R上

是减函数；当a≥3时，