边界层理论课件

邊界層理論

§11-1邊界層的概念

N-S方程理論上完備但求解困難。解決(求解)工程實際問題大多局限於小雷諾數流動問題。

高Re時(量級在10６～10９的範圍),粘性力與慣性力相比是很小的。

1904年，L.Prandtl指出，對於粘性很小的流體(如空氣、水），粘性對流動的影響僅限於貼近固體表面的一個薄層內，這一薄層以外，粘性完全可以忽略。

從邊界層厚度很小這個前提出發，Prandtl率先建立了邊界層內粘性流體運動的簡化方程，開創了近代流體力學的一個分支——邊界層理論。

均勻來流繞一薄平板流動，微型批託管測得沿平板垂直方向的速度分佈如下圖：

在固體壁面附近，顯著地受到粘性影響的這一薄層。邊界層：均勻來流速度平板上u=0邊界層內粘性力不可忽略這一薄層內速度梯度很大與來流速度相同的量級,U99％U99％邊界層外邊界

外邊界上流速達到U99％的點到物面的法向距離。邊界層名義厚度邊界層厚度根據速度分佈的特點，可將流場分為兩個區域：一、邊界層二、邊界層外部區域

邊界層外部粘性影響很小，μ可以忽略不計，可認為邊界層外部的流動是理想流體無旋勢流。這一薄層內速度梯度很大。邊界層內的流動是有旋流動重要推論：（1）邊界層內各截面上壓力等於同一截面上邊界層外邊界上的壓力：即：P1=P2=PP2PP1x（2）勢流的近似計算中，可略去邊界層的厚度，解出沿物體表面的流速和壓力分佈，並認為就是邊界層邊界上的速度和壓力分佈，據此來計算邊界層。（3）根據邊界層厚度極薄的基本假設，可將N-S方程化簡，獲得邊界層的基本微分方程。邊界層內的流動狀態：

層流邊界層，湍流邊界層均存在粘性底層（層流底層）

，其厚度與Re有關。層流邊界層轉變為湍流邊界層的判別準則：ｘ為離平板前緣點的距離對於平板，層流轉變為湍流的臨界雷諾數為：層流邊界層轉為湍流邊界層轉捩點的位置座標（11－1）雷諾數§11-2邊界層基本微分方程

粘性不可壓縮流體,不計品質力，定常流過小曲率物體，物體表面可近似當作平面。

取物面法線為ｙ軸。在大Re數情況下的邊界層流動有下麵兩個主要性質：1)

邊界層厚度較物體特徵長度小得多，即2)邊界層內粘性力和慣性力具有相同的數量級以此作為基本假定，將N-S方程（二維）化簡：連續性方程將其代入N-S方程，整理後得：

引進特徵長度Ｌ、特徵速度Ｕ，將方程中的各物理量無量綱化：因為～，所以Re～δ′2所以所以因為0≤x≤L，所以x’=～1因為0≤vx≤U，所以v’x=～1因為y’=,0≤y≤δ，所以y’～=δ’化簡後為（11－4）邊界條件：ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０；ｙ＝δ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。上式為邊界層基本微分方程（Prandtl方程）。

討論：說明了什麼？Prandtl邊界層方程中第二個方程：p1p2p3p0p1=p2=

p3=

p0Blasius解----順流放置無限長平板上的層流邊界層流動。

均勻來流平行於平板，ｘ軸平行於板面，原點在平板前緣，Prandtl邊界層方程的求解平板極薄且無曲度，邊界層外緣處速度為來流速度Ｕ。沿邊界層外緣上各點上壓力相同，即上述邊界層方程簡化為：（11－5）邊界條件：ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０；ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。

嚴格上，速度從零增至Ｕ須經過無限遠距離，近似認為ｙ＝δ，Vｘ＝U。引入流函數ψ，與速度的關係為：（11－6）將其代入簡化後的邊界層方程第一式有：（11－7）邊界條件：若求出了流函數ψ，便可求出速度，

ψ應是ｘ，ｙ的函數，且ψ中包含ν和Ｕ（起參數作用），ν和Ｕ不同時，同一空間點上ψ的值不同。

現設法將方程和邊界條件中各個物理量無量綱化，不再出現ν和Ｕ。選特徵量：Ｌ：ｘ的比例尺，Ψ:ψ的比例尺，Ψ為常數

：y的比例尺，若用表示ψ，ｘ及ｙ的無量綱值，則有(11－8)於是（11－9）將（11-9）代入（11-7）式，得(11-10)

或（11－11）邊界條件化為：（11－12）若令,則方程和邊界條件都將變成無量綱的形式,並且其中不再顯含ν和Ｕ。

這就是無量綱運動方程及邊界條件,可見不再顯含ν及Ｕ，其解也應該不包含ν及Ｕ。（11-14）即（11－13）(11-15)

平板為半無限長即沒有任何特徵長度，故其解不應包含Ｌ(只是任選的長度比例尺)，而只應該包含ν和Ｕ。注意：（11-14）式應採取如下形式：(11-16)求出，則ψ為：返回為有量綱解時，不出現Ｌ，即

（11－17）通過以上分析，來求解下列形式的ψ。(11-18)將ψ代入（11-17）式求解(11-19)將上式代入方程（11-7），有(11-20)φ滿足的是三階非線性常微分方程邊界條件為：

η＝０，φ＝０，φ′＝０

η→∞，φ′＝２非線性的微分方程，得不到解析解。採用級數展開辦法，或者直接進行數值積分。

由於φ和η均為無量綱量，且在方程及邊界條件中只有純數而不顯含ν及Ｕ，故所得結果可以一勞永逸地應用。

表11-1給出問題的數值解，其中就是邊界層內無量綱的速度分佈例11.1本例說明上表11-1的用法。(1)欲求邊界層內點（x,y）的速度Vx（x,y）可將ｘ及ｙ的值代入中得出η值，由此值從上表中找出相應的則設U=25km/h，ν=0.15cm2/s,x=3m,ｙ=5mm，求：Vx＝？

解：U=25×1000/3600=6.95m/s,ν=0.0015m2/s,x=3m,y=0.005m,代入η中得：從表11-1中，用內插法，查得

所以Vx

＝0.619Ｕ＝403ｍ/ｓ（2）按上例條件，求ｘ＝３ｍ處的邊界層厚度δ解:

按定義邊界層外邊界上速度Vx=99％Ｕ查表11－1，找出時，η＝2.5,由可得解：由牛頓內摩擦定律（3)求板面上的切應力

0按照表11－1，φ″（0）可近似表達為：上式可看出平板層流邊界層局部摩擦切應力與ｘ座標的平方根成反比的規律隨著ｘ的增加而減小。現計算整個平板上總摩擦阻力。設板長為Ｌ，板寬為ｂ，則平板單面總摩擦阻力是：總摩擦阻力係數Ｃｆ由下式確定：（11－21)式中為按平板板長計算的雷諾數。算出摩擦阻力係數後，可確定平板層流邊界層情況下的摩擦阻力為：(11-22)

雖然邊界層基本微分方程比N-S方程要簡單得多，但求解問題仍有很大困難尚且如此之大，因此,發展求解邊界層問題的近似方法便具有很大的理論與實際意義。Karman動量積分方程方程，就是一種近似求解邊界層問題的方法。§11-3邊界層動量積分方程

應用動量定理來研究邊界層內單位時間內沿ｘ方向的動量變化和外力之間的關係。設流動定常控制體邊界ABCD

單位時間內經過ＡＢ面流入的品質和帶入的動量分別為：單位時間內流出ＣＤ面的品質和動量分別為：對不可壓縮流體必然有品質：從邊界層外邊界ＡＣ面流入，並帶入動量：

單位時間內控制體內沿ｘ方向動量變化：作用在該控制體上沿ｘ方向外力：AB面:CD面:AC面:A,C兩點的平均壓力ＢＤ面上作用在流體上的總切應力為：

FBD＝－τ0dx該控制體上沿ｘ方向諸外力之和為：式中略去了二階小量可得到定常流動條件下卡門動量積分方程式：在邊界層內：ｐ=ｐ(x)，ｖｘ=ｖｘ(y)δ=δ(x)方程兩個積分都只是ｘ的函數，則有

（11－23）

這就是邊界層動量積分方程，對層流和湍流邊界層都能適用。式中未知數有ｖｘ，τ0和δ三個。求解方程要補充兩個關係式：（2）切應力與邊界層厚度δ的關係

即τ＝τ（δ）一般由經驗確定，與實際符合越好，計算結果就越精確,這是求解邊界層問題的關鍵。(1)邊界層內的速度分佈uｘ＝uｘ(y）拉格朗日積分改寫為：兩個厚度:動量損失厚度，排擠厚度因為將這些結果代入（11－23）式得：或可寫成即兩邊除以ρＵ２，稍加整理後得（11－24）排擠厚度動量損失厚度卡門動量積分方程為（11－25）§11-4邊界層排擠厚度和動量損失厚度一、排擠厚度的物理意義理想流動中δ處的流線應平行於平板因邊界層的存在，通過單位寬度、厚度為δ的截面上的品質流量虧損為：以獲得補償流量連續方程：虧損流量=補償流量代表理想流體的流線在邊界層外邊界上由於粘性的作用向外偏移的距離為補償這一流量虧損，使得流線向外排擠一個距離

二、動量損失厚度θ的物理意義Ⅰ、Ⅱ兩截面的品質流量保持連續，但是粘性的作用，通過Ⅱ的動量會產生動量損失。可用理想流體的速度Ｕ流過某層厚度為θ的截面的流體動量來代替，即這一動量損失為：或（11－26）為計算的方便，有時將積分上限由δ變為∞，即：邊界層的三個厚度：名義厚度δ,排擠厚度,動量損失厚度θ三個厚度具有相同量階，但和θ都小於δ，分別約為δ的1/3和1/8。§11-5平板層流邊界層

當平板長度Ｌ＜Xkp＝5×10５Vx/Ｕ，則整個平板邊界層流動狀態為層流。

平板很薄，不影響邊界層外部的流動,則邊界層外邊界上速度處處為Ｕ，故

為不可壓縮流體平板邊界層動量積分方程，層、湍流邊界層均適用。（11－29）則邊界層動量積分方程簡化為：(11-30)（11－31）滿足邊界條件ｙ＝０時ux=0和y=δ時ux=U

假設平板層流邊界層內速度分佈為：代入動量損失厚度得:

而排擠厚度得：邊界層的厚度得計算將（11－31）和（11－33）代入（11－29）：（11－33）（11－32）所以（11－34）與ｘ的平方根成正比板面上局部摩擦切應力為:（11－35）

與ｘ的平方根成反比，隨ｘ增加而減小。

因ｘ增加，則

增加，所以

速度梯度減小，從而τ０減小。平板總阻力：式中b為平板寬度，L為平板長度。平板的摩擦阻力係數為:（11－36）平板末端雷諾數與Blasius精確解接近隨Re得增加而減小

§11-6平板湍流邊界層求湍流邊界層，仍需補充兩個條件：1）湍流邊界層內速度分佈：它取決於Re,現採用1/n次方定律：(11-37)

當時，層流段比湍流段小的多，可假設整個邊界層都是湍流，稱為湍流邊界層。由實驗結果得出，對於不同Re，ｎ取值如下：2）壁面摩擦切應力：Re＝10６～2×10７ｎ＝７Re=3×10７～３×108

ｎ＝８(11-38)

Re=2×108～1010

ｎ＝９根據實驗可用下式來表示：與Re有關的常數，由實驗來測定。Re=106～2×107

，ζ=0.045，m=14

Re=3×107～3×108,ζ=0.039，ｍ=29(11-3)

Re=3×108

～1010，ζ=0.032ｍ=15

假設前端層流部分可以略去不計，而Rｅ＜2×107，則湍流邊界層有：（11-40）（11-41）從而動量損失厚度：（11-42）排擠厚度（11-43）將θ和τ０代入平板邊界層動量積分方程，即：比較（11－34）和（11－44）兩式：得：（11－44）所以在層流中δ～ｘ1/2

在湍流中δ的擴展大得多在湍流中δ～ｘ4/5因在湍流中流體的混雜能力使得邊界層的影響擴展得較快的緣故。邊界層內兩種流態的比較（11－45）比較層流與湍流兩式：層流中τ０～x－1/2

，湍流中τ０～x－1/5

，平板上的摩擦阻力：阻力係數：如將係數0.072修正為0.074，則計算結果將和實測數據符合得更好。當Re＞107時,常用普朗特(L.Prandtl)和施利希廷(H.schlichting)總結出的經驗公式：適用範圍為Re=5×105～107

(11-48)適用範圍為Re=5×107～109

§11-7平板混合邊界層當時，前端為層流邊界層，後部為湍流邊界層，兩者都不占絕對優勢,稱為混和邊界層。兩者間的過渡區範圍很窄為計算混合邊界層，引入兩個假設：（1）層流轉變為湍流是在xkp處暫態發生，沒有過渡區；

(2)混合邊界層湍流區可看作自ｏ點開始的湍流邊界層的一部分。

整個平板的摩擦阻力由兩部分所組成，即ｏＡ段：層流邊界層的摩擦阻力ＡＢ段：湍流邊界層的摩擦阻力將對應的摩擦阻力係數代入上式，並化簡得：兩撇：湍流邊界層，一撇：為層流邊界層。將式（11－47）和（11－39）代入上式，得平板混合邊界層的摩擦阻力係數：或寫成：若用對數公式代替指數公式，則有相應的混合邊界層公式：式中A=0.074，其值見表11－2例11.2一平板長5m，水流以速度0.19m／s流過平板，試分別求離前端1m及4.5m處邊界層最大厚度，並求在該兩點垂直距板面5mm處的速度。解:先判別流動狀態。算出臨界長度為：在1m處為層流，4.5m處為湍流。在1m處層流邊界層公式得出:再由（１１-３０）式在4.5ｍ處需用有關湍流邊界層的公式，由（１１-４４）式例11.3一平板寬為2m，長5m，在空氣中運動的速度為2.42m/s。試分別求沿寬度方向及沿長度方向運動時的摩擦阻力。解:先判別邊界層的流動狀態即沿寬度方向運動時為層流邊界層，沿長度方向運動時為混合邊界層。沿寬度方向運動時的摩擦阻力：沿平板長度方向：§１１-8船體摩擦阻力的計算

來流和濕面積相同時，平板與流線型物體的摩擦阻力不同。因此τ０將加大，從而使船體總摩擦阻力較平板略有增加。

：在流線型物體表面上絕大部分區域的流速略高於平板的流速，而邊界層厚度則在離前端60％體長上是基本一致的。原因Sachdeva和Preston（1976）的船模試驗結果:為計算方便，設船體和“相當平板”的摩擦阻力相同，再用經驗係數來修正。相當平板:長度和船長相同，面積和船體浸濕面積Ω相同的平板。Ｃｆ船體＝KＣｆ平板

相當平板的摩擦阻力係數:ｋ為修正係數。對於艦船，ｋ值與船體的長寬比（L/B）有關。

阻力§11-9邊界層分離與形狀阻力實驗證實，在同種流體中相同來流速度流過相同迎流截面物體受到的阻力並不相同。容易誤認為B物體的阻力大,但事實正好相反。VA

B

迎流截面相等為什麼？

粘性流體流過物體時，物體受到的阻力由兩部分組成：摩擦阻力和形狀阻力。形狀阻力的產生與邊界層分離現象有密切關係1.沿曲面壓力變化對邊界層內流動的影響一、曲面邊界層分離現象ｙ物面法線同一法線上邊界層內各點的壓力相同，即從Ｏ到Ｃ：外部勢流加速，壓力遞減壓力梯度＜０，稱為順壓梯度ｙx翼面上最凸點

邊界層內部流體減壓加速。部分壓力能轉變為動能，順壓梯度對流動起助推作用。勢流速度為Umax，壓力降到pmin假定Ｃ點：ｙx翼面上最凸點壓力遞增即＞０，稱為逆壓梯度Ｃ點向下遊：升壓減速部分動能轉變為壓力能，粘性的阻滯作用繼續消耗動能。流體微團受到逆壓梯度與粘滯阻力的雙重阻礙，使動能損耗，流速不斷減小。２.邊界層內速度剖面形狀物面上:y=0，uｘ=0；y=δ，uｘ≈U(x)；

0＜y≤δ，uｘ＞０(1)Ｃ點，最小壓力，UmaxyU(x)邊界層外邊界AδCxB(2)Ｄ點近壁處的流體動能消耗殆盡，有uｘ=０，即EDxCABUmax邊界層外邊界yU(x)F速度曲線在Ｄ點與ｙ軸相切，(3)Ｅ點:逆壓梯度的反推作用形成倒流，而靠近邊界層外邊界的流體仍流向下游。EDxCABUmax邊界層外邊界yU(x)FＣ點:Ｄ點下游:D點:Ｃ點上游:Ｃ下游點:Ｄ點上游:3.曲面邊界層分離ＤＦ：uｘ=0點的連線，速度間斷面。邊界層分離：間斷面的不穩定引起波動，發展並破裂成明顯的大旋渦，象楔子一樣將邊界層和物體表面分開。EDxCABUmax邊界層外邊界yU(x)F分離點

邊界層分離（有回流）邊界層分離的兩個條件：2.逆壓梯度的存在1.壁面通過粘性對於流動的阻粘作用

二者缺一不可。但也必須指出，這兩個條件僅是產生分離的必要條件而非充分條件。繞物體的流動不一定都發生分離繞流線型體的流動不一定都不發生分離流線型體：小攻角下無分離，大攻角下會分離翼型厚度不同的尾部邊界層流線型物體的分離分離可發生在物面突躍

(尖點)內流邊界層分離層流、湍流邊界層分離繞細長體的流動上述流動顯示查看分離點位置的確定：分離點前＞0由邊界層理論求出ux（x,y），再由（11-51）確定分離點，也可由實驗現象確定分離點的位置。Prandtl流動分離判據：（11-51）分離點後＜０§11-10繞物體流動的阻力粘性流體繞流物體的合力分為：阻力ＦＤ：與來流方向平行升力ＦＬ：垂直於來流方向繞流物體的粘性阻力分為：摩擦阻力：物面上摩擦切應力在來流方向投影的總和，是粘性的直接作用結果。形狀阻力（壓差阻力）：物面上壓力在來流方向投影的總和，粘性間接作用的結果。理想流體繞物體流動，不存在壓差阻力。

繞流物體後部逆壓梯度區內邊界層分離產生旋渦，壓力下降，小於理想流體繞流時的壓力，物體前後形成壓差便是壓差阻力。物體的阻力目前多用實驗測得。一、鈍體的壓差阻力繞流物體的形狀可分為：

流線型體鈍體

EDxCABUmax邊界層外邊界yU(x)Fppmin真實流體理想流體返回上頁圓球和圓盤的阻力係數Re=2×103~2×105，Cd穩定在0.4左右

阻力危機Cd從0.4急降到0.1以下圓柱體的阻力係數阻力危機的原因：Re增大導致湍流邊界層的轉捩點移到分離點之前。

因湍流邊界層中流體動能較大，使分離點後移，尾渦區變窄，從而使阻力係數顯著降低。

湍流邊界層層流邊界層二、無邊界層分離的流線型體的壓差阻力理想流體繞流流線型物體時，尾端速度為零，壓力達極大值，和前面的最大壓力相互平衡，因此阻力為零。平衡不了前部的最大壓力，產生壓差阻力。A流線型體邊界層外邊界UBB`流線型體：浸濕面積增加了，摩擦阻力增大，但防止了邊界層分離，大大降低壓差阻力，總阻力降低。例如當Re=105圓柱體：Cd=1.2良流線型柱體:C