高中二年级数学“导数研究函数性质”第3课时教学设计

高中二年级数学“导数研究函数性质”第3课时教学设计一、教材分析与课标定位本节内容选自北京师范大学出版社普通高中教科书《数学》选择性必修第二册第二章“导数及其应用”第六节“用导数研究函数的性质”第3课时。本课时是在学生已经掌握导数概念、导数运算法则以及利用导数判断函数单调性、求解函数极值的基础上，进一步研究函数的最值问题及其综合应用。从知识体系看，函数的极值与最值是导数应用的核心环节，是沟通导数工具性与函数性质深刻性之间的桥梁。从数学思想方法看，本课时集中体现了数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等核心数学思想，是发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象素养的重要载体。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节内容的要求是：结合实例，借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最值的关系。本课时作为极值内容的延伸与深化，教学重点是闭区间上函数最值的求解方法以及最值与极值的联系与区别，教学难点是含参数函数的最值讨论以及导数综合问题的分析策略。二、学情分析本课时的授课对象为高中二年级学生，已具备以下知识基础：其一，学生已经系统学习了导数概念及基本初等函数的导数公式，具备基本的求导运算能力；其二，学生已经掌握利用导数求解函数单调区间的方法，能够通过导函数符号变化判断原函数单调性；其三，学生在上一课时已经学习了函数极值的概念及其求解方法，能够借助导数求给定函数的极值点与极值。从思维发展水平看，高二学生已经具备一定的抽象思维与逻辑推理能力，但对于函数性质的整体把握仍有不足，常常将极值与最值混为一谈，对“极值是局部概念，最值是整体概念”这一本质区别缺乏深刻理解。此外，含参数问题的分类讨论能力较为薄弱，需要教师搭建适宜的学习支架加以引导。三、教学目标基于以上分析，确定本课时教学目标如下：1.理解函数最值的概念，能够准确区分函数的最值与极值，明确二者的联系与区别。2.掌握利用导数求闭区间上连续函数最大值与最小值的一般步骤，能够规范地完成求解过程。3.经历从图象直观到代数运算的探究过程，体会数形结合与转化化归的思想方法。4.能够运用导数知识解决简单的实际优化问题，感受数学的应用价值。四、教学重难点教学重点：闭区间上函数最值的求解方法及其规范表达。教学难点：含参数函数在闭区间上的最值讨论；利用导数工具研究函数性质的综合问题的处理策略。五、教法学法本课时采用“问题驱动—自主探究—合作交流—归纳提升”的教学模式。教师通过精心设计的问题链引导学生思维逐步深入，借助几何画板等信息技术工具进行函数图象的动态演示，帮助学生建立直观感知与代数推理之间的双向通道。学生在独立思考的基础上进行小组合作，通过对比辨析深化对概念的理解，通过一题多解拓展思维的广度，通过变式训练提升迁移应用能力。六、教学过程（一）创设情境，引入新课教师出示问题：某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？学生通过审题建立函数模型：设池底一边长为x米，则另一边长为1600/x米。池底面积为1600平方米（固定），池壁面积为6x+9600/x平方米。总造价y=150×1600+120(6x+9600/x)，即y=240000+720x+1152000/x，其中x>0。此时教师追问：这个函数的最小值应该如何求解？函数的极值点是否就是函数的最小值点？由此自然引出课题——函数的最值问题。此情境来源于实际生活，体现了数学模型建构的完整过程，能够激发学生的学习兴趣和探究欲望。（二）温故知新，概念辨析教师引导学生回顾上节课所学的极值概念，然后提出如下思考题：请同学们作出函数f(x)=x^33x+1在区间[2,3]上的大致图象，并在图象上标出各极值点以及区间端点所对应的函数值。然后观察并思考：函数在给定闭区间上的最大值和最小值分别出现在何处？它们与极值点有什么关系？学生通过作图观察发现：f'(x)=3x^23=3(x1)(x+1)，令f'(x)=0得x=1或x=1。f(1)=3，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=19。因此函数在区间[2,3]上的最大值为19（在右端点x=3处取得），最小值为1（在x=1处和x=2处均取得）。教师引导学生对照图象进行比较分析，得出初步结论：闭区间上连续函数的最值只能在极值点或区间端点处取得。进一步地，教师指出这是闭区间上连续函数的重要性质，并介绍极值与最值的本质区别：极值是局部概念，刻画的是函数在某点邻近范围内的取值情况；最值是整体概念，刻画的是函数在整个给定区间上的取值情况。随后教师呈现一个对比表格，帮助学生系统梳理：比较维度|函数的极值|函数的最值||概念属性|局部概念，只与极值点附近的函数值比较|整体概念，与整个区间上所有函数值比较取得位置|极值点（导函数变号的点）|极值点或区间端点个数特征|可以有多个极大值和多个极小值|最大值与最小值各至多一个是否唯一|极大值不一定大于极小值|最大值必不小于最小值求解方法|求导→找驻点→判断变号|求区间内所有极值→比较端点值学生在填表与讨论中加深了对概念的理解，教师特别强调“极大值不一定大于极小值”这一易错点，并举例说明：函数f(x)=x^33x在x=1处取得极大值2，在x=1处取得极小值2，极大值确实大于极小值；但函数g(x)=x^3+3x的极大值为2（在x=1处取得），极小值为2（在x=1处取得），同样满足。为打破思维定式，教师再举例：函数h(x)=(x1)^2(x+2)在区间[3,2]上的极大值为0（在x=1处取极小值0，在x=1处取极大值4），说明极大值大于极小值并非必然规律，需要具体问题具体分析。（三）典例精讲，规范求解例1：求函数f(x)=2x^36x^2+7在区间[2,2]上的最大值与最小值。教师引导学生按照以下步骤进行规范求解：第一步，求导。f'(x)=6x^212x=6x(x2)。第二步，求临界点。令f'(x)=0，得x=0或x=2。注意x=2恰好是区间端点，x=0在区间内部。第三步，计算临界点与端点处的函数值。f(0)=7，f(2)=2×86×4+7=1624+7=1，f(2)=2×(8)6×4+7=1624+7=33。第四步，比较大小。最大值max{f(0),f(2),f(2)}=7，最小值min{f(0),f(2),f(2)}=33。因此，函数f(x)在区间[2,2]上的最大值为7，在x=0处取得；最小值为33，在x=2处取得。教师在黑板上规范地板书求解过程，强调每一个步骤的书写要求，并特别提醒学生：当临界点恰为区间端点时，只需将其作为端点值参与比较即可，不必单独列出。例2：求函数f(x)=x^33ax+1在区间[0,2]上的最大值与最小值，其中a>0。本题含参数a，需要分类讨论，教师先引导学生分析思路：f'(x)=3x^23a=3(x^2a)=3(x√a)(x+√a)。由于x∈[0,2]，x+√a恒大于0，因此导函数的符号由x√a决定。分类讨论：情形一：当√a≥2即a≥4时，f'(x)≤0在[0,2]上恒成立（仅在x=2处f'(2)=0），函数单调递减。故最大值为f(0)=1，最小值为f(2)=96a。情形二：当0<√a<2即0<a<4时，令f'(x)=0得x=√a。当0≤x<√a时，f'(x)<0，函数单调递减；当√a<x≤2时，f'(x)>0，函数单调递增。因此x=√a为极小值点，极小值为f(√a)=(√a)^33a√a+1=a√a3a√a+1=12a√a。比较端点值与极小值：f(0)=1，f(2)=96a，f(√a)=12a√a。由于12a√a<1恒成立，所以最大值为max{1,96a}。当96a≥1即a≤4/3时，最大值为96a；当96a<1即a>4/3时，最大值为1。最小值为12a√a。综合以上讨论，当a≥4时，最大值为1，最小值为96a；当4/3<a<4时，最大值为1，最小值为12a√a；当0<a≤4/3时，最大值为96a，最小值为12a√a。当a=4/3时，最大值在x=0和x=2处同时取到，均为1；当a=1时，最小值为12×1×1=1。本题作为含参数讨论的典型例题，思维容量大、逻辑层次清楚。教师在教学过程中不宜直接给出答案，而应通过问题链引导学生逐步展开讨论：参数a的变化影响什么？导函数的零点是否落在给定区间内？当零点不在区间内时函数具有什么单调性？当零点在区间内时如何比较各候选值的大小？通过这些问题，学生逐步体会分类讨论的起因、标准与操作过程。（四）变式训练，巩固内化变式1：求函数f(x)=x/2+2/x在区间[1,3]上的值域。学生独立完成，教师请两位学生上台板演，然后集体评析。规范解答如下：f'(x)=1/22/x^2=(x^24)/(2x^2)。令f'(x)=0得x=2（x=2不在区间内，舍去）。f(1)=1/2+2=5/2，f(2)=1+1=2，f(3)=3/2+2/3=13/6。比较得最大值为5/2（在x=1处取），最小值为2（在x=2处取）。故值域为[2,5/2]。本题难度适中，学生能较好地掌握利用导数求闭区间上函数最值的基本流程。变式2（小组合作探究）：已知函数f(x)=x^3ax^29x，若f(x)在区间[2,2]上的最大值为2，求实数a的值。本题属于逆向问题，需要根据最值反求参数。教师先让学生独立思考，再以四人小组为单位进行交流讨论。学生中可能出现的解法有以下几种：解法一（直接讨论）：f'(x)=3x^22ax9，令f'(x)=0得x=(a±√(a^2+27))/3。由于判别式恒大于0，f'(x)=0恒有两个不同实根。设较小根为x1=(a√(a^2+27))/3，较大根为x2=(a+√(a^2+27))/3。注意到x1<0，x2>0。若x2>2，即(a+√(a^2+27))/3>2，整理得√(a^2+27)>6a。当a≥6时，该式恒成立；当a<6时，两边平方得a^2+27>3612a+a^2，即12a>9，a>3/4。故当a>3/4时，导函数在[2,2]上恒负或在x2处变号但x2>2，函数单调递减，最大值为f(2)=(2)^3a×4+18=84a+18=104a。令104a=2，解得a=2。但需检验a=2时，x2=(2+√31)/3≈2.19>2，符合情形假设。若x2≤2，即a≤3/4，则x2∈[2,2]。此时函数在x1处取极大值，在x2处取极小值。需要比较f(2)与f(x1)的大小来确定最大值。解法二（利用恒成立思想）：f(x)在[2,2]上的最大值为2等价于f(x)≤2对一切x∈[2,2]恒成立，且存在x0∈[2,2]使得f(x0)=2。构造函数g(x)=f(x)2=x^3ax^29x2，则问题转化为g(x)≤0在[2,2]上恒成立且等号可取。由于g(2)=(2)^34a+182=84a+16=84a，g(1)=1a92=a10，故84a≤0且a10≤0，得a≥2且a≥10，即a≥2。再验证a≥2时，取x=0，g(0)=2<0，注意还有x=1时，g(1)=1a+92=6a。若a≥6，则g(1)≤0；若2≤a<6，则g(1)>0，此时f(1)=(1)^3a×1+9=8a>2，矛盾。故a≥6时还需进一步讨论。继续检验：f(2)=104a（代入a=6得f(2)=14，f(1)=2，不满足最大值2。实际上当a=7时，f(1)=1<2，f(1)=179=15。此时f(x)的最大值是不是f(2)？需要讨论。而当a≥6且a>3/4时，由前面分析知函数在[2,2]上单调递减，故最大值为f(2)=104a=2，解得a=2，但与a≥6矛盾，舍去。再看a<3/4的情况：此时x2∈[2,2]，且f'(x)在[2,x1)内大于0，在(x1,x2)内小于0，在(x2,2]内大于0（注意这里因为a<3/4，x2<2，x1<2？需检验）。不妨a=1/2，此时x1=(0.5√(0.25+27))/3≈(0.55.22)/3≈1.57，落在[2,0]内，x2≈1.91落在[2,2]内。因此分类为a<3/4时又需分为x1<2与x1≥2两小类。实际上本题使用恒成立思想更为简洁：先猜测最大值的取得位置。由f(2)=104a与f(x1)（极大值）比较，但运算量很大。教师引导学生在小组讨论中能够发现：若最大值在某点x0处取得，则由费马定理，x0必为临界点或端点。按此思路分类，可以在有序推进中完成。本题对学生的综合能力要求较高，适合作为课堂收尾的思维提升题，不必要求所有学生完全掌握，但应使优秀学生获得充分的思维训练。教师在这一环节巡视各组讨论情况，选取有代表性的解法进行展示与点评，引导学生比较不同方法的优劣，体会分类讨论与数形结合思想的灵活运用。（五）实际应用，数学建模教师呈现如下问题：用总长为14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？学生首先进行建模。设容器底面短边长为x米，则长边长为(x+0.5)米。设容器的高为h米。由题意知4x+4(x+0.5)+4h=14.8，即8x+2+4h=14.8，解得h=(12.88x)/4=3.22x。由实际意义知x>0，h>0，故3.22x>0，得0<x<1.6。容积V=x(x+0.5)(3.22x)，整理得V=(x^2+0.5x)(3.22x)=3.2x^2+1.6x2x^3x^2=2.2x^2+1.6x2x^3，其中0<x<1.6。求导：V'=4.4x+1.66x^2=6x^2+4.4x+1.6。令V'=0，即6x^24.4x1.6=0，即15x^211x4=0。解得x=(11±√(121+240))/30=(11±19)/30，得x=1或x=4/15（舍去）。当0<x<1时，V'>0；当1<x<1.6时，V'<0。故x=1为极大值点，也是最大值点。此时h=3.22=1.2米。最大容积V=1×1.5×1.2=1.8立方米。本题让学生完整经历“实际问题—数学建模—求解模型—检验解释”的全过程，教师引导学生归纳实际优化问题的求解步骤：建立目标函数→确定定义域→求导求临界点→比较或判断确定最值→回归实际问题作出解答。（六）课堂小结，升华认知教师引导学生从知识、方法与思想三个维度进行课堂小结。知识层面：本课时学习了闭区间上连续函数最值的概念及其求解方法。最值可能在极值点取得，也可能在区间端点取得，求最值的一般步骤为：求导→求临界点→计算临界点与端点函数值→比较定最值。方法层面：含参数问题需要分类讨论，分类的标准是导函数的零点是否落在给定区间内；逆向问题需要灵活运用最值定义与恒成立思想。思想层面：数形结合帮助我们建立直观感知，分类讨论帮助我们实现严谨推理，转化化归帮助我们化陌生为熟悉，数学建模帮助我们沟通数学与现实世界的联系。教师特别强调：极值是局部概念，最值是整体概念。求最值必须考虑区间端点，而求极值则不需要考虑端点。这一区别是学生最容易出错之处，需要在后续练习中反复强化。（七）分层作业，拓展延伸基础巩固题（全体学生完成）：1.求函数f(x)=x^312x+8在区间[3,3]上的最大值与最小值。2.求函数f(x)=e^xx在区间[1,2]上的最大值与最小值。综合应用题（大多数学生完成）：3.已知函数f(x)=x^33x^29x+2，求f(x)在区间[2,4]上的最大值与最小值。4.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，问截去的小正方形的边长为多少时，铁盒的容积最大？最大容积是多少？拓展探究题（学有余力的学生完成）：5.已知函数f(x)=l