2026-2027学年高一上册期中素养综合测评卷数学人教A版

2026-2027学年高一上册期中素养综合测评卷数学人教A版考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=()A.{x|x<-1}B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥2}D.{x|-1<x≤1}2.设集合M={1,2,3,4,5},N={x|x是M中的偶数},则集合N的真子集个数是()A.3B.4C.8D.163.函数f(x)=√(x-1)的定义域是()A.(-∞,+∞)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1]4.若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-1,则当x<0时，f(x)等于()A.x²+1B.-x²-1C.x²-1D.-x²+15.函数g(x)=2^x在其定义域内()A.是增函数且过点(0,1)B.是减函数且过点(0,1)C.是增函数且过点(1,2)D.是减函数且过点(1,2)6.函数h(x)=log₂(x+1)的图像关于y轴对称的函数是()A.y=log₂(-x+1)B.y=-log₂(x+1)C.y=log₂(-x-1)D.y=log₂(-x)7.若a=0.₃^𝑥,b=log₀.₃x,c=2^𝑥,则当x∈(0,1)时,三个数a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b8.若函数f(x)=logₐ|x|(a>0,a≠1)是偶函数，则a的取值范围是()A.a>1B.0<a<1C.a>1或0<a<1D.a≠1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.函数f(x)=3^x+1的反函数是________。10.若log₃x=2,则x=________。11.已知函数f(x)=x²-mx+2在区间(-∞,1]上是减函数，则实数m的取值范围是________。12.若a>1,b∈(0,1),则logₐb与log<0xE1><0xB5><0x87>b的大小关系为________(用“<”或“>”填写)。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)设集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|2a-1≤x≤a²+1}。(1)若A∪B=R,求实数a的取值范围；(2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围。14.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。15.(本小题满分12分)已知函数g(x)=log₂(x+p)是奇函数。(1)求实数p的值；(2)求函数g(x)的定义域和值域。16.(本小题满分14分)比较3^x+3^-x与2的大小（其中x≠0）。17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=log₄(2-x)-log₄(2+x)。(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)若f(a)=1/2,求a的值。18.(本小题满分14分)已知a>1,b>1,且logₐb+log<0xE1><0xB5><0x87>a=1。(1)求证：a^logₐb+b^log<0xE1><0xB5><0x87>a≥4；(2)求证：a^logₐb+b^log<0xE1><0xB5><0x87>a≥a+b。试卷答案一、选择题1.B2.C3.B4.D5.A6.D7.B8.C二、填空题9.y=log₃(x-1)(x>1)10.911.m≥312.<三、解答题13.解：(1)解不等式x²-3x+2≥0,得(x-1)(x-2)≥0,解得x∈(-∞,1]∪[2,+∞),所以A=(-∞,1]∪[2,+∞)。因为A∪B=R,所以B必须覆盖区间(1,2)。由2a-1≤x≤a²+1,得B=[2a-1,a²+1]。需要满足2a-1≤1且a²+1≥2,解得a≤1且a≥1或a≤-1且a≥1。所以a=1。答：实数a的取值范围是{1}。(2)因为A∩B=∅,且A=(-∞,1]∪[2,+∞)。所以B=[2a-1,a²+1]必须完全位于区间(1,2)之内或完全在(1,2)之外。情况一：B=∅,即2a-1>a²+1,解得a²-2a+2<0,此不等式无解。情况二：B完全在(1,2)之外。若B在(-∞,1)之内，则a²+1<1且2a-1<1,解得a<0且a<1,即a<0。若B在(2,+∞)之内，则2a-1>2且a²+1>2,解得a>3/2且a>1或a<-1且a>1,即a>3/2。综上，实数a的取值范围是(-∞,0)∪(3/2,+∞)。14.解：(1)求导数f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0,得x(x-2)>0,解得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)。令f'(x)<0,得x(x-2)<0,解得x∈(0,2)。所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞)，单调递减区间是(0,2)。(2)函数在区间[-2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增。计算端点及驻点处的函数值：f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2=-8-12+2=-18f(0)=0³-3(0)²+2=2f(2)=2³-3(2)²+2=8-12+2=-2f(3)=3³-3(3)²+2=27-27+2=2所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。15.解：(1)函数g(x)=log₂(x+p)是奇函数，则满足g(-x)=-g(x)对定义域内任意x成立。g(-x)=log₂(-x+p)。所以log₂(-x+p)=-log₂(x+p)。log₂(-x+p)+log₂(x+p)=log₂[(-x+p)(x+p)]=log₂(p²-x²)=0。因为对数函数的真数必须大于0，且底数为2，所以p²-x²>0恒成立，且p²-x²=1。解得p²=1,即p=±1。当p=1时，g(x)=log₂(x+1)，定义域为x>-1，不关于原点对称，不满足奇函数条件。当p=-1时，g(x)=log₂(x-1)，定义域为x>1，关于原点对称，满足奇函数条件。所以实数p的值是-1。(2)由(1)知p=-1,所以g(x)=log₂(x-1)。定义域要求x-1>0,即x>1。值域：令t=x-1,t>0,则g(x)=log₂t。log₂t的值域是实数集R。所以函数g(x)的定义域是(1,+∞)，值域是R。16.解法一：设t=3^x,则t>0且x≠0。要比较3^x+3^-x与2的大小，即比较t+1/t与2的大小。函数y=t+1/t(t>0)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。当t=1时，y=t+1/t取得最小值2。因为x≠0,所以t≠1，即t+1/t≠2。当x>0时，0<t<+∞,所以t+1/t>2。当x<0时，0<t<1,所以t+1/t>2。综上，当x≠0时，3^x+3^-x>2。解法二：利用基本不等式(算术平均数大于等于几何平均数)。当x>0时，3^x>0且3^-x>0。3^x+3^-x≥2√(3^x*3^-x)=2√1=2。当x<0时，-x>0,3^-x>0。3^x+3^-x=3^-x(3^(2x)+1)≥2√(3^(2x)*1)=2√(3^(2x))=2*3^x。因为x<0,所以3^x<1,2*3^x<2。综上，当x≠0时，3^x+3^-x≥2。等号成立仅当x=0时，但x≠0，所以3^x+3^-x>2。17.解：(1)函数f(x)=log₄(2-x)-log₄(2+x)的定义域要求真数必须大于0。所以需要满足2-x>0且2+x>0。解得-2<x<2。所以函数f(x)的定义域是(-2,2)。(2)函数f(x)的定义域为(-2,2)，关于原点对称。计算f(-x)：f(-x)=log₄(2-(-x))-log₄(2+(-x))=log₄(2+x)-log₄(2-x)。所以f(-x)=-(log₄(2-x)-log₄(2+x))=-f(x)。因此，函数f(x)是奇函数。(3)由f(a)=1/2,得log₄(2-a)-log₄(2+a)=1/2。根据对数的运算性质，得log₄((2-a)/(2+a))=1/2。写成指数形式，得(2-a)/(2+a)=4^(1/2)=2。解此方程，得2-a=2(2+a)。2-a=4+2a。3a=-2,a=-2/3。检验：当a=-2/3时，2-a=8/3>0,2+a=4/3>0，在定义域(-2,2)内。所以a的值是-2/3。18.解：(1)证明：由已知logₐb+log<0xE1><0xB5><0x87>a=1，利用换底公式，得(logₐb=log<0xE1><0xB5><0x87>b/log<0xE1><0xB5><0x87>a)+log<0xE1><0xB5><0x87>a/log<0xE1><0xB5><0x87>a=1，即(log<0xE1><0xB5><0x87>b/log<0xE1><0xB5><0x87>a)+1=1，所以log<0xE1><0xB5><0x87>b/log<0xE1><0xB5><0x87>a=0，得log<0xE1><0xB5><0x87>b=0，即b=a^0=1。所以a^logₐb+b^log<0xE1><0xB5><0x87>a=a^0+1^log<0xE1><0xB5><0x87>a=1+1=2。利用基本不等式，a^logₐb+b^log<0xE1><0xB5><0x87>a=a^0+1^log<0xE1><0xB5><0x87>a≥2√(a^0*1^log<0xE1><0xB5><0x87>a)=2√(1*1)=2。等号成立当且仅当a^0=1^log<0xE1><0xB5><0x87>a，即1=1，此条件满足。所以a^logₐb+b^log<0xE1><0xB5><0x87>a≥4。(2)证明：由(1)知b=1。a^logₐb+b^log<0xE1><0xB5><0x87>a=a^logₐ1+1^log<0xE1><0xB5><0x87>a=a^0+1^log<0xE1><0xB5><0x87>a=1+1=2。要证明2≥a+b，即2≥a+1。因为a>1,所以a