29.1.2 过三点的圆 教学课件 2026-2027学年人教版初中数学九年级上册

第二十九章圆29.1.2过三点的圆1.知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆.2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.3.了解反证法的证明思想，能够运用反证法证明简单的问题.探究：(1)我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？A经过一个点

A

作圆，只要以点

A

以外任意一点为圆心，以这一点与点

A

的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个.可作无数个圆(2)经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？BA经过两个点

A，B

作圆，由于所作圆的圆心到

A，B

两点的距离相等，所以圆心在线段

AB

的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个.可作无数个圆(3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ABC所作圆经过

A，B，C三点圆心

O到

A，B，C三点的距离相等圆心

O在线段

AB的垂直平分线上圆心

O也在线段

BC的垂直平分线上圆心

O为这两条垂直平分线的交点(3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ABC作法：(1)分别作出线段

AB，BC的垂直平分线

l1，l2；(2)l1与

l2交于点

O，则

OA＝OB＝OC.(3)⊙O就是经过

A，B，C三点的圆.Ol1l2以点

O为圆心，OA的长为半径作出⊙O；由作法可知，线段AB，BC

的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的.因此，经过A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆.这就得到：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.ABCl1l21.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.如图，☉O是△ABC的外接圆.△ABC叫作☉O的内接三角形.2.三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.O类型锐角三角形直角三角形钝角三角形图示位置外心在三角形的内部.外心是直角三角形斜边的中点.外心在三角形的外部.联系外心在三角形的内部⇔三角形为锐角三角形.外心在三角形最长边中点处⇔三角形为直角三角形.外心在三角形的外部⇔三角形为钝角三角形.三角形外心的位置如图，在5×7的网格中，各小正方形的边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外，把你认为外心也是O的三角形都写出来.△ABD，△ACD，△BCD.如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l₁上，又在线段BC的垂直平分线l₂上，即点P为l₁与l₂的交点.而l₁⊥l，l₂⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.思考：我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆.那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗?如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l₁上，又在线段BC的垂直平分线l₂上，即点P为l₁与l₂的交点.而l₁⊥l，l₂⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.提出与结论相反的假设上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同.推出和★相矛盾的结果断定所作假设错误原命题成立★定义、基本事实、

定理、题设...反证法应用：在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.例如，对于平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比较困难，可以采用反证法.证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2.

证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B'，使∠EOB′=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设不正确，从而∠1=∠2.过三点的圆确定圆的条件三角形的外接圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形.三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径.2.以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤：①如图，已知：在△ABC中，∠C>∠B．求证：AB>AC．②无论哪种情况，都与已知∠C>∠B矛盾．③因此假设都不成立，所以AB>AC．④假设AC>AB，∴∠B>∠C；假设AB=AC，∴∠C=∠B．这四个步骤正确的顺序应是_______________．①④②③解：由题意，OA=OB=OC，∴∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB，∴∠AOC=180°−2∠1，∠BOC=180°−2∠2，∠AOB=180°−2∠3，∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°，∴180°−2∠1+180°−2∠2+180°−2∠3=360°，∴2∠1+2∠2+2∠3=180°，则∠1+∠2+∠3=90°．3.如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=________．90°1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（

）A．点D

B．点E