高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.2 函数的极值与导数（教师用书）教学设计 新人教A版选修1-1

PAGE课题高中数学第3章导数及其应用3.33.3.2函数的极值与导数（教师用书）教学设计新人教A版选修1-1课程基本信息1.课程名称：高中数学第3章导数及其应用3.33.3.2函数的极值与导数（教师用书）

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2022年10月18日上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过引导学生探究函数的极值与导数的关系，提高学生运用导数解决实际问题的能力。同时，通过小组合作探究，培养学生的合作意识和创新精神，使学生在学习过程中体验到数学的严谨性和应用的广泛性。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了函数的基本性质、导数的概念和求导法则等基础知识。他们应该能够理解函数的增减性和导数的几何意义。

2.学习兴趣、能力和学习风格：高一年级学生对数学学科普遍感兴趣，尤其是对能够解决实际问题的数学知识。他们的学习能力较强，能够通过观察、实验和推理来理解新概念。学习风格上，学生表现出多样化的特点，有的学生偏好通过图形直观理解，有的则更倾向于通过代数推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在理解函数极值与导数的关系时可能遇到困难，尤其是如何从导数的符号变化中判断极值点的存在。此外，学生在应用导数解决实际问题时，可能会遇到如何建立数学模型和如何解释数学结果与实际情境之间的联系的问题。这些困难需要通过教师的引导和适当的练习来克服。教学资源准备1.教材：确保每位学生都具备新人教A版选修1-1教材，以便查阅相关章节内容。

2.辅助材料：准备与函数极值和导数相关的图片、图表和视频，帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器、绘图软件等，以便学生在课堂上进行数值计算和图形绘制。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习，并确保实验操作台等设施齐全，以备不时之需。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

详细内容：

-利用前一天的作业情况，提问学生关于函数单调性的理解，引出导数的概念。

-展示一系列实际问题，如物体的速度变化、价格与需求量关系等，引导学生思考如何利用数学工具描述这些变化。

-提问：在日常生活中，我们如何判断一个物体是在加速还是减速？如何判断商品的价格是上升还是下降？

-通过这些问题，自然过渡到导数的概念，提出本节课的学习目标。

2.新课讲授（用时15分钟）

详细内容：

-第一条：讲解导数的定义，结合极限的思想，通过几何直观和物理实例帮助学生理解导数的含义。

-第二条：介绍导数的几何意义，即导数表示函数在某一点的切线斜率，通过动态演示图展示导数如何从切线斜率引出。

-第三条：讲解求导法则，包括幂函数、指数函数和对数函数的求导，通过实例展示如何应用这些法则进行求导。

3.实践活动（用时10分钟）

详细内容：

-第一条：让学生尝试对简单的函数求导，如\(f(x)=x^2\)，\(f(x)=e^x\)等，以巩固求导法则。

-第二条：分组进行小活动，每组选择一个复杂函数，如\(f(x)=x^3-3x+1\)，计算其一阶导数，并讨论如何求解。

-第三条：通过在线工具或计算器，让学生验证他们求得的导数是否正确，并比较不同方法求导的结果。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

详细内容：

-第一方面：讨论如何判断函数的极值点，举例回答：

-如果\(f'(x)=0\)且\(f''(x)>0\)，则\(x\)是\(f(x)\)的极小值点。

-如果\(f'(x)=0\)且\(f''(x)<0\)，则\(x\)是\(f(x)\)的极大值点。

-第二方面：探讨在求导过程中可能遇到的困难，举例回答：

-复杂函数的求导可能需要运用链式法则、乘积法则和商法则。

-函数的导数可能不存在，例如在尖点处。

-第三方面：分析如何将导数应用于实际问题，举例回答：

-利用导数判断物体的速度变化，如加速还是减速。

-利用导数分析市场经济的供需关系，如商品价格的上升或下降趋势。

5.总结回顾（用时5分钟）

内容：

-回顾本节课学习的导数概念、求导法则以及导数的几何意义。

-强调导数在解决实际问题时的重要性，如物体运动、经济学模型等。

-鼓励学生在课后继续练习，并尝试将导数应用于解决生活中的实际问题。

-提出下节课的学习内容预告，激发学生的学习兴趣。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解导数概念：通过本节课的学习，学生能够理解导数的定义，认识到导数是描述函数在某一点变化率的工具。学生能够运用极限的思想，将导数与函数的局部线性近似联系起来，为后续学习函数的极值、最值和单调性等概念打下坚实的基础。

2.掌握求导法则：学生在课堂上通过实例学习和练习，掌握了幂函数、指数函数、对数函数以及复合函数的求导法则。这些求导法则的熟练运用，使得学生能够解决各种类型的导数计算问题，提高了他们在数学问题解决中的实践能力。

3.应用导数解决实际问题：学生能够将导数应用于解决实际问题，如物体的速度变化、价格变化、经济增长等。通过分析实际问题中的变化率，学生能够理解导数在现实生活中的重要性，并学会从数学角度分析和解决问题。

4.发展数学思维能力：在本节课的学习过程中，学生需要运用抽象思维和逻辑推理能力来理解导数的概念和求解导数。这种思维能力的培养有助于学生提高解决数学问题的能力，为后续学习更复杂的数学概念打下基础。

5.增强合作学习能力：本节课采用了小组讨论和实践活动的方式，使学生有机会与他人合作学习。学生在讨论和实践中，学会了倾听他人的观点，尊重他人的意见，并通过合作解决问题。这种合作学习能力的提升，有助于学生更好地适应团队工作和未来社会的发展。

6.提高自主学习能力：本节课结束后，学生能够根据自身学习情况，选择适合自己的学习资源和练习题，进行自主复习和巩固。这种自主学习能力的提高，有助于学生终身学习，不断拓展自己的知识领域。

7.培养数学素养：通过本节课的学习，学生不仅掌握了导数的概念和应用，还培养了数学素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等。这些素养的提升，有助于学生形成科学的思维方式，提高综合素质。内容逻辑关系①导数概念及其意义

-重点知识点：导数的定义、导数的几何意义

-关键词：极限、切线斜率、瞬时变化率

-关键句：导数是函数在某一点处的变化率，它表示函数在该点的切线斜率。

②导数的基本性质和运算法则

-重点知识点：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则

-关键词：求导法则、链式法则、乘积法则、商法则

-关键句：导数的四则运算法则保证了导数运算的封闭性，复合函数的求导法则揭示了导数的内在联系。

③导数在函数研究中的应用

-重点知识点：函数的单调性、极值与最值

-关键词：单调区间、极大值、极小值、最值

-关键句：利用导数可以判断函数的单调性，找出函数的极值点，进而确定函数的最值。

④导数在实际问题中的应用

-重点知识点：物理中的应用、经济学中的应用

-关键词：速度、加速度、需求弹性、成本函数

-关键句：导数在物理学中用于描述速度和加速度，在经济学中用于分析需求弹性和成本函数。

⑤导数与其他数学工具的结合

-重点知识点：微分方程、导数在积分中的应用

-关键词：微分方程、原函数、不定积分、定积分

-关键句：导数是微分方程的解，导数与积分互为逆运算，导数可以用于求解不定积分和定积分。

⑥导数的局限性

-重点知识点：不可导点、导数不存在的情况

-关键词：不可导点、尖点、间断点

-关键句：导数在尖点或间断点处可能不存在，需要特殊处理。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材中“函数的极值与导数”章节的课后练习题，包括选择题、填空题和解答题，以巩固对导数概念和求导法则的理解。

2.选择一个实际生活中的问题，如商品价格与销售量之间的关系，尝试建立数学模型，并使用导数来分析该问题的变化趋势。

3.对以下函数求导，并解释导数的物理意义：

-\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)

-\(f(x)=e^{2x}\cdot\ln(x)\)

4.分析以下函数的单调性和极值点：

-\(f(x)=x^2-4x+3\)

-\(f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)\)

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保每个学生都能得到个性化的反馈。

2.对于选择题和填空题，检查学生是否正确理解了导数的定义和求导法则，对错误的选择和填空进行纠正。

3.对于解答题，评估学生的解题过程是否清晰，是否能够正确应用导数解决问题。对解题步骤不清晰或错误的地方进行详细指出。

4.对于建立数学模型的问题，评价学生是