云南省昆明市黄冈实验学校高一数学：必修一 1.3.1函数单调性与最大、小值教学设计

PAGE课题云南省昆明市黄冈实验学校高一数学：必修一1.3.1函数单调性与最大、小值教学设计设计思路本节课以“函数单调性与最大、小值”为主题，旨在帮助学生掌握函数单调性的定义、判断方法，以及如何求函数的最大值和最小值。课程设计紧密围绕课本内容，结合实际案例，通过引导学生自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。教学过程中注重理论与实践相结合，力求提高学生解决实际问题的能力。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过函数单调性与极值的学习，使学生能够从具体情境中抽象出数学模型，理解函数性质；提升逻辑推理能力，通过判断函数单调性和求解极值的过程，锻炼学生逻辑推理的严谨性和准确性；增强数学建模意识，让学生认识到数学在解决实际问题中的价值，并学会运用数学语言描述现实问题。教学难点与重点1.教学重点，

①函数单调性的定义及判断方法，要求学生能够准确理解函数单调性的概念，并能运用定义进行判断。

②求解函数的极值点，学生需要掌握求导数、判断导数符号变化的方法，以及如何利用导数判断极值的存在和位置。

2.教学难点，

①函数单调性与极值在实际问题中的应用，学生需要将理论知识与实际问题相结合，理解单调性与极值在生活中的应用场景。

②复杂函数的单调性和极值分析，对于一些较为复杂的函数，学生可能难以直接判断其单调性和极值，需要引导学生掌握一定的解题技巧和策略。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过教师的系统讲解，帮助学生理解函数单调性与极值的基本概念和性质。

2.讨论法：组织学生围绕具体问题进行讨论，培养学生的逻辑思维和合作学习能力。

3.案例分析法：选取典型实例，引导学生分析问题，提高解决实际问题的能力。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示函数图像，直观展示函数的单调性和极值变化。

2.教学软件辅助：运用数学软件进行函数图形的动态演示，帮助学生理解抽象概念。

3.互动练习：通过在线平台或纸质练习，让学生进行实际操作，巩固所学知识。教学过程一、导入新课

同学们，我们上节课学习了函数的概念和性质，今天我们将继续探索函数的另一个重要特性——单调性。请大家回顾一下，什么是函数的单调性？它是如何描述的？

（学生回顾，教师引导）

二、新课讲授

1.函数单调性的定义

同学们，我们来详细探讨一下函数单调性的定义。假设我们有一个函数f(x)，如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，那么我们就说函数f(x)在定义域上是单调递增的。反之，如果f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)在定义域上是单调递减的。

（教师讲解，学生跟随笔记）

2.判断函数单调性的方法

（教师展示函数图像，学生观察并总结）

其次，我们可以通过求导数来判断。如果函数的导数在整个定义域上都是正的，那么函数是单调递增的；如果导数都是负的，那么函数是单调递减的。

（教师讲解求导数的方法，学生跟随笔记）

3.求解函数的极值

现在，我们已经知道了如何判断函数的单调性，那么接下来我们来学习如何求解函数的极值。极值是函数在某个点附近的局部最大值或最小值。要找到极值，我们需要找到函数的导数为零的点，这些点可能是极值点。

（教师讲解极值的概念，学生跟随笔记）

首先，我们需要求出函数的导数。然后，令导数等于零，解出导数的零点。这些零点可能是极值点。接下来，我们需要判断这些点是局部最大值还是局部最小值。这可以通过比较导数在零点两侧的符号来实现。

（教师演示求解极值的过程，学生跟随笔记）

三、课堂练习

1.请同学们完成以下练习题，检验自己对函数单调性和极值的理解。

（教师展示练习题，学生独立完成）

2.小组讨论：请同学们分组讨论，分析以下函数的单调性和极值。

（教师展示函数，学生分组讨论，每组选代表汇报）

四、课堂小结

同学们，今天我们学习了函数的单调性和极值。我们了解到，单调性是描述函数增减趋势的一个重要性质，而极值则是函数在某个点附近的局部最大值或最小值。通过观察函数图像、求导数等方法，我们可以判断函数的单调性和求解极值。

（教师总结，学生回顾）

五、课后作业

1.完成课后练习题，巩固今天所学知识。

2.思考：如何将函数的单调性和极值应用于实际问题中？

（教师布置作业，学生领取）知识点梳理1.函数单调性的定义

-单调递增：对于定义域内的任意两个数x1和x2，如果x1<x2，那么f(x1)≤f(x2)。

-单调递减：对于定义域内的任意两个数x1和x2，如果x1<x2，那么f(x1)≥f(x2)。

2.判断函数单调性的方法

-通过观察函数图像：根据函数图像的走势，判断函数在某个区间内是单调递增还是单调递减。

-通过求导数：计算函数的导数，如果导数在整个定义域上都是正的，则函数单调递增；如果导数都是负的，则函数单调递减。

3.函数的极值

-极值点的定义：函数在某个点附近的局部最大值或最小值。

-求解极值点：通过求导数找到导数为零的点，这些点可能是极值点。

-判断极值类型：通过比较导数在极值点两侧的符号，判断极值点是局部最大值还是局部最小值。

4.函数的导数

-导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

-导数的计算：使用导数的基本公式和求导法则计算导数。

5.导数的几何意义

-导数表示函数图像在某一点的切线斜率。

-导数的符号表示函数图像的凹凸性。

6.导数与函数单调性、极值的关系

-导数与单调性：如果函数的导数在整个定义域上都是正的，则函数单调递增；如果导数都是负的，则函数单调递减。

-导数与极值：通过求导数找到导数为零的点，这些点可能是极值点。

7.应用实例

-在实际问题中，利用函数的单调性和极值分析，解决最大值和最小值问题。

-在经济学、物理学等领域，运用函数的单调性和极值研究变化趋势和优化问题。

8.注意事项

-在判断函数的单调性和求解极值时，要考虑函数的定义域。

-在求导数时，要注意导数的计算规则和导数的符号。

-在应用函数的单调性和极值时，要结合实际问题进行分析和解决。内容逻辑关系1.函数单调性的定义与性质

①函数单调性的定义：对于函数f(x)，如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在定义域上是单调递增的；如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在定义域上是单调递减的。

②单调性的符号表示：单调递增用符号“⇑”表示，单调递减用符号“⇓”表示。

③单调性的几何意义：函数图像在单调递增区间内是上升的，在单调递减区间内是下降的。

2.判断函数单调性的方法

①通过观察函数图像：直接从图像上判断函数在某个区间内的单调性。

②通过求导数：计算函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性。

③导数与单调性的关系：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减。

3.函数的极值

①极值点的定义：函数在某个点附近的局部最大值或最小值。

②求解极值点：通过求导数找到导数为零的点，这些点可能是极值点。

③判断极值类型：通过比较导数在极值点两侧的符号，判断极值点是局部最大值还是局部最小值。

4.导数的概念与计算

①导数的定义：函数在某一点的瞬时变化率。

②导数的计算：使用导数的基本公式和求导法则计算导数。

③导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点的切线斜率。

5.单调性与极值的关系

①单调性与极值的关系：函数的单调性可以通过导数的变化来判断，极值点是导数由正变负或由负变正的点。

②极值与函数性质的关系：极值反映了函数在某个点附近的局部性质。

6.应用实例

①实际问题中的最大值和最小值问题：运用函数的单调性和极值解决实际问题。

②经济学、物理学等领域的应用：利用函数的单调性和极值研究变化趋势和优化问题。课堂1.课堂提问

-通过提问，检查学生对函数单调性与极值概念的理解程度。

-设计不同难度的问题，从基础到应用，逐步提高学生的思维层次。

-鼓励学生积极回答问题，营造互动式课堂氛围。

2.观察学生参与度

-关注学生在课堂上的注意力集中程度、参与讨论的积极性。

-通过观察学生的课堂表现，了解他们对新知识的接受能力和兴趣。

3.课堂练习

-在课堂上进行随堂练习，检验学生对知识点的掌握情况。

-通过练习，及时发现学生在理解和应用上的问题，及时纠正。

4.小组讨论评价

-评估学生在小组讨论中的参与度和贡献。

-观察学生在讨论中是否能够提出有见地的观点，是否能够倾听他人意见。

5.课堂测试

-定期进