线性代数习题及解答知识交流

线性代数习题及解答

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线性代数习题一

说明：木卷中，表示方阵4的逆矩阵，可4)表示矩阵A的秩，||a||表示向量a的长度，a「表示向量a的转

置,E表示单位矩阵，⑷表示方阵4的行列式.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或

未选均无分。

an%

।■设行列式生|出2

42

A.-6B.-3

C.3D.6

2.设矩陈人X为同阶方阵.且A可逆.若A(X-E)=E则矩阵X=()

A.E+AB.E-A

C.E+AD.E-A

3.设矩阵A,8均为可逆方阵、则以下结论正确的是()

AAA

A.可逆,且其逆为B.不可逆

BBB

AAA

可逆,且其逆为D.可逆，且其逆为

3町B

4.设ai,a2,是〃维列向量，则ai,a2,aA线性无关的充分必要条件是

()

A.向量组ai,a2,a；；中任意两个向量线性无关

B,存在一组不全为0的数!I,自…，儿使得八ai+/2a2+…+Aa孑0

C.向量组an,a2,QA中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D.向量组ai,a2,…，a；.中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5,已知向量2。+/=(1,-2,-2,-1),,3«+2月=(1,一4,一3,0)「，则。+4=()

A.(0,-2,-I,I)7B.(-2.0,-1.1)7

C.(1,-1,-2.0)7D.(2,-6,-5,-1)7

6.实数向量空间V={(x,y,2)|3x+2.y+5z=0}的维数是()

A.1B,2

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C.3D.4

7.设。是非齐次线性方程组Ax=b的解，£是其导出组Ax=O的解，则以下结论正确的是

()

A.a+6是Ax=O的解B.a+夕是4x=b的解

<^.尸-。是4尸力的解口.。-A是41=0的解

8.设三阶方阵A的特征值分别为3,则A-i的特征值为()

24

C,II11

A.2,4,—B.—,—

3243

C.一」,3D.2.4,3

24

1

9.设矩阵4=2,则与矩阵A相似的矩阵是()

-I

1-101

A.-12B.10

32

-2I

C.1D.-2

11

10.以下关于正定矩阵叙述正确的是(

A,正定矩阵的乘积一定是上定矩阵B,正定矩阵的行列式一定小于零

C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11.设dc【(A)=・l,det(«)=2,且4,8为同阶方阵，则dcl((AB)3)=

I2-2

12.设3阶矩阵4t3,"为3阶非零矩阵，且贝卜-.

3-11

13.设方阵A满足/=£,这里k为正整数，则矩阵4的逆4」=.

14.实向量空间用的维数是_________.

15.设A是，”〃矩阵，r(A)=「，则人户0的基础解系中含解向量的个数为.

16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是.

17.设a是齐次线性方程组Ar=0的解，而《是非齐次线性方程组Ar*的解，则43。+2月”

18.设方阵4有一个特征值为8,则det(-8E+A)=.

19.设P为〃阶正交矩阵，x是〃维单位长的列向量，则||以|=.

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20.二次型=上；+5^2++4X]W-2M巧-2xixy的正惯性指数是.

/(APX2,X3)

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

2

-1-11

21.计算行列式

241

22

2

22.设矩阵4=3,且矩阵。满足4刖」=44」+〃八」，求矩阵8.

5

23.设向量组a=(3,1,2,0),。2=(0,71,3),%=(-1,2,0,1),%=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余

向量通过极大线性无关组表示出来.

-143

24.设三阶矩阵/!=-253,求矩阵A的特征值和特征向量.

2-4-2

25.求下列齐次线性方程组的通解.

X)+x3-5X4=0

-2芭+电-3X4=0

%+x2-&+2凡=0

2-24-20

306-11

26.求矩阵A=I的秩.

0300

1-1210

四、证明题(本大题共I小题，6分)

«11%%

27.设三阶矩阵A=a21anaiy的行列式不等于0,证明：

a

“31)2°33

线性代数习题二

说明：在本卷中，4T表示矩阵A的转置矩阵，*表示矩阵A的伴随矩阵，£表示单位矩阵。|A|表示方阵4的行

列式，r(A)表示矩阵A的秩。

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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或

未选均无分。

1.设3阶方阵4的行列式为2,贝1］一!4=（）

2

1

A-IB.-----

4

1

C.-

4

x-2x-\x-2

f(x)=lx-22x-\2/一2,则方程/（/）=0的根的个数为（）

3x-23x-23x-5

A.OB.l

C.2D.3

3.设A为〃阶方阵，将4的第1列与第2列交换得到方阵从若则必有（）

A.|A|=0B.|A+B|^O

c.|4|^0D.\A-B\^0

4.设A.8是任意的〃阶方阵，下列命题中正确的是()

A.(A+3)2=A2+2AB+B2B(A+5)(A-B)=A2-B2

C.(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)D.(AB)2=AB2

’岫4也哂、

.设,其中生w。也则矩阵的秩为)

5A=02bla2b2a2b3w0"=1,2,3,4

、她她她＞

A.OB.1

C.2D.3

6.设6阶方阵A的秩为4.则4的伴随矩阵4*的秩为（）

A.OB.2

C.3D.4

7.设向量（1=（1.-2.3）与0=（2.k.6）正交，则数太为（）

A-10B.-4

C.3D.10

X1+X.+X3=4

8.已知线性方程组，X1+办2+刍=3无解，则数折（）

再+

22ax2=4

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1

A.——B.0

2

1

C.一

2

9.设3阶方阵A的特征多项式为忆E-A|=(X+2)(2+3)*则=()

A-18B.-6

C.6D.18

10.若3阶实对称矩阵4=(6%)是正定矩阵,则4的3个特征道可能为()

A.-1,-2,-3B.-1,-2,3

C.-I,2,3D.I,2,3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

304

11.设行列式。=222,其第3行各元素的代数余子式之和为

53-2

(aa\(b-b}

12.设A=,B=，则AB=_________.

(一a-a)\-bb)

<103、

13设.A是4x3矩阵且"A)=2,3=020，则r(AB)=.

「103)

14.向量组(1,2),(2.3)(3.4)的秩为.

15.设线性无关的向量组0，a:....如可由向量组小，小，…⑶线性表示，则，•与s的关系为

x}+AX2+J3=0

16.设方程组，/LX]+/+%=0有非零解，且数4<0,则％=.

内+W+=0

17设.4元线性方程组4丫二〃的三个解a:t图，已知

%=(1,2,3,4)\。2+。3=(3,5,7,9)T,r(A)=3.则方程组的通解是_________.

18设.3阶方降A的秩为2,且4?+54=0,则A的全部特征值为.

，-211]

19.设矩阵A=0a0有一个特征值几=2,对应的特征向量为x=2，则数0=

13,

20.设实二次型/(为，/，刍)=/4%已知A的特征值为】I，2,则该二次型的规范形为

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

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21.设矩阵A=32%,3%),B=(〃,%，％)，其中a，〃，W3均为3维列向量，且|4|=18,画=2.

求W_用.

Q1-n(o

22.解矩阵方程022X+1

[1T

“(4

TT

门设向量组“1=(I.I.I,3)T,"2=(-1.-3.5.1).ay-(3.2.-1,p+2),aA-(，-1.

P+2)丁问〃为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

—x=l

2%+AX23

24.设3元线性方程组＜AX]-X2+X3=2,

内+

45X2-5X3=-1

(i)确定当，取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示I

25.已知2阶方阵A的特征值为4=1及4=一;，方阵8=A?.

(1)求〃的特征值；

(2)求A的行列式.

26.用配方法化二次型/(%,々，/)二才一2后一2后一4西々+12占9为标准形，并写出所作的可逆线

性变换.

四、证明题(本题6分)

27.设4是3阶反对称矩阵，证明同=0.

习题一答案

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一、单项选择JH（本大题共10小题,卷小题2分，共20分）

1.D2.A3.D4.D5.A

6.B7.B8.A9.B10.C

二、填空题（本大题共10小题,卷小题2分，共20分）

11.-81：2・・313.14.n15.n•

16.r(A,6)=r(A)17.2b18.019.1

20.3

三、计真题（本大题共6小题，每小题9分，共5,1分）

*

11-1211-12

00-530150

21.解：原行列式一1=■

02-4-302-4・3

015000-53

1112112-1112-1

015301050105

T3.S3=

00-14•:300-3-h100-3-14

•

00-53003-15000-19

=57

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111

22.解：由条件ABA=4A-+BA9得

（八一E）5AT=,|AI

从而（人・E）”P4E

1•'

故3=4（A・E）T=42

4

[7001

03102

0-101-3

00000

故4，%,，是极大线性无关组，且

。4=%+2%-3（X3,

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24.解：矩阵A的特征多项式为:

1+1-4-3

|AE-A|=2A-5-3=A(A-1)2

•24A+2

故A的特征值为2=0,%=入=1・

对于A=0,求解齐次线性方程组(0岳A)x=0

得一个基础解系为：41，故属于即=0的全部特征向施为:

-1

11

瓦巴=儿3/0)

对特征值入=入=1,考虑齐次线性方程组（】护人）"=0

=0求解得,其一个基础解系为:

故属于特征值%=%=1的全部特征向量为

y

乙生+，341+Zj0，其中44不全为o

J01•2■

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25.解:对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换得

01-5101-51rio1-51

A=210-301-2701-27

11-12,01-2740000■

由于r(A)=2V4,基础解系含2个自由未知量.

X|=-XJ+5X4

原方程组等价于x3,工4为自由未知量.

[01

令，得方程组的一个基础解系为

01

[-11

-7

小

0

01

故原方程组的通解为:

片C7+q跳=6，其中C，Q为任意常数.

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26.解：对A施行初等行变换将其化成阶梯形

由于人的非0行数为3.

故A的秩为3.（9分）

四、证明题（本大JS共1小题.6分）

27.证明，设有一组数酊.怎.心.使4％+扇％+居Q>=0..........................................（2分）

h

ki-0.

A>

亦即Ak9=0.即kt是Ax=0的斛.............................（4分）

“l*>

注意到4x-0只有多解•因为A的秩等于3=未知量的个数.

故A-&・M-0,从而5.4,4线性无关.........................（6分）

习题二答案

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--维事选撵JS（本大总共10小每小题2分.共20分）

1.B2,B3.C&C5.B

6A7D8.D9.A10.D

二、填空题,本大题共10小SL每小题2分，共20分）

三、计算题（本大E共6小发,诲小姮9分，共54分）

21.解|/-司4q2%,3%）-0%,加（

平一夕必，2川……4分

二上，为，2巾-忸,力,2”

=*・2〃,3川-2伊必,不

……6分

TH-2同工2

……9分

’11

22.解将原方程化为02

J-1

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P=2时向知a.,,,巧线性相关，

此时向工组的秩为3,

(或为其一个横大无关组

24.解(D设方程组的系数矩阵为4则M=(54+4XZ-1),

所以当义工1且义工一时，|M=0,方程级有惟一解,

4—

久=-1时，«4)工44),方程级无解；

<=1时，«4>=[(7)=2<3,方程组有无穷多解

(2)当2=1时，

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25.解（1）8的特征值为丛=P=I,

（2）|必=4%・3

26.解/缶，匕，/）=片-4tl4一加+14玉-2学

二（M-匕4.4g）-6片+12弓巧一封

=（$-6（学-4马+片）+4学

.=a-2q）2-6（Af?+4片

WN耳=%+2%+2为

令力二弓-《，则经可逆线性变换力=力+为

、y3Hxif=力

将二次型化为标准形，；-6为+4月

四、证明鹿（本鹿6分）

27证因为〃=-/•

所以旧=卜4T|=（切|•叫=T4

因此H=0

线性代数习题三

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵A'表示矩阵A的伴随矩阵出是单位矩阵JA|表示方

阵A的行列式,r（A）表示矩A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错

选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵为|=1,则卜2A+（）

A.-8B.-2C.2D.8

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1

2.设矩阵人=,B=(1J),则AB=()

iL

A.OB.(l,-DC.I1

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是()

A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA

4.设矩阵A的伴随矩阵A*=P2］，则A'=()

A.-14-3、1-2、12、

B.--C.--D.

21-2I,21-32134,4C.J

5.下列矩阵中不用初等矩阵的是()

101oor0000

A.010B.010C.030D.00

000100,0I201

6.设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有()

A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7设.向量组ai=(l,2),。2=(0,2邛=(4,2),则()

A.四，a邛线性无关B.B不能由ai,(X2线性表示

C.P可由ab(12线性表示，但表示法不惟一D.「可由abg线性表示，且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1』,则齐次线性方程组(E-A)x=O的基础解系所含解

向量的个数为()

A.OB.lC.2

2x-x2+x3=0

.设齐次线性方程组)

9X1-x2-x3=0有非零解，则为为()

Xx+x2+x3=0

A.-1B.OC.lD.2

10.设二次型f(x)=xTAx正定，则下列结论中正确的是()

A.对任意n维列向量x,x«Ax都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零

C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式;；的值为.

12.已知］，则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为.

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1-3、1n,

13.设矩阵A=01厕AP・

-24,

14.设A,B都是3阶矩阵，且|A|=2,B=-2E,则|A」B|=.

15已.知向量组ai=(l,2,3),a2=(3,-l,2),d3=(2,3,k)线性相关，则数k=.

16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3,四,a2,a3为该方程组的3个解，且囚

则该线性方程组的通解是一

T

17.已知P是3阶正交矩向量a=3.p=0，则内积(Pa,PB)=

\2/2

18.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为.

(\2)

19与.矩阵八=相似的对角矩阵为_________.

(U5)

1

20设.矩阵A=cJ,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_

「2k)

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

0120

10I2.,_

21.求行歹^D二10M值.

2

0210

'0

22.设矩阵人二IX.

0

23.若向量组由二的秩为2,求k的值.

'2

24.设矩阵人=1

X-1

⑴求A1;

(2)求解线性方程组Ax=b，并将b用A的列向量组线性表出.

25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A?+2A-E,求

(1)矩阵A的行列式及A的秩.

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⑵矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵

X[=2'+2y2+y3

26.求二次型f(x\X2,X3)=-4x|X2+2x|X3+2x2X3经可逆线性变换,X2=2y|-2y2+y3所得的标准形.

3-

四、证明题（本题6分）

27.设n阶矩阵A满足A?=E.证明A的特征值只能是±1.

线性代数习题三答案

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一、单项选择发（本大题共10小题，每小题2分,共20分）

1.A2.D3.B4.C5.A

6.B7.D8.C9.A10.C

二、填空题（本大题共10小题，卷小题2分,共20分〉

13.

.2为任意常数（答案不惟一）

518.6

（::：））20.4>4（或（4,+8））

三、计算题（本大题共6小题,每小摩9分.共54分）

0120

102

21.解。二4分

01-3

020

120

12

=—1-2-3二-9分

21

210

22.解由我-5=2£得我=8+2£,2分

因为卜|="0,所以彳可逆，且

‘010、

-1004分

001

'1-20、

又5+2E=2105分

002

所以X=（5+2E）4T7分

'210、

=-1209分