反比例函数与一次函数的综合应用

反比例函数与一次函数

1.反比例函数与一次函数的正比例函数反比例函数

比校

函数

解析式

y=k«k工0)尸为是常数，心0）

X

图象形状直线双曲线

K>0位置第一、三象限।第一、三象

限一L.

7T

增减性yIfix的增大而增大y随x的增大而减小

K<0位置第二、四象限第二、四象限

*J

厂’

增减性y随x的增大而减小y随x的增大而增大

1.举一反三:

2.函数y=-x与y二一在同一直角坐标系中的图象是（）

当k>0时，反比例函数团和一次函数y=kx-k的图象大致为（）

已知关Tx的函数y=k（x+1）和y=-口（kHO）它们在同一坐标系中的大致图象是（口）.

已知函数□中，□时，□随□的增大而增大，则□的大致图象为（）

2.反比例函数与一次函数交点

反比例函数与一次函数交点分两种情况：有两个，或者没有

练习题：

在函数y二□与函数y二x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是().

1.A.1个B.2个C.3个D.0个

已知正比例函数□和反比例函授□的图像都经过点(2,1),则口、□的值分别为()

2.AB□=2,□=□C□=2,□:2D□=□,口=2

反比例函数□与正比例函数□图像的一个交点的横坐标为1,她反比例函数的图像大致为()

3.已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数尸口的图象都经过点(2,m),则一次函数的解析式是

4,已知一次函数y=2x-5的图象与反比例函数y二□(kWO)的图象交于第四象限的一点P(a,-3a),则

这个反比例函数的关系式为

5,若函数)，=(2〃L1)X与y=±■”的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

X

若一次函数y=x+b与反比例函数y二口图象，在第二象限内有两个交点，□则k0,b0,(用“>”、

“<”、"="填空)

3.求一次函数和反比例函数的关系式。

例：如图，反比例函数□的图象与一次函数□的图象交于M、N两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式。

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。

解:(1)将点N(-1,-4)代入,得k=4

4

反比例函数的解析式为y=—

x

4

又•：M边在y=一上

x

Am=2

由M、N都在直线口，由两点式可知：

(3,解得(3

・二一次函数的解析式为y=2x+2

(2)由图象可知

当口，反比例函数的值大于一次函数的值

举^一反三：

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数□的图象相交于A,B两点。

(1)求反比例函数与一次函数的表达式(2)根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x的取值范围。

1.如图所示，已知一次函.数y=kx+b(k=#O)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点，且与反;匕例函数y二□(m

¥0)

2.的图象在第一象限交于C点，CD_Lx轴，垂足为D,若OA二OB=ODH.求(1)点A,B,D坐标；(2)一次函数

与反比例函数的解析式。

3.如图，反比例函数□的图象与直线二,的交点为□，口，过点□作□轴的平行线与过点口作

4.团轴的平行线相交于点向。求⑴点A.B的坐标；(2)团的面积。

如图，一次函数□的图象与反比例函数□的图象交于□两点.

5.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求口的面积.

已知一次函数二］的图像与反比例函数□的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是一2,求

(1)一次函数的解析式；(2)ZkAOB的面积

4.实际问题与反比例函数

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应

满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式)，这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确

的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要

做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

(1)由题意列关系式

例：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的

气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所

示(干帕是一种压强单位)

(1)写出这个函数的解析式；

(2)当气球的体积是0o8立方米时，气球内的气压是多少千

帕？

(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，

气球的体积应不小于多少立方米？

分析：(1)题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A,利用待定系数法可以求出P与V的

解析式，得口，(2)当v=8m3时代入P=□得P=120千帕；(3)问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即

当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P

=144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于□立方米

举一反三：

1.京沈高速公路全长658k叫汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t(h)

与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为

2.完成某项任务可获得50。元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y(尢)与人数x(人)

之间的函数关系式

3.一定质量的氧气，它的密度□(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10时，口=1。43,(1)

求口与V的函数关系式；(2)求当V=2时氧气的密度口

4.小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v(米/分)，所需时间为t(分)

(1)则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

(2)若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

5.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期(按150天

计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天

(1)则y与x之间有怎样的函数关系？

(2)画函数图象

(3)若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

⑵利用图象列关系式

例：为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知

药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)

成为正匕例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分

钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提

供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值

范为：

药物燃烧后，y关于x的函数关系式为

⑵研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1。6毫克时员工方可

进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空

气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

分析：(1)药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设口，将点(8,6)代人解析式，求得口，自

变量0VxW8;药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设口，用待定系数法求得口

(2)燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室,

先将药含量y=106代入口，求出x=30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小，

求得时间至少要30分钟

(3)药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y=3时，代入口中，得x=4,即当药物燃烧4分钟时，药含量

达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y=3时，代入口，

得x=16,持续时间为16—4=12>10,因此消毒有效

举一反三：

1.某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是()

Ay=—(x>0)By=—(x20)Cy=300x(x，0)Dy=300x(x>0)

xx

2.已知甲、乙两地相距s(千米)，汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a(升)，那

么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升)与汽车的行驶速度v(千米/时)的函数图象大致是()

(C)①)

3.一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间

为5〜10分钟

(1)试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；

(2)请画出函数图象

(3)根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？

4.某学校接受3600册的捐赠图书，分给x名学生，平均每名学生分得的图书册数为y册。

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)如果学生为720名，平均每人分得图书多少册？

5.某空调厂的装配车间计划组装9000台空调，

(1)从组装空调开始，每天组装的台数m(单位：台/天)与生产的时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？

(2)原计划用两个月时间(每月以30天计算)完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，

那么装配车间若天至少要组装多少空调？

6.小明家离学校口，小明步行上学需口，那么小明步行速度口可以表示为口；水平地面上重□的物体，与地

面的接触面积为口，那么该物体对地面压强□可以表示为口；匚］,函数关系式□还可以表示许多不同情

境中变量之间的关系，请你再列举1例

7.有一容量为180升的太阳能热水器，设其工作时间为y(分)，每分钟的排水量为x(升)。

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)若热水器可连续工作的最长时间为1小时，求自变量x的取值范围；

(3)若每分钟排放热水4升，则热水器不断工作的时间为多少？

)

4.已知反比例函数□的国象上有两点A（匚I）、B（匚|）,且口，则口的值是（）

A.正数B.负数C.非负数D.不能确定

5.在电压一定时，通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（）

A.三比例B.反比例C.一次函数D.无法确定

6.函数□与□（匚|）的图象的交点个数是（）

A。、2B.1C.0D.不确定

二、填空题（每小题4分，计32分）

7、一般地，函数是反比例函数，其图象是,当□时，图象两支在象限内。

8、反比例函数y二匚I,当y=6时，口_________.

9、若正比例函数y=mx（m=AO）和反比例函数丫二口（n=AO）的国象有一个交点为点（2,3）,则m=

10、若反比例函数y二（2m—1）广八2的图象在第一、三象限，则函数的解析式为

11.反比例函数的图像过点（一3,5）,则它的解析式为o

12.在函数口（口为常数）的图象上有三个点（-2,□）,（-1,□）,（□,匚I）,函数值□，匚I,□的大小

为；

13、函数y二口的图象，在同一直角坐标系内，如果将直线y二一x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直

线与函数y二□的图象的交点共有个

14、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；

乙：函数图象经过第一象限；丙：□随□的增大而减小；丁：当□时，口。已知这四人叙述都正确，请构造出满

足上述所有性质的一个函数_______________OI

三、解答题（共50分）丁/

15.（6分）反比例函数□的图象经过点□.

（1）求这个函数的解析式；二

（2）请判断点□是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由。x

16.（9分）作出函数□的图象，并艰据图象回答下列问题：°\

G）当□时，求y的值。（2）当□时，求x的取值范围。\|

（3）当一3Vx<2时，求y的取值范围.（第19题图）

17、（8分）若正比例函数y=的图象与反比例函数y=匕*的图象有一个交点的横坐标是1。求（1）两个

X

函数的解析式。（2）它们两个交点的坐标.

18、（8分）已知关于x的一次函数y=mx+3n和反比例函数口图象都经过点（1,—2）,求这个一次函数与反

比例函数的解析式

19、（9分）如图，正比例函数回与反比例函数例的图象相交于A、C两点；过A作x轴的垂线于B,连接BC,求AABC的面

积

20、（10分）在压力不变的情况下，某物承受的压强夕（Pa）是

它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示。

（1）求。与S之间的函数关系式；

（2）求当50?时物体所受的压强2

课堂检测（二）

一、选择题（每小题3分，计18分）

1.若函数□的图象过点（3,-7）,那么它一定还经过点（）

A.（3,7）B、（-3,—7）C、（—3,7）D、（2,-7）

2、反比例函数口所为常数）当□时，□随口的增大而增大，则口的取值范围是（）

A.□B.□C.□D.□

3、若点（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）都是反比例函数y二一口的图象上的点，并且x1〈0〈x2<x3,则下

列各式中正确的是（）

A.y1<y2〈y3B.y2（y3〈y1C.y3（y2<y1D.y1<y3〈y2

4、如图，已知关于x的函数y=k（x—l）和（kWO）,它们在同一坐标系内的图象大致是（）

5.已知力F所做的功是15焦，则力F与物体在力的方向上通过的距离S的图象大致是如图中的（）

6.下面关于反比例函数的意义或性质的综述，错误的是（）

A.自变量x犷大（或缩小）几倍，函数y反而缩小（或犷大）几倍

B、反比例函数是形如丫=口（k是常数，k丰0）的函数

C.若x与y的积是一个常数，则y是x的反比例函数

D.当k>0时，y随x的增大反而减小

二、填空题(每小题4分，计32分)

7、如果点(3,1)在反比例函数y二□的图象上，则y与x之间的函数关系

8、已知反比例函数□的图象经过点(2,-3),则k的值是,图象在象限，务x>0时，y

随X的减小而O

9、已知反比例函数口，当m时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m时，其图象在每

个象限内□随口的增大而增大；

10、已知口是反比例函数□(kRO)图象上的两点，且口<0时，口，则ko

11.已知正比例函数y=kx(k=^O),y随x的增大而减小，那么反比例函数y二口，当x<0时,y随x的增大而

12.已知y1与x成正比例(比例系数为k1),y2与x成反比例(比例系数为k2)，若函数y=y1+y2的图象经

过点(1,2),(2,□),则8k1+5k2的值为。

13、若川y-1,则下列函数：①口；②y=—mx+1;③y=mx;④y=(m+1)x中，y随x