高考数学一轮总复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例学案含解析

平面向量的数量积与平面向量应用举例

［考试要求］

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

［走进教材•夕实基础1回顾知识•激活技能

€＞梳理-必备知识

1.向量的夹角

己知两个非零向量。和上作晶=mOB=b,则/AO8就是向量。与力的夹角,向量

夹角的范围是：［0.nl.

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a，b的夹角为0,则数量「非卜cos6叫做a与b的数量

定义

积，记作。力

lalcos/叫做向量。在6方向上的投影，也3■叫做向量b在a方向上的

投影

投影

几何意义数量积ab等于〃的长度|a|与b在a的方向上的投影出Icos0的乘积

3.平面向量数量积的运算律

（1）交换律；ab=ba,

（2）数乘结合律：3数=，。仍）=。（访）:

(3)分配律：a(b+c)=ab-\rac.

4.平面向量数量枳的性质及其坐标表示

设非零向量a=（xi，y\）,b=（xi，竺），0=（mb）.

结论几何表示坐标表示

模la\=y/a^a|a|=1后+小

数量积ab=\a\\b\cos0

ab八xiM+yiL

夹角as。n-1加1cosor^—3

aVbab=04由+力垣=0

1。创与I。创W|a晌|A|X2+M)'2|

⑷固的关系

提醒：。〃〃与〃所满足的坐标关系不同.a//b<^x\y2=X2yi:a±8"而初+W=0.

I常用结论I

I.平面向量数量积运算的常用公式

(\)(a+b)(a-b)=a2—b2-

(2)(。±万)2=标±2〃协+/.

2.两个向量a,b的夹角为锐角今“小>()且力不共线；

两个向量a,b的夬角为钝角弋'在殳WQ.且外占不共线.

a•bc•h

3.。在〃方向上的投影为丁引人在。方向上的投影为而.

c>激活-必备技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.()

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(3)由。力=0可得”=0或。=0.()

(4)(a-b)c=a(b-c).()

［答案］(1)V(2)V(3)X(4)X

二、教材习题衍生

1.设0=(1,—2),b=L3,4),c=(3,2),则(a+2办c=()

A.(-15,12)B.0

C.-3D.-11

Cr・Z+28=(-5,6),?.(a+2/>)-c=-5x34-6x2=-3.］

2.平面向量〃与b的夹角为45。,a=(l,1),\b\=2,则|3a+b|等于()

A.13+6^2B.2^5

C.^30D.^34

D(Va=(lJ),.-.|«|=^/7+1=<2.

二・=同步|cos450=X乎=2.

：.\3aA-b\=\l9a2+b2A-6ab

=^/l8+4+12

=小1故选DJ

3.已知向量。=(1,m)，力=(3,-2),且(。+方)_1_力，则加=.

8「・Z=(1,m)，。=(3,-2),

.*.a+b=(4,〃?-2),由(a+〃)_L5可得

(4+初仍=12—2〃i+4=16—2/〃=0,即〃?=8.]

4.已知⑷=2,固=6,a山=一6/§,则a与力的夹角。=,a在力方向上的

投影为.

5n_5raab_6小

6_、3【cosP—闷.协厂2X6――2.

又因为OWOW%,所以。=浮1在方方向上的投影为需=二辔=一小」

[细研考点•突破题型]重难解惑直击高考

□考点一平面向量数量积的运算《例题对讲

令通性通法平面向量数量积的三种运算方法

已知句量的模与夹角时，可直接使用

定父惠数量枳的定义求解.即a♦b=|a

cos0(0是a与b的夹角)

计算由基底表示的向量的数量积时,

基向量法一应用相应运算律.最终转化为基向量

的数量积•进而求解

若向量选择坐标形式，则向量的数量

坐标法

积可应用坐标的运算形式进行求解

【典例1)(1)已知在矩形ABC。中，AB=4,AD=2,若£产分别为A8,8C的中点,

则力工际=()

B.10

C.12D.14

(2)已知两个单位向量a与b的夹角为60。，则向量a-h在向量a方向上的投影为

⑴B(2)|[⑴法一：(定义法)根据题意，得施力＞=(加+而).(5西=殖灰+

/)ACF4-AEDC+AECF=04-2XIXcos0+2X4Xcos0+0=19.

法二：(坐标法)以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐v

标系.

则A(0,0),3(4.0),C(4.2),00,2).4

VE,尸分别为A8,8c1中点,AE(2,0),尸(4,1).

'：DE=(2,-2),DF=(4,-1),.•.DEDF=2X4+(-2iX(-1)=10.

(2)由两个单位向量a和b的夹角为60°,可得ab=\XIx|=1,

所以(。一〃)"=/—46=1—2=2»

1

所以向量a—b在向量。方向上的投影为"学*='=4.］

点评：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标

法.定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量

的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系.

I跟进训练I

1.在。中，AB=6,。为△ABC的外心，则无》/市笔于()

A.%B.6

C.12D.18

I)［如图，过点。作0D工AB于D,

可知八。=；/18=3,

则历诵=(病+丽)靠=病茄+55府=3乂6+0=18.］

2.(2020•成都模拟)在。ABCO中，|B|=8,|4D|=6,N为。。的

中点，BM=2MC,则病•痴=.

24［法一：(定义法)赢厢=(猫+诙)•(近+昂)=例+|俞)@矗一］俞)=姓2

法二：(特例图形)：若MBC。为矩形，建立如图所示坐标

则M4,6),M(8,4).

所以就=(8,4),W=(4,-2),

所以病•病=(8.4>(4,-2)=32-8=24.1

□考点二平面向量数量积的应用，多维探究

►考向1平面向量的模

令通性通法求向量模的方法

(\)a2=aa=\a\2或同

(2)\a±b\=y)(a±b)2=yja2±2ab+h2.

⑶若a=(x,y)»则Ml=，&+)2.

［典例2—1］(1)已知平面向量。，力的夹角为/且同=小，仍|=2,在△48。中，AB=

2a+2b,A€=2a-6b,。为8C中点，则|俞|等于()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知在直角梯形48CD中，AD//BC,/4。。=90。，AD=2,AC=1,P是腰。C上

的动点，则|萩+3丽|的最小值为.

(1)A(2)5[⑴因为俞*赢+危)=如1+28+2“-68)=2°—2瓦

所以由¥=4(。一)尸=4(您2—2万a+b2)=4X(3—2X2X巾Xcos会+4)=4,则|疝=2.

(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0),设P(0,y),C(0,

/?),则8(1,b),则附+3PB=(2,一y)+3(l,b-y)=(53b~4y).

所以|诙+3崩|

=、25+(34一4)，)2(0W)W〃).

当)'=不？时，I以+3P8|min=5.]

点评：求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法，先把所求的棋表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；

(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

尻考向2平面向量的夹角

⑨通性通法求向量夹角问题的方法

当a,b是非坐标形式时，求a与b的头角9.

需求出a・b及|a|,|b|或得出它们之间

a•b

的关系，由cos0=-aS『求得

若已知a=(,3'1)与b=(次，义)，则

cos<a.b>北.〈a.b〉

♦・v/+N

€[0,7]

可以把所求两向量的夹角放到三角形中:

进行求解

[典例2—2](1)(2019.全国卷I)已知非零向量a,'满足|a|=2仍且(a-〃)_L%,则a

与方的夹角为()

A-6B3

(2)若向量a=(A,3),Z»=(l,4),c=(2J),已知2a—3力与c的夹角为钝角，则-的取值

范围是.

(1)B(2)(—8,-z)uf-1,3)[⑴法一:因为(a-A)_L力，所以(。一协力=。山一步|2

1

知

-力\€

=0,又因为同=2仍|,所以2|bFgs〈a,b)一血2=(),即COS〈Q251-/

[0.n],所以〈a.b)=?.故选B.

法二：如图，令万!=*OB=b,则就=为一35=”一〃,

因为(a—力)_LA,所以/。84=90°,

又⑷=2向，所以NAO8=*即<a,b>=/故选B.

(2)因为2〃一3)与c的夹角为钝角，

所以(加一3办cVO,即(2k-3,-6)-(2,1)<0,

9

2k—3解得%=-

所以4〃一6—6V0,所以AV3.若2a—3bmc反向共线，则—z-6,-2

,9

U

此时夹角不是钝角，综上所述，&的取值范围是(一8,一

|-万

、

点评：数量积大于。说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的

两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.

)考向3两个向量垂直问题

威通性通法

1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据

数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.

2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.

[典例2—3]⑴(2020•全国卷II)已知单位向量a,力的夹角为60。，则在下列向量中,

与方垂直的是()

A.a+2bB.2a+b

C.a-2bD.2u-b

(2)已知向量赢与危的夹角为120。，且丽|=3,以方=2.若而=)脑+/，且能_1_灰〕,

则实数2的值为.

(1)D(2)-)5[⑴法一：由题意，得〃仍=|〃恤0560。=3.对于人，S+26)力=。力+2〃

=］+2=合片0,故A不符合题意；对于B,（2a+力）协=2。山+〃=1+1=2H0,故B不符合

13

题意；对于C,（。-2力）协=。力一282=5—2=-/W0,故C不符合懑意；对于D,（2a-b）,b

=2a'h—b2=1—1=0,所以(2a—b)_Lb.故选D.

5

不妨设a=6，坐）2

法二:,5=(1,0),«•]a+2b=2a+〃=(2,A/3),a-2b=

（一I，坐），2a~b=（0,小），易知，只有（2。一力力=0,即（2a—力_!_从故选D.

（2）因为崩J■比，所以Q•证=0.

又淳=痴+危，BC=\C-AB,

所以（石^+启）•（衣•一族）=0,

即（"1）吊7益一冠2+启2=o

所以（义一1）14dl篇|CQS12D0-92+4=0.

所以（2—1）乂3乂2乂（一9-92+4=0.解得2=1.］

点评：解答本例（2）的关键是反?的转化，考虑到亦=派十元,且通与启的夹角为120。,

故反?=危一油.从而成J_反何转化为崩•病=0,即（^^+应）（启一油）=8

［跟进训练］

1.（2021•全国统一考试模拟演练）已知单位向量”，。满足〃力=0,若向量。=巾。+也

b,则sin(a,c)=()

A亚正

A.3B.-3

喈应

D.

-9

a-c

B[设。=(1,0),b=(0,1),则c=(巾,巾),所以cos〈〃，c)—正

\a\-\c\3'

,正

c〉=3J

2.（2020.福州模拟汜知向量|而=3,|丽=2,OC=mOA+nO8,若苏与为的夹角

为60、Hdc±Afi,则实数2的值为（）

2B.1

A.6

6D.4

A［因为向量15M=3,|为|=2,OC=ma\+nOB,后与油夹角为60。，所以51•励=

3X2Xcos60°=3,

所以赢•沆=(OB-dA)imOA+nOB)

=(m-n)OAOB-m\OA\2+n\OB\1

=3(〃L〃)一9〃?+4〃=—6〃?+〃=0,所以：=卷，故选AJ

3.(2020•全国卷I)设。，》为单位向量，且|a+例=1,则以一"=.

V5「••明》为单位向量，且|。+臼=1,・・・(。+m2=1,，l+l+2a功=1,：.ab=~^,

：.\a-h\2=a2+h2-2ah=1+1-2X^-1^)=3,：.\a-b\=y[3.]

□考点三平面向量的应用4例题对讲

威通性通法平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问

题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查.解决此类问题的关键是把向量作为载体,

将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解.

[典例3](1)设P是△A8C所在平面内一点，若油.(为+E)=2后•份，且法2=/2

-2BCAP,则点P是△A3C的()

A.外心B.内心

C.重.心D.垂心

(2)在△4BC中，48=(小sinx,sinA),AC=(—sinx,cosx).

①设儿0=赢・启，若7M)=0,求角A的值：

②若对任意的实数，，恒行丽一公1冽的，求△A8C面积的最大值.

(1)A[由W耳(C&+C入)=2A,得不及(右方十仁1一2成尸0,即/市•[(注一右»)+(3\—

CP)]=0,

所以油•(两+所)=0.

设。为48的中点，则前2而=0,故矗•丽=0.

由油2=43一2反'•通，得

(AB+AC)(AB-AC)=-2BCAP,

即(赢+/_2Ah抚=0.

设E为8c的中点，则(2曲一2通)抚=0,则2读:•证=C,

故BCPE=0.

所以「为A3与4c的垂直平分线的交点,

所以P是AABC的外心.故选A.］

(2)［解］(I)J(x)=ABAC=—T5sin2x+sinxcosx=—y［3'X~~^)S

sin(2x+§一坐.；/(4)=0,/.sin^2A3)=2,

XVA€(O,it),.*.2A+jG(J»2兀+号),；・2A+尹竽,，A=*

②如图，设病=/病，则矗一后=加，

即|丽|冽3石恒成立,：.AC±BC.

•.•丽=q4sin%=Y2-2cos2t&2,|4C］=1

，I的=，丽2-|花2£5,

••.△A3C的面积5=^3。/CW坐，当且仅当COS2E=0,即X=；+E,kEZ时等号成

立，.•.△48C面积的最大值为坐.

点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心

(1)1万M=|命|=|次|(或以2=。方2=3^2)00是△ABC的内心；

(2)以+劭+历=0=0是△48C的重心：

(3)OAOB=OBOC=OCOA^O是△ABC的垂心；

llCAI\CB\)

［跟进训练］

1.(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设

行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为尸八尸2,且内1=1尸2|，人与尸2的

夹角为"给出以下结论，其中正确的是()

A.。越大越费力，。越小越省力

B.［的范围为［0,B

C.当。=方时，|F,|=|G|

D.当但年时，|Fi|=|G|

AD［对于A,由|G|=|「i+尸2I为定值，所以|G|2=|尸/+1F2F+21尸||X|尸2|Xcos"=

2|F,|2（1+COS0）,解得小.由题意知［0,n）时，y=cos夕单调递减，所以甲仙

单调递增，即。越大越费力，。越小越省力，A正确；对于B,由题意知，。的取值范围是

［0,兀），故B错误；对于C,当。岩时，周2=亨，所以国尸乎|G|,故C错误；对于D,

当&=孕时，历|2=@2,所以|E|=|G|,故D正确.故答案为AD.］

2.在AA8c中,则矗与正夹角的取值范围为（)

A「工明Bp-1

AL6,4JBL4,3J

［n7t］「2兀3冗］

cj3JD［亍TJ

C［设矗与证的夹角为仇'：A8BC=3,.\|4«||«acos6=3,

一一3

即胡吁即

又SW除挈］故当w书丽的sinm-J）W羊，

所以坐w|tan四邛^,即乎Wtan8W巾.

又问0,n］,・,・汪8忌故选C.］

备考技法4平面向量中的最值（范围）问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点名题，此类问题综合性强，

体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如

向量的模、数量积、向量夬角、系数的范围等，解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利月平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值

或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化"，即利月平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值

与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识

来解决.

I类型1|

数量积的最值（范围）问题

［技法展示1］已知△回€•是边长为2的等边三角形，P为平面48c内一点，则丽.（丽

+无）的最小值是（）

A.-2

4

C.一？D.-1

B［法一：（极化恒等式）结合题意画出图形，如图①所示，设8C的中点为。，AD的

中点为E,连接AO,PE,PD,则有协+元=2而,

图①

则出•(PB+PC)=2B4PD=2(PE+EA)(PE-E4)=2(PE2-EA2).而以2=3

不

当点P与点E重合时，跆有最小值0,故此时瓦•（而+的取得最小值，最小值为一

2^2=-2X1=-|.

法二：（坐标法）如图②，以等边三角形A8C的底边8C所在直线为x轴，以边8C的垂

直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0,小），以一1,0）,C（l,0）,设P（x,y）,则就=

(-V,y[3~y),而=(_[_占-y)>PC=(\~x,-y)t所以或•[两+元)=(一乂小一丁)•(一

2x,_2），）=*+2（），一半）号,当x=0,y=乎时，丽（成+五7）取得最小值，最小值为一

图②

［评析］设。，方是平面内的两个向量，则有。仍=/（a+b）2—9—人尸］；极化恒等式的几

何意义是在6c'中，若AD是8c边上的中线，则油•危MAU-BD2.

具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另

一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒

等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙

结合.

［技法应用］

1.（2020・新高考全国卷I）已知。是边长为2的正六边形48CQEF内的一点，则A万万

的取值范围是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（-4,6）

A［APAB=\AP\\AB\cosZPAB=2\AP\cosZPAR,又|殖cos/加8表示能在布方向上

的投影，所以结合图形（图略）可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.又

启•赢=25X2Xcos300=6,AFAB=2X2Xcos1200=—2,故当点P在正六边形AHCOEF

内部运动时,APAB€（-2,6）,故选A.］

2.在半径为I的扇形4。8中，若N4O8=60。，C为弧上的动点，48与。。交于

点P,则浜•济的最小值是.

一会［方法一：（极化恒等式）如图①，取08的中点。，连接P。，^\OPBP=PD1-

OD2=PD2-^,即求P。的最小值.