定积分练习题

一、选择题

1.设连续函数F（x）〉O,则当水6时，定积分错误！F（x）dx的符号（）

A.一定是正的

B.一^定是负的

C.当0〈水6时是正的，当a〈灰0时是负的

D.以上结论都不对

解析：由错误！尸（x）dx的几何意义及大（x）>0,可知错误！尸（x）dx表示x=a,x=6,y=0与y=f（x）围成

的曲边标形的面积.，错误！"x）dx>0.

答案：A

2o若a=J。J。x%v,c=J。sin"r,则a,6,c的大小关系是（）

A.a〈c<6B.a（b（cC.c〈6（aD.X水b

解析：a=错误!V错误!错误！=错误!”=错误!M错误!错误！=4,c=-cos播误!错误！=1-cos2,Ac<a<b.

答案：D

30求曲线v=x?与y=x所围成图力的面积，其中正确的是（）

A.S=错误！（f—x）dxB.S=错误！（x—dx

C.S=错误！（/一0dyD.S=错误！（y一错误！）dy

［答案］B

［解析］两函数图象的交点坐标是（0,0）,（1,1），故积分上限是1,下限是0,由于在［0,1］上，后孔

故函数y=F与y=x所围成图形的面积S=错误！（x-x?）dx。

4.J：（sinx+l）dt的值为（）

A.2B.0Co2+2coslDo2-2cosl

【答案】A

【解析】JJsin尤+l）6^=［-cosx+1L=（-cosl+l）-［-cos（-l）-l］=2

50由曲线y=V+2x与直线y=人所围成的封闭图形的面积为（）

11c5c2

AA.—nB.—C.—D.一

6363

【答案】A

【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，

由/+2工=工,解得两个交点坐标为（一1,0）和（0,0）,

利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为：

S二1（工一，+2x）dx=（_?/一:$）£《一!）二；

JT32326

二、填空题

6.已知尸（x）=错误！（22一4）北，则当—3］时，f（x）

解析：f（x）=错误！（2［-4）dt=（干一42）错误！=/-4>=（*-2）2-4（一1Wx《3）,

当X=2Bt,f（X）min=-4.

答案：一4

7O一物体以i/(t)=¥—3t+8(m/s)的速度运动，在前30s内的平均速度为.

解析：由定积分的物理意义有：s=f3)(/2-3/+8)Jr=(错误！干一错误！F+80错误!错误!

Jo

=7890(m).Ap=错误!=错误!=263(m/s).

答案：263m/s

三、解答题

80求下列定积分:

•o

(1)错误!错误!dx;(2)(cosx+e')cLv-

(3)错误!错误！(1+错误！)dx;(4)错误!cos?错误!dx

解析：(1)错误!错误!dx=错误!Adx一错误!>2dx+错误!错误!dx=错误!错误！一错误!错误!+lnx|错误！=

错误！一错误！+ln2=ln2一错误！。

(2)f(cosH-e')clY=fcosxcbr+[e'dx=sin播误!错误！=1一错误！。

*"橹误！错误!错误！，

(3)错误!错误！(1+错误！)dx=错误！(x+x)dx=错误!j=错误！X9一错误！X4+错误！X9?

一错误！X4?=45错误！。

(4)错误!cos?错误!dx=错误!错误!dx=错误!x|0n+错误!sinx|o"=错误！。

9.已知函数,(x)=父+3/+队+6的图象如图：

直线y=0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为错误！，求Hx).

解：由f(0)=0得c=0,

fr(x)=3x+2ax+6.

由尸(0)=0得6=0,

f(x)=xax=x(x+a),

由J错误！L-"x)]dx=错误!得a=­3.

/.f(x)=x3—3x<)

10o已知Hx)为二次函数，且，(-1)=2,f(0)=0,错误！尸(x)dx=-2.

(1)求Hx)的解析式；

(2)求f(x)在上的最大值与最小值.

解析：(1)设/'(x)=af+bx+c(a=#0),

则尸(x)=2ax+6<,

由尸(-1)=2,f(0)=0,得错误！，即错误！。

/.f(x)—ax(2——a).

又错误！f(x)dx=错误！[ax?+(2—a)]dx

=错误!错误！=2一错误!a=-2,

/.a=6,c=-4O

从而f(z)=6x—40

(2)Vf(x)=6x-4,xG[-1,1],

所以当Z=0时，f(.X)min=-4；

当x=±1时，f(X)2,=2。

B卷:5+2+2

一、选择题

为偶函数且Q（X心=g,则J：f{x}dx等于（）

1.已知尸(x)

A.2B.4

C.1D.—1

解析：二•尸(x)为偶函数,£f(x)dx=j^f(x)dx=g,工j6,f(x)dx=2J。f(x)dx=1.

答案：C

2.(改编题)已知/(工)=2一国，则J：/(x)dx=()

A.3B.4Co3.5Do405

【答案】C

【解析】

/*)=2-凶=«；，一[J(x)公=J：(2+x)dx+J：(2-幻心=(2x+、)I：+(2x-y)|；

-+x'x<3,已知函数y=

=—+2=3.5.

2

9

V与尸kx（%〉0）的图象所围成的阴影部分的面积为》则k等于（）

A.2B.1

C.3D.4

答案：C

解析：由错误！消去y得x?-Ax=0,

所以x=0或x=k，则阴影部分的面积为

错误!错误！（Ax-V）dx=（错误!〃V一错误!V）错误!错误！=错误!.

即错误!〃一错误!〃=错误！，解得4=3。

4.一物体在力尸（x）=错误！（单位：N）的作用下沿与力厂相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位:m）处,

则力尸（公作的功为（）

A.44B.46

C.48D.50

解析：忆错误!尸（x）dx=错误!10dx+错误！（3*+4）取=10燔误！+错误!错误！

答案：B

5.函数/（x）满足/（（））=0,其导函数f\x）的图象如下图，则/⑴的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

【答案】B

【解析】由导函数广(工)的图像可知，函数/(x)为二次函数，且对称轴为工二-1,开口方向向上，设函数

/(x)=ax2+bx+c[a>0),v/(0)=0,c=O.fXx)=lax+b,因过点(一1,0)与(0,2)，则有

2

2ax(―1)+/?=0,2rzx0+/?=2,a=\yb=2.f(x)=x+2x,

则/(x)的图象与X轴所围成的封闭图形的面积为

V1||

5=j(-x2-2x)dx=(--X3-X2)|>-X(-2)3+(-2)2=-.

-2JJJ

二、填空题

1gx,x>0

6o(改编题)设=1i,，若八)))=1,则。为_________。

1+1)3广义/二0

【答案】1

【解析】•//(l)=lgl=0,/./(/(I))=/(0)=0+J；3f2力=ty|；；=d3=l,/.t/=l.

7.已知函数5(x)=—xaxbx(a,6£R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象

所围成区域(图中阴影部分)的面积为错误！，则a的值为.

,

［解析］f'(x)=~3x+2ax+b,­：f(0)=0,：.b=Qf：.f(x)=~x+ax,令/(x)=0,得

x=Q或x=a(a〈0).

SM¥=一错误！错误!3=错误!，，a=-1

三.解答题

2

8o(改编题)画出曲线)，二一与直线)，=x—l及x=4所围成的封闭图形，并且其面积。

x

A

B

x

解析：如图所示，封闭图形的区域为ABC。

2

由y=—与)，=x-l联立可得C(2,1),

x

21

由y=—与户4联立可得B(4,-),

x2

由y=与X=4联立可得A(4,3)o

所求封闭图形ABC的面积：

S=£(x-l)dLr-£—dx=(-^x221nxe

=8-4-2+2-21n4+21n2=4-21n2o

9o在曲线y=x(x^O)上某一点＞4处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为纭。

(1)求切点A的坐标.

⑵求过切点力的切线方程.

解析：设切点/4(xo,㈤，由，=2x,过点4的切线方程为

y—yo=2xo(x—Ab),

即y=2xox-xoo

令卜=0,得＞=错误!.即C(错误!，0).

设由曲线和过彳点的切线及x轴所围成图形面积为S,

S为4人m=£°x2dx=~x^lo，=错误！

心町=错误！|8C|・|四|=错误！(xo一错误！)・1=错误:需

・・.S=错误！/一错误！/=错误！..・・照=1,

从而切点4(1,1)，切线方程为y=2x-1。

C卷：2+2+1

一、选择题

1.如图所示，在一个边长为1的正方膨AOBC内，曲线y=f和曲线)，=五围成

一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC

内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是

A.—B—Co—Do-

2o643

【答案】D

【解析】5阴=£(4-x2)clx=(|xi-1x3)t=1,S正方形如=1，•.・P=

S正方形08cA3

2o设函数f(x)=x-[x],其中0]表示不超过x的最大整数，如[―1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1。又

函数g(*)=一错误!，尸(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m,Hx)与g(x)的图象交点的个数记为n,则错误!

g(x)dx的值是()

A.一错误！B.一错误！y|

C.一错误！D.一错误！//

［答案］ALr|

［解析］由题意可得，当0<求1时，［x］=0,Hx)=x，当1WX2/pz|------?时，M=1,f(x)=x

—1,所以当(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数五(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交

点，所以加=1,〃=4,则错误!g(x)dx=错误!错误!dx=错误!：=一错误！。

二.填空题

2

305/4-x-x)dt=.

【答案】乃一2

【解析】Jj(V4-x2)clx等于圆f+V=4在第一象限的面积乃，则