2025年实数核心概念梳理与高频考题解析

第十三章实数.一知识点总结

一、算术平方根

1.算术平方根的定义：一般地，假如的等于a,即，那么这个正数x叫

做a的算术平方根.a的算术平方根记为，函/根号a”，a叫

做.一

规定：0的算术平方根是0.

也就是，在等式（X2O）中，规定X=

理解：x2=a（x'O）x=4a

a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根a的算术平方根是x

2.。的成果有两种状况：当a是完全平方数时，〃■是一种有限数；

当a不是一种完全平方数时，〃'是一种无限不循环小数。

3.当被开方数扩大（或缩小）时,它的算术平方根也扩大（或缩小）；

4.夹值法及估计一种（无理）数的大小（措施：）

二、平方根

1.平方根的定义：假如的平方等于a,那么这个数x就叫做a的.即：假

如，那么x叫做a的.

理解：x2=a＜一＞x=±4a

a是x的平方x的平方是ax是a的平方根a的平方根是x

2.开平方的定义：求一种数的的运算，叫做.开平方运算的被开方数必须是

才故意义。

3.平方与开平方：±3的平方等于9,9的平方根是±3

4.一种正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个成果；

一种负数平方根，即负数不能进行开平方运算

5.符号：正数a的正的平方根可用JZ表达，J7也是a的算术平方根；

正数a的负的平方根可用-〃'表达.

6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联络：

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一种；

联络在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

三、立方根

1.立方根的定义：假如的等于。，这个数叫做。的（也叫

做），即假如,那么X叫做。的立方根。

2.一种数。的立方根，记作五，读作："三次根号Q”，

其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略，若省略表达平方。

理解：x3=a<—>x=\[a

a是x的立方x的立方是ax是a的立方根a的立方根是x

3.一种正数有一种正的立方根；0有一种立方根，是它自身；

一种负数有一种负的立方根；任何数均有唯一的立方根，

4.运用开立方和立方互为逆运算关系，求一种数的立方根，就可以运用这种互逆关系，检查其对

的性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即

V-^=—x/^{6/>0）o

四、实数

1.有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数

3.实数的定义：有理数和无理数统称为实数

"整数,

有理数J>有限小数或无限循环小数

实数4分数

无理数->无限不循环小数

4.像有理数同样，无理数也有正负之分。例如加，乃是正无理数，-血，-为，—冗

是负无理数C由干非0有理数和无理数均有正负之分，实数也可以这样分类：

正有理数

正实数

正无理数

实数40

负有理数

负实数

负无理数

5.实数与数轴上点的关系：

每一种无理数都可以用数轴上的一种点表达出来，

数轴上的点有些表达有理数，有些表达无理数，

实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一种实数都可以用数轴上的一种点来表达；反过

来，数轴上的每一种点都是表达一种实数。

与有理数同样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所示的实数总比左边的点表达的实数大

6.数。的相反数是一〃，这里。表达任意一种实数。

7.实数的绝对值：一种正实数的绝对值是自身；

一种负实数的绝对值是它的相反数：

0的绝对值是Oo

8.无限小数是有理数（）无限小数是无理数（）

有理数是无限小数（）无理数是无限小数（）

数地上的点都可以用有理数表达（）有理数都可以由数轴上的点表达（）

数轴上的点都可以用无理数表达（）无理数都可以由数轴上的点表达（）

数的上的点都可以用实数表达（）实数都可以由数轴上的点表达（）

五、考点分析

类型一、有关概念的识别

例1.下面几种数：0.1237,1.010010001—『5而,3五4,百，其中，无理数的个数有

7

A、1B、2C、3D、4

【变式1】下列说法中对的的是（）

A、闻的平方根是±3B、1的立方根是±1C、JT=±1D、-否是5的平方根的相反数

【变式2]如图，以数轴的单位长线段为边做一种正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线

长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表达的数是)

B、1.4C、V2D、V3

类型二计算类型题

例2.设V26=a则下列结论对的的是)

举一反三:

【变式1】1）1.25的算术平方根是;平方根是.2）-27立方根是

.3)

变式2]求下列各式中的

(1)X2=25(2)=9(3)x3=-64

类型三、数形结合

例3.点A在数轴上表达的数为3百，点8在数轴上表达的数为2,则A,B两点的距离为

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表达1，行的对应点分别为A,B,点B有关点A的对称点为C,则点C

表达的数是（）.

A.“3-1B.1-V2C.2—A/2D.V2-2

类型四、实数非负性的应用

例4.已知(x-6)2+J2x-6y+|y+2z|=0求(不一了丫―?的值。

【变式1]己知T^2+(/7+5)24-|C+1|=0求a-vb-c的值。

类型五、易错题

例5,判断下列说法与否对的

(1)（-3）2的算术平方根是-3(）（2）后"的平方根是±15（)

(3)当x=0或2时，Xy/x-2=0()（4）4是分数（）

2

类型六、实数应用题

例6.有一种边长为11cm的正方形和一种长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一种面积为这两个

图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。

类型七引申提高

例7.把下列无限循环小数化成分数：①0.%②0.33③o.io^

一、填空题

1、（-0.7）2的平方根是

2^若。2=25,网=3,则a+b=

3、己知一种正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是

4、口一句+|4—4|=

5、若m、n互为相反数，则〃?一逐+〃=

6、不小于力，不不小于标的整数有个。

7、一种正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则W,x二。

二、选择题

1、如下语句及写成式子对的的是（