高二数学常用公式大全

第八率圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

考试要求：

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和桶圆的简单几何性质，了解横网的参数方程。

(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质o

(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

(4)了解圆锥曲线的初步应用。

一、椭圆

定义

1.\PFt\+\PF2\=2a>\FyF2\

皿g…1

44

注意：当ZaulKBI轨迹为线段卜出

la<|FJF,|轨迹为0

2.方程与性质:a>b>0,a2=bzc2

(1)标准方程r+z=I

a1b2

(2)焦点F(±C,0)F(O,±C)

23

(3)准线x=±—尸±5

c

(4)顶点(±a,0)(0,士〃)(0,土。)(士40)

范围

(5)\x\<a9\y\<b\x\<b,\y\<a

焦半径

(6)\PF1\=a+ex。1

|二。

IPF2Q-exIPF?\=a-eyi)

(7)到焦点最远距离Rc,最近距离山

⑻点Pa。,%)在椭圆与+马=呐0区+耳＜1

a~b~a~b~

»2f22

(9)c=£，通径=2——，焦准距=——,准线距=2幺

aacc

(10)f+与=1上的点可设为cos。,Z?sin。)

a~b~

注：①只有准线X=3-,F(C,0)e=£完全一致才是标准方程

ca

②建立a,6,c的齐次方程或不等式即可求e的值或范围

y2*AB>0

③—i--=1表示椭圆<=>«

AB

二、双曲线

\PF,\-\PF2\=Yla[la右支

•"2a<\FsF2\[一2〃左支

注意：2。=|丹乙|是两射线2々＞|EE|无轨迹

定义244

购一dLffU-j

-a\-a2

ee

2.方程与性质c2=cr+b2

2，

(1)方程三-上=1Z_r

/b2/b2=1

(2)焦点F(±C,O)厂(0,士C)

(3)顶点4士。,0）40,±4)

(4)范围\x\>a

,b

(5)渐近线y=±—xy=±-x令"1”为。即可

ab

(6)焦半径1班|二|做+。1|「的\=\ey0+a\

|P居\=\ex^-a\\PF,\=\eyn-a\

.2.22

C实轴长=2a,虚轴长=26,焦准距=一,通径=2匕，准线距=2幺

(7)e--,

acac

(8)等轴双曲线a=b,e=5/2

(9)P（Xo，）'o）在不含焦点的区域=W■一磐＜1

ah~

AB<0

注意：①Ax?+8）、=c表示双曲线。，

CHO

②已知渐近线.），=±'x,可设双曲线方程之一二二%

min~n~

③双曲线的切线层只有一个交点

直线与双曲线交点只有一个。切线，平行于渐近线的直线

三、抛物线

1.定义|PF|=d

2.方程y2=2〃xy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

3.焦点厂（5,0

4.准线工=一上Py=-P

222-2

5.焦半囹产地—\pF\=y^ILi"以一为

6.通径2P

7.0在内部y；—2〃.7<0yl+2pxc<0片一2〃为<0x；+2p为<0

注意①与抛物线只交于一点的直线=切线，平行于对称轴的直线

②焦点弦问题

⑴%必="

(ii)|A8|=|AA|+||=x]+x2+p

(iii)NA世=90

(iv)以AB为直径的圆与48相切

(v^\AB\=^-

sin~0

,、112

(vi)----+----=—

IAF|\BF\p

四、直线与圆锥曲线主要问题

1.弦长问题/■%|J1+公Hy-％IJ+/=含，1+女2

焦点弦长IAB|=|AF\+\BF\=ed】+ed2

OA_LOBox%+>'\必=0=。4OB=0

2.垂直问题乙4MB为钝角

NAM3为锐角oMA•MB>0

1.对称问题：五式法，也可用违达定理（求出中点坐标，代入区域内）

4、范围问题：先建立等式，再由等式到不等式

5、最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题

6、定值问题：先利用特殊探求定值再证明

7、向量问题：实现向量语言的转化，充分利用向量的坐标工具

8、轨迹问题：

第九章直线、平面、简单几何体

(A)考试内容：

平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。

平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。

直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和

平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。

平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.

多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球。

考试要求：

(1)理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放直的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平

面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对亍异面直线的距离，

只要求会计算已给出公垂线时的距离。

(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上

的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理。

(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌

据两个平面垂首的判定定理和性质定理八

(5)会用反证法证明简单的问题。

(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。

(7)了解棱柱的榻念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。

一、平面的性质

1、公理1,如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内

作用：证明直线在平面内

2、公理2,如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

作用：(1)证两平面相交(2)点在直线上(3)三点共线或三点共线

3、公理3,经过不在同一直线上的三点，有且只有(确定一个)一个平面

推论1,经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有(确定一个)一个平面

推论2,经过两条相交直线，有且只有(确定一个)一个平面

推论3,经过两条平行直线，有且只有(确定一个)一个平面

作用：(1)确定一个平面

(2)证两平面重合

二、空间两条直线

1、位置关系：(1)相交有且只有一个公共点】

(2)平行在同一平面对，没有公共点共面》

(3)异面，不同在任何一个平面内，没有公共点

2、公理4：a//b.bllc^>a/lc

3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同那么这两个角相等

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(直角)相等

4、异面直.线所成的角(1)平移(2)相交(3)锐角(直角)工

2

5、异面直线间的距离、公垂线段的长度

三、直线与平面位直关系

1相交：a[a=A2平行：alia3直线在平面内：QUO

四、直线与平面平行

1.定义：alla<=>a=^>

2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

3.性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交.那么这条直线和交线平行

五、直线与平面垂直

1.定义：a_L。。对于任意_!_/

2.判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

3.性质定理：如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行

4.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

5.三垂线逆定理，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

6.重要结论

(1)正方体的体对角线与异面的面对角线垂直

(2)从平面外一点引斜线

①斜线段相等=射影长相等②斜线段较长。射影长较长③斜线段)垂线段

7T

(3)直线与平面所成的角的范围是；10,-]

(4)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

(5)三余弦公式cosqcos。？=cos6

(6)P在平面ABC的射影是0

①外心。PA二PB二PC

②内心=侧面与底面所成的角相等

③垂心oPA_LBC,PB±AC

或PA.PB,PC两两垂直=>垂心

六、平面与平面

a///3aP=（j）

1位置关系

aJ3=a

2.平面与平面平行

(1)判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

判定定理2：垂直于同一直线的两个平面平行

(2)性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面

性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

性质定理3:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面

性质定理4：夹在两平行平面间的平行线段长度相等

3.平面与平面垂直

(1)a_L/=二面角平面角二90

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

(3)性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

性质定理2:如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面

内

4二面角的平面角

(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面

角的平面角，范围是[0,1]

(2)作法一，定义法(具有对称图形的条件)

作法二，三垂线定理法

七、棱柱

1、定义：(1)两个平面平行(2)其余各面交线平行。

2、性质

(1)侧面、对角面是平行四边形

(2)直枝柱。侧棱1底面

(3)正棱柱＜=＞正：底面是正多边形直：侧棱底面

(4)长方体对角线I2=a2+Z?2+c2

cos2a+cos2p+cos2y=1(与棱)

cos2a+cos2p+cos2y=2(与面)

(5)四棱柱z?平行六面体直平行六面体长方体n正四棱柱正方体。

若NAAB=NAAC,AB=AC,AA1BC=>

（6）SR!+2A8A41sin。

cosacosa=cos0

V=^CA-^=^C-Msin<9l

3、

J

八、棱锥

1、定义（1）一个面是多边形（2）其余各面是共顶点的三角形

2、正棱推（1）正：底面是正多边形；

（2）中：顶点在底面的射影是中心

3、正三棱锥二>对棱互相垂直

4、正四棱锥=侧面与侧面成钝角

5、侧棱与底面所成的角<凡/>

侧而与底面所成的<r,/>

九、球

222

1、R=r+d

2、球面距离/="氏

八R2+R2-AB

cose=---------—

2R2

AB2=r2+r2-2r2cosp

（£是径度差）

3、S=4兀R?

球内接长方体I2=4R2=a2+b2+c2

侧棱两两垂直的三棱锥补形二>长方体=>球内接长方体

4

4、体积V=一不代

3

£=^=3邑

Rg球

w

多面体内切球半径：r=—

s全

3

5、正四面体外接球R=-12内切球r=—h7?:r=3:1

44

十、常见图形体积，补割法

A'

a

c

SB'

V=-sdABCD对应于一个平行六面体，其体积为_17

23-平行六面体

第十章排列、组合和二项式定理

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理。

排列、排列数公式。

组合、组合数公式、组合数的两个性质。

二项式定理、二项展开式的性质。

考试要求：

(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用但题。

(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

一、两个计数原理

1.加法原理(分类)2,乘法原理(分步)

二、排列、组合

(1)排列：有序，不重复(2)组合；无序，不重复

n!

(3)排列数公式：A：=〃(〃-1)…(〃-机+1)=-------:—

(〃一⑼！

最大数〃二下标项数二最大数-最小数+1

A"1加

(4)组合数公式：C：=-L=-------:——0!=1

(5)公式

①小，z!=(〃+l)!—〃！②C：A；；=A：③

④C)+C：+…+C；=2"⑤C：+c：rl=C篙⑥hC：=〃C3

三、应用题主要题型

(1)纯排列组合问题

(2)在与不在问题，特殊元素优先，用加法、乘法或减法

(3)含与不含问题

(4)相邻问题——捆不相邻问题——插

(5)全排列中某攵个元素无序(次序固定)组

k\

(6)至多、至少问题——加法、戒法

(7)混合问题——先取后排，先纽合后排列，先分堆后分配

四、二项式定理(a+b)n=C"'+C『b+•・・+C»”

①(4+勿”=《/+。：""+・・・+。”共〃+1项，,C：是二项式系数。(Dn=2k,C\氤大

(2)n=2k+\C：=C1尸最大

rnrr

②通项Tr+l=cna-b

③G+C；+・+C；=2"c：+c：+=C：+C：+=2'I

@C：=C；=x=y或x+y=〃

⑤3+〃+c)”=C；(a+b)n+C：(a+by-lc+•+C：c”

展开后共〃+1+〃+・•+1=(〃+2”项

2

五、典型问题

(1)指定项，常数项(2)整除问题

(3)求系数之和，奇数项，偶数项系数之和令x=l,x=-l

(4)(1+x)"«1+zu,»1+/tv+J%?

an>〃”+i

(5)母函数法(6)求最大系数ai

小之

第十一章概率

考试内容：

随机事件的概率，等可能性事件的^率，互斥事件有一个发生的概率