高三试卷：2025届10月江苏高三金太阳数学试题+答案

江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学

-

L设全集U=R,集合A={x卜<x<4},集合B={〕|x<0或x>2},则集合AU(iB)=()

A.(1,2]B.(L2)C.(0⑷D.[Q,4)

2,设复数:满足=|2+y+2i(i为虚数单位)，则:的虚部为()

A.v@B..vGiCv厅D.厅

3.改聆题口3(£帔-»+1=0,缠qYxeR':e+a"+220,则啦"是〃命

题—q成立"成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.条件D.既不充分也不必要貂牛

4.塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，嵯环境B成了

利立)污染，臬一塑料在自然界降解后的残留量y与自然降解时I诃(年)之间的

繇沏二Jb叱，其中h为做辐，弱降解藏L已知该种塑样酎萍自然等解

后的残留量为初始量的88格，则要使得其残留量不超过初始量的10%,该种塑料至

少需要自然降解的镀妫()(参考娄据：Ig2-(]301)

A.30B.31C.32D.33

5.已知向量a=(%2),b=(2,y),C=(l-2),若副cb_Lc,则向量2a+6^向量c上的殳

影向量为()

A.(-2,4)B.(2,-4)c.[-p-|)D.层

6.下列在同T标系中的图象，可以作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d

(aWO)及其导函数的图象为(v

7.对乎负>0,y>0'扁+肃则川白/骷()

a.=B.-1C.1D.3

8.已知酸G)的定义域为R,()二|,(3X+0为偶函数，且函数=9(2x)的图

2o2$

象井点(L1网称，则Z/(Q=()

A.4048B.4049C.405ID.4054

1

二多选题

9.在复平面内，复数云、=;对应的向量分别为a、a,则()

A.k+3=6+gB.|5-3|=|-a|

c.Hsl=5可D.日用(一。)

10.已知函数=”的图象相邻两个对称中心之间的距离明，则

()

A.o=4

B.J(x)的最小正周期为T

c.J()的图象的一条渐近线为直线

D.J(s)的增区间为(e+字9同(I)

印-1卜<J

2

11.已知函数/(•、)=1：若存在实数m使得方程/G)=m有四个不同的实数

|log;

解X,X,X,X,fix<x2<X；<X1，则()

A.f(x,x)=0

B.+X；<0

Xv1

C.xjf(x；)>1

D.x+f(x;)>1

三、填空题

1口知S，为等差数列｛a州前画和，若a;=6,M20,则S。的值为_.

13.某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台(如图)，用一张矩形的石墨烯显

示屏(可弯曲)围成展台的侧面(两个矩形和一个曲面)，商品放在展台上展示，

显示屏播放商品广告.已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面

积最大，扇形的圆心角应设计为一弧度.

14.(x)二忸的函数值表示不超过、•的最大整数，人们习惯称其为‘取整函

数'例如:卜35]=4,P1]=2，若[xH]=10贝Jx的取值范围为一

四、解答题

15.已知V/18C的面积为2OG,。为边8C的中点，0/1=5,弧丽=20.

⑴求8c的长；

⑵求角。的正弦值.

16.已知数列｛q｝和也｝满足/一"=%“，4+"=入。为常数，且二％).

⑴证明：数列出｝是等比数列；

⑵已知S”为数列｛叫的前〃项和，且邑=&,记C”琮,乙为数列匕｝的前〃项和，求

使得7＞。的〃的最大值.

17.已知函数/(x)=Vicos'x+2sinxcosx-Gsin,x

⑴求〃外在区间［%］上的最值；

(2)已知aw(0,5，且/(")］,求⑶1a的值.

18.已知函数/(x)=2；+2x-kix(aeR).

⑴当"0时，证明：/(外＞0.

⑵若函数y=/(x)的图象与X轴相切，求。的值

⑶若〃外存在极大值点，求。的取值范围.

19.已知集合6｛%用吗「\咽，4为集合A的子集.定义S(4)=之q,5(0)=0,

(1)取4=

①若存在4M且s(4)=s⑷，求〃的最小值：

②对于给定的〃，若存在4,4,…，4互不相同且4n4n…CM**0,求A的最大值M〃)

*(«)

及此时\s(4)的最大值/明

1=1

⑵取凡T(#2,〃CN,)，是否存在〃及4M，使得…,且s(4)=s(4)?若存在，

请举例；若不存在，请证明.

参考答案

题号12345678910

答案DCBBACDBABDBC

题号11

答案ABD

1.D

3

参考答案

1.D

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】求出集合“8,利用并集的定义可求得集合力548）.

【详解】因为全集〃=3集合力={x[l<x<4},集合8={小<0或%>2},

则。8=卜|04、42},所以，.（。6）=[0,4）.

故选：D.

2.C

【难度】0.85

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、求复数的模、共辄复数的概

念及计算

【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得二，进而可得解.

【详解】由已知|2+i卜5¥=

则亘=君+2「

所以1罕=2-6,

所以二=2+百，

其虚部为石，

故选：C.

3.B

【难度】0.85

【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据全称命题的真假求参数、根据特称

（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式

恒成立化简命题P©,再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由命题p：3xwR/-ox+l=0,得4=/-4N0,解得心-2或022,

由命题q：VxeR,x2+ax+2>0,得怎=/-840,解得-2及4。42及，

命题F：a<-2丘或a>2五,显然「9口。,而。不能推出「夕，

所以“命题p成立''是"命题F成立''成立的必要不充分条件.

故选：B

4.B

【难度】0.85

【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式

的互化、由对数函数的单调性解不等式

【分析】由已知当，=3时，”0.8%,可知4=领0.8,代入解析式，令”01%,解不

等式即可.

【详解】由已知当，=3时，”0.8%,

即%.产=0.8%，则A=fn0.8,

4

令”0.1%,即%・e”0.E,

解得AYlnO.1,即:"nO.8GnO.l,

.、，In0.1,-InlO,1,I

解得.时ln"lnlO_31n2=,匚应W30.928

~InlO

即至少需要自然降解31年,

故选：B.

5.A

【难度】0.65

【知识点】求投影向量、由向量共线(平行)求参数、数量积的运算律、向量垂

直的坐标表示

【分析】由力区打)可确定右-后由投影向量定义可得答案.

-2x=2；二；，贝版=(T2)，^=(2,1).

【详解】HaZ/c^lc,由题2-2^=0=>

则2。“=(。,5)’则向量2力在向量让的投影向量为一二吟四£

2"斗)-10二2小

又恢+可=疗=5,|C|=^12+(-2)2=>/5,COS2"ER=

2a+b[\c\~~5j5~一_~

则0=-20=(-2,4).

故选：A

6.C

【难度】0.65

【知识点】函数与导函数图象之间的关系

【分析】分析可知，((乃的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之

间的关系逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为9(%)=0%3+匕%2+cc+d(aH0),则八x)=3M+2bx+c,则广㈤的图

象为抛物线，

对于A选项，如下图所示：

当或"七时，yz(x)<0,则函数/(x)在区间(华，演)、(均,+8)上均为减函数，

不合乎题意，A错；

对于B选项，由图可知，VxeR,f(X)>0,则函数在(-8，+8)上为增函数,

不合乎题意，B错；

对于C选项，由图可知，VxeR,(。)>0,则函数/(X)在(-%+8)上为增函数,

合乎题意，c对；

对于D选项，如下图所示：

5

X

当或X>3时,r(X)VO,则函数〃x)在区间(-8，N)、(%,+8)上均为减函数,

不合乎题意，D错.

故选：C.

7.D

【难度】0.65

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值

【分析】设吁高，”品;，可知"小丹，所以，"”宇察，结合基本不

/X+”3x+yIn+2In+2

等式可得…的最小值为,解不等式#-京*即可.

[详解]设〃"高=a，"号=亡6°』)，

xy

所以」-+-=用+〃=^W?11=(7〃+2『-3(7〃+2H9

2x+3y3x+yIn+27(7〃+2)

=22±2+_9__%户.9

77(7w+2)7V77(7w+2)77'

当且仅当空=可篇，即〃=；时等号成立，

所以""/一,加45,即nr-2m-3=(m-3)(m+1)<0,

解得-lWmW3,

即所的最大值为3,

故选：D.

8.B

【难度】0.4

【知识点】判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性、由函数的周

期性求函数值

【分析】由题可得/(X)关于A1,(2,2)对称，据此可得/(幻的一个周期为4,即可

得答案.

【详解】因/(3X+D为偶函数，则/(-3"+1因/(3x+l),则/(X)图象关于X=1对称；

因蚱;/(2切的图象关于点山)对称，则“[2(皿)]+“[2(1-)]=2,

n/(2+2x)+/(2-2x)=4,得/(力图象关于(2,2)对称;

则/(T+l)=/〃+l),〃2+/)+/(2T)=4

n/(T+1)+/〃+3)=4n/(/+1)+/(/+3)=4.

6

则/(f+3)+/(-5)=4n/(l+0=4-/a+3)=/a+5),则/*)的一个周期为4.

2025

则£/(幻=506[/⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1).

又/(-1)+/(-3)=4,令可得/(1)+/(3)=/(2)+/(4)=4.

2025

则Z/(A)=506x8+1=4049.

故选：B

【点睛】结论点睛：/。)的定义域为R.

若/(心+,)为偶函数，则/(X)图象关于对称(…);

关于(。力)对称，则/(X)图象关于(极则对称W，"0)；

/⑴图象关于X",低c)对称，则/⑶的一个周期为4*b|.

9.ABD

【难度】0.65

【知识点】坐标计算向量的模、求复数的模、数量积的坐标表示、复数的除法运

算

【分析】利用特殊值法可判断C选项；设二产m+〃i,=2=x+W(m,〃,x,"R),则

♦=(或〃)，%=利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD选项.

【详解】设二1=切+加，-2=x+yi(m,w,x^eR),则♦=(〃，〃)，%=(“)，

对于A选项，二1十二2=(〃，+戈)+(〃+»，)+8=(m+x.〃+y),

则匕+二21=+X)，+("+y>=q+a2|,A对；

对于B选项，二/二2=(吁小("刈，a-b=(m-x9n-y)9

则匕|-二2|=/(吁耳+(〃-歹『=问-可，B对；

对于C选项，不妨取4=l+i,z『l+2i,贝！|Z=(1,1),Z=(L2),

则二E2=(l+i)0+2i)=-l+3i,则3l=J(7『+32

a,-a,=1+2=3,此时，|-)|ai,C错；

对于D选项，当二2工。时，Z工。，则匕|=同，匕2卜同，

=1m+ni(w+/h)(x-yi)(nix+ny)+(nx-my)i

二2x+yi(x+yi)(x-yi)x2+y2

故选：ABD.

10.BC

【难度】0.65

【知识点】正切函数图象的应用、求正切型三角函数的单调性、求正切(型)函

数的周期、求正切(型)函数的对称中心

7

【分析】利用正切型函数的对称性和周期性可判断AB选项：利用正切型函数的

渐近线可判断C选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于AB选项，因为函数/(切=3(8-胃(。＞。)的图象相邻两个对称中心

之间的距离为%

则该函数的最小正周期为所以，©W=2,A错B对;

对于C选项，/(x)=tan^2x-^,当*=塞时，=y,

所以，/(X)的图象的一条渐近线为直线A1，C对；

O

对于D选项，由-5<2》-：<版+强")，

<_v*zpiArtitkit37tz."、

可得另一(<X<7+G(AWZ),

LoZo

所以，/(x)的增区间为片/有+曲(A"),D错.

\ZoZo/

故选：BC.

11.ABD

【难度】0.4

【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、由导数求函数的最值(不

含参)

【分析】根据分段函数的性质及值域可得，〃的范围，再结合函数值相等可知函数

解的关系，进而判断各选项.

l-4\x<0

kF收4'-l,0<A：<y

【详解】由/(')=

-log?X^<X<\

hog：x|,X>y

l0g2X,A：>I

作出函数图像如图所示,

当x＜0时,函数/(x)单调递减,此时/(x)w(OJ);

当时，函数/(')单调递增，此时/(“€［。，1)；

当;。＜1时，函数/(X)单调递减，此时/("HO』；

当”1时,函数/(“单调递增，此时/(加(0，+8)：

由方程/(、)=%有4个解,即函数y=f(©与函数”加有4个交点,

8

即"7w(0,1),且MV0<占V5<Mv1<乙<2,

且此-1卜|4^-1|"log?xj=|log2x4\,

即41+4心=2,log：七+log,几=log,(x3x4)=0,

即%为二1,

且4,+仆>2,4号-4町=24'产町,当且仅当4%=4"即8=时取等号,

即川於诟<2,»+%<0,B选项正确；

/（^4）=/（0=0,A选项正确:

又/（七）=/（占），

所以>2+/(覆)=>2+/(々)=>2+4J,月+/。2)=月+/(引=口Tog2月，

T。，；)，"x)=x-log2

设g(x)=—,X

g（x）=x+4'-l（0,；）g（0）vg（x）O

则在上单调递增,即0<g(x)<|>0<A:2+/(X3)<|,

C选项错误;

又“3=1-焉，日*3在G，1）上单调递增,

ln2-l

则力'。）。'（1）="工=<0

In2

所以九（乃在G，i）上单调递减,

所以Mx）=x-iog2>>Mi）=i,

即再+/（向）>1,D选项正确;

故选：ABD.

12.90

【难度】0.85

【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算

【分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.

【详解】设｛4｝首项为4,公差为"，由等差数列通项，求和公式：

k=q+3d=6”=0则几=10…d=90

£=5《+10"=20]d=2，人」第1

故答案为：90.

13.2

【难度】0.85

【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本（均值）不等式的应用

【分析】根据2r+s=/,利用基本不等式可得即可由扇形面积公式求解.

【详解】设扇形的半径为「，圆心角为明石墨烯显示屏的长度为/,则2r+w=/,

故2r+ar=/22J2a>=a/<—,当且仅当2r=ar即a=2时等号成立，

8

故扇形的面积为S=故当。=2时，面积取到最大值，.

2Iolo

9

故答案为：2

10H

14.

【难度】04

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数新定义

【分析】由“取整函数”的定义可知［小》＜卜加，则卜］匕巾］力『+国，分工＞0和K＜0

两种情况，解不等式即可.

【详解】由“取整函数”的定义可知定、（国+1,且［小

又［心口=10,所以

易知力0,且卜卜0,

当x＞0时，［小0,即1］＞0,

则卜］＜卜『+卜］,

1］＞0

所以卜尸。,解得吟1!＜［小历,

卜r+［》u~

由4＜（宇所以2＜早＜3,

则卜］=3,

所以1043"11,即

当x＜0时,H＜0,

则卜『+卜］＜M小卜『，

［小。

即［寸+卜卜10,解得白@＜卜卜_旧,

［心U,

又9d止严＜16,即生土严3

此时国不存在，

综上所述xe号果，

故答案为：y»y^.

15.（1）16

⑵也

''14

【难度】0.85

【知识点】用定义求向量的数量积、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应

用、余弦定理解三角形

【分析】（I）根据三角形面积及向量数量积可知tan//用，进而可得P5与忸C|；

10

（2）在△力0C中，用余弦定理可知|4C|,再由正弦定理可知角C的正弦值.

【详解】（1）

由己知。为边吹的中点，

所以山相=2s•网sin4OB=20百,

gP|OJ|-|OB|sinZAOB=20G,

又如存=|O4Ho8|•cos（兀一ZJOB）=-|OJ|-|OB|cosZAOB=20,

贝Ijtan/力08=-JJ,

即408后，

又31=5

则11%=20,

即|网=8,|BC|=2|OB|=16；

（2）由⑴得4。8="，明=网=8,

则4℃弋，

在△4。。中，由余弦定理可知依『=Qf+|OC|2-2\OA\-\OC\.cosZJOC,

即|4C『=25+64-2x5x8x；=49,

贝|J|4C|=7,

二I四

sinZCsinZ.AOC'

则向“=叫|=些=组

\AC\714

16.（1）证明见解析

⑵31

【难度】0.65

【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式能成立（有解）问题、由定义

判定等比数列、分组（并项）法求和

【分析】（1）由已知条件推到得出外.尸2%-3利用等比数列的定义可证明出数列

血-4为等比数列，求出%T的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列｛如｝

是等比数列；

（2）根据（1）求出数列｛斯｝、｛原｝的通项公式，可得出数列仁｝的通项公式，可

求出入分析数列亿｝的单调性，由。＞。，々＜。可得出满足乙＞。的〃的最大值.

11

【详解】(1)证明：因为凡也”——(A为常数，且

上述两个等式相加可得24=之十.,则/川=2%-"所以，%-zl=2(%T),

因为程4,则4--0,所以，数列入叫是首项为4-3公比为2的等比数列,

所以，4"=(%T)・2i,所以,

则务^=2,即数列｛匕｝是公比为2的等比数列•

(2)解：因为2为数列｛册｝的前〃项和，且W=2,则。产SLSLO,

由(1)可知，=(qT)x2,=16(qT)=",所以，q岑小

Io

所以，a.-2=(a,-2).T-'=-A-2-=-A-2-5,则a”。-*)"

由(1)可得〃=-(ai)”=4・2——，

Io

因为数列£｝单调递减，且当〃之4且〃wN,时，。0,且％=0,

所以，当〃25且〃eN•时，7>0,

当〃26且〃wN.时，c„<09

所以，数列亿｝从第6项开始单调递减，

因为。।=1-1>。，G=-,<0,

当64〃431且〃&N•时，7；二%>0；

当心32且〃eN•时，旧32<0.

所以，使得7>。的〃的最大值为31.

17.(1)答案见解析；

⑵5加8.

【难度】0.65

【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正切公式化简、求值、

二倍角的正弦公式、辅助角公式

【分析】(1)由辅助角公式化简/⑴，后令2升三=’,由题意结合函数单调性可得

最值；

(2)由可得sin(a+］与cos(a+胃同号，即可令si«a+$=〃，由题可解得〃，即可

得答案.

【详解】(1)f(x)=V3cos2x+2sinxcosx-y/3sin2x=y/3cos2x+sin2x

=\3cos2x+sin2x=2sin(2x+j1

12

因xe呜，则+T"，令/(x)=g(/)=2sin/

注意到g⑺在第］上单调递增，在(用上单调递减.

则/(X)mx=g^)=2,2x+1=」=4:

/(x)nun=min,g^jj,g(7t)=g(n)=O,此时2》+：=/=兀=>》=3；

故/(X)在K-展时取最大值2,在xg时取最小值0；

(2)因ae

由题〃a)=2sin

nnn

则sm(a+窈与cos(a+北同号，则a+—e

66,2

则令sin(a+')=〃€得4〃Jl-gn-.n25〃'-25〃?+4=0

n(5/7)(5/-4)=0,则或〃,="(舍),

J0

L------

则tana=tan.+a一-——1=5痒8

3

18.(1)见解析

(2)”"(Tn2-l)

(3)a>2>/2e

【难度】0.4

【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、己知切

线(斜率)求参数、根据极值点求参数

【分析】(1)求导即可根据函数的单调性求解极值证明，

⑵设出切点，求导，根据.，(加卜.2通一砺I?l=o,/(/n)=^^+2/w-lnm=0,即

''ewme

可求解"，=；,进而可求解，

(3)求导，将问题转化为/，3=,殳二£+2」=。有不相同的实数根，分离参数，

构造函数人(')=奈，即可利用导数求解.

13

【详解】(1)当”0时,/(x)=2x-lnx,则八＞)=2/=生11

XX

当”;时，/")＞。,/(力单调递增，

当0＜x＜；时，/”)＜0J(x)单调递减，

故/(》)在x=；时取极小值也是最小值，

故/(x)=2x-lnx2/l+ln2>0,得证.

(2)函数y=/a)的图象与x轴相切,故设切点为(叽0),

e*x

故八两一，2」W/(加)=嘤+2〃？_|n小=0,

ewme

-2+—

因e此it“正1二中m匚且nka\nmk-2m，

24m

-2+—

故十"〃谭’=1Imr-，化简得;(2〃.1)(2吁Inm+2)=0,

由(1)知2x-lnx>0,故2吁lrw〃+2>0,因此2〃一=0,故〃?=；,

In--I।

所以—e7=V2e(-ln2-l)

V2；

江£+2」=。，故

(3)令/”)=.八)+^—1=0

XX

0-2K)1-2J/、a

故“前厂二-=(E

x

当F时,/'("=0,

当心工。,，可得品j则”薨,

厂1、1

记MM吟，则小)=2

2—

Xx

当时，力")＞。川”单调递增，

当0＜x＜；时，〃(x)＜0,6(x)单调递减,

14

故h(x)在x时取极小值也是最小值，《；)=2在，

且当XT+8时，，G)->+8,当KfO时，力。)->+8,

故/⑶存在极大值点，只需要0>2底.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

⑵构造新的函数九(%):

(3)利用导数研究九0)的单调性或最值：

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

19.⑴①3;②A(〃)=2”\/(〃)=W+3〃)・2i

⑵不存在，证明见解析

【难度】0.15

【知识点】求等比数列前n项和、集合新定义、求等差数列前n项和、二项式的

系数和

【分析】(1)①结合子集定义与题目所给条件，分别计算〃=1、〃=2及〃=3时的结

果即可得；②由题意可得4,4,…，4中存在公共元素，则集合4,4,…，4去掉公共元

素后的新的所有集合必为集合A中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元

素个数的关系即可得解A仅)，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数

计算公式与等差数列求和公式即可得/叫

(2)借助反证法，假设存在符合要求的〃，由题意可设4c4=。，%”分别为两

者中最大元素，通过计算可得当通2时,数列q=[”的前〃项和…则可得

j,<…<3由两者矛盾，即可得.

【详解】(1)①当〃=】时，八储，有两个子集，分别为。、相，

此时s(0)=o,S({1})=1,不符合要求;

当〃=2时,4={1,2},有四个子集，分别为0、{1}、{2}、{1,2},

此时S(0)=O,5({1})=