专项突破6 解一元一次方程的十种应用（新人教版）

第五章一元一次方程专项突破6解一元一次方程的十种应用应用1解方程在一元一次方程定义中的应用1.若方程(a－1)x｜a｜－1＝0是关于x的一元一次方程，则a

＝⁠.－1

2345678910111应用2解方程在一元一次方程的解中的应用2.【新考法·同解同求法】已知关于x的方程𝒙𝟐＋𝒎𝟑＝x－4

与方程𝟏𝟐(x－16)＝－6的解相同，求m的值.解：解方程𝟏𝟐(x－16)＝－6，得x＝4.将x＝4代入𝒙𝟐＋𝒎𝟑＝x－4，得𝟒𝟐＋𝒎𝟑＝0，解得

m

＝－6.2345678910111应用3解方程在错解问题中的应用3.

[2024上海宝山区模拟]小明在解关于

x

的方程3(

x

＋

a

)＝2

x

＋4，在去括号时，将

a

漏乘了3，得到方程的

解是

x

＝3.(1)求

a

的值；解：

(1)由题意可知

x

＝3是方程3

x

＋

a

＝2

x

＋4的解，

所以3×3＋

a

＝2×3＋4，解得

a

＝1.2345678910111(2)求此方程正确的解.解：

(2)把

a

＝1代入原方程，得3(

x

＋1)＝2

x

＋4，解得

x

＝1.2345678910111应用4解方程在解新定义问题中的应用4.【新视角·新定义题】“△”表示一种新运算，其意义是a

△b＝3a＋2b.若x△6＝18，则x＝⁠.点拨：根据题中的新运算得3

x

＋12＝18，解得

x

＝2.2

2345678910111应用5整体求解法在解方程中的应用5.

[2024成都七中育才学校模拟]解方程：20－4(2

x

＋3)－

3(

x

－2)＝8(

x

－2)－2(2

x

＋3).2345678910111解：把2x＋3，x－2分别看成一个整体，进行移项、合

并同类项，得11(x－2)＋2(2x＋3)＝20.去括号，得11x－22＋4x＋6＝20.移项，得11x＋4x＝20＋22－6.合并同类项，得15x＝36.系数化为1，得x＝𝟏𝟐𝟓.2345678910111应用6解方程在解含多重括号的方程中的应用6.解方程：𝟏𝟐𝟏𝟑𝟏𝟒𝟏𝟓𝒙−𝟏−𝟔+𝟒＝1.2345678910111解：去大括号，得𝟏𝟑［𝟏𝟒𝟏𝟓𝒙−𝟏－6］＋4＝2.去中括号，得𝟏𝟒𝟏𝟓𝒙−𝟏－6＋12＝6.去小括号，得𝟏𝟐𝟎x－𝟏𝟒－6＋12＝6.移项、合并同类项，得𝟏𝟐𝟎x＝𝟏𝟒.系数化为1，得x＝5.2345678910111应用7解方程在解分母为小数的方程中的应用7.解方程：𝒙−𝟒𝟐＋𝟎.𝟐𝒙−𝟎.𝟑𝟎.𝟓＝𝟎.𝟎𝟐𝒙𝟎.𝟎𝟏.2345678910111解：分母化为整数，得𝒙−𝟒𝟐＋𝟐𝒙−𝟑𝟓＝2x.去分母，得5(x－4)＋2(2x－3)＝20x.去括号，得5x－20＋4x－6＝20x.移项，得5x＋4x－20x＝20＋6.合并同类项，得－11x＝26.系数化为1，得x＝－𝟐𝟔𝟏𝟏.2345678910111应用8解方程在含字母参数的方程中的应用8.

[2024长沙一中模拟]已知关于

x

的一元一次方程2

024

x

－3

＝4

x

＋3

b

的解为

x

＝6，则关于

y

的一元一次方程2

024(1

－

y

)＋3＝4(1－

y

)－3

b

的解为(

D

)A.

y

＝－5B.

y

＝－7C.

y

＝5D.

y

＝7D23456789101119.

若关于

x

的方程

a

(2

x

＋

b

)＝12

x

＋5无解，求

a

，

b

的值

或取值范围.解：对原方程变形，得(2a－12)x＝5－ab.当2a－12＝0且5－ab≠0时，方程无解，所以a＝6，b≠𝟓𝟔.2345678910111应用9解方程在解含绝对值问题中的应用10.

【新考法·阅读类比法】先阅读下面的解题过程，再解决

问题.2345678910111解方程：｜

x

＋3｜＝2.解：当

x

＋3≥0时，原方程可化为

x

＋3＝2，解得

x

＝－1；当

x

＋3＜0时，原方程可化为

x

＋3＝－2，解得

x

＝－5.所以原方程的解是

x

＝－1或

x

＝－5.2345678910111(1)解方程：｜3

x

－1｜－5＝0.解：(1)移项，得｜3x－1｜＝5.当3x－1≥0时，原方程可化为3x－1＝5，解得x＝2；当3x－1＜0时，原方程可化为3x－1＝－5，解得x＝－𝟒𝟑.所以原方程的解是x＝2或x＝－𝟒𝟑.2345678910111①无解；②只有一个解；③有两个解.解：

(2)因为｜

x

－2｜≥0，所以：①当

b

＜0时，方程无解；②当

b

＝0时，方程只有一个解；③当

b

＞0时，方程有两个解.(2)探究：当

b

为何值时，方程｜

x

－2｜＝

b

，2345678910111应用10解方程在解数轴上动点问题中的应用11.

[2024泰兴济川初级中学月考]如图，数轴上点

A

表示的

数为－3，点

B

表示的数为4，阅读并解决相应问题.2345678910111(1)问题发现：若在数轴上存在一点

P

，使得点

P

到点

A

的距离与点

P

到点

B

的距离之和等于

n

，则称点

P

为

点

A

，

B

的“

n

节点”.如图①，若点

P

表示的数为

1，点

P

到点

A

的距离与点

P

到点

B

的距离之和为4＋3

＝7，则称点

P

为点

A

，

B

的“7节点”.2345678910111填空：①若点P表示的数为－2，则n的值为⁠；②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A，B

的“7节点”，则这样的整点P共有个.7

8

2345678910111点拨：设点

P

表示的数为

x

.则点

P

到点

A

的距离为｜

x

－(－3)｜＝｜

x

＋

3｜，点

P

到点

B

的距离为｜

x

－4｜.当

x

＋3＞0，且

x

－4＞0，即

x

＞4时，因为｜

x

＋3｜＞7，所以｜

x

＋3｜＋｜

x

－4｜＞7，不符合题意；当

x

＋3≥0，且

x

－4≤0，即－3≤

x

≤4时，2345678910111｜

x

＋3｜＋｜

x

－4｜＝

x

＋3＋4－

x

＝7，符合

题意；当

x

＋3＜0，且

x

－4＜0，即

x

＜－3时，因为｜

x

－4｜＞7，所以｜

x

＋3｜＋｜

x

－4｜＞7，不符合题意.所以－3≤

x

≤4.因为

P

为整点，2345678910111所以

P

表示的数为－3或－2或－1或0或1或2或3或

4.所以整点

P

共有8个.2345678910111(2)类比探究：如图②，若点

P

为数轴上一点，且点

P

到

点

A

的距离为1，请你求出点

P

表示的数及

n

的值.解：

(2)因为点

P

到点

A

的距离为1，点

A

表示的数为

－3，所以点

P

表示的数为－4或－2.当点

P

表示的数为－4时，点

P

到点

A

的距离与点

P

到

点

B

的距离之和为1＋8＝9，即

n

＝9；当点

P

表示的数为－2时，点

P

到点

A

的距离与点

P

到

点

B

的距离之和为1＋6＝7，即

n

＝7.2345678910111(3)拓展延伸：若点P在数轴上运动，满足点P到点B的

距离等于点P到点A的距离的𝟑𝟒，且此时点P为点

A，B的“n节点”，请写出点P表示的数及n的值.2345678910111解：(3)设点P表示的数为y.根据题意，得𝟑𝟒×｜y＋3｜＝｜y－4｜.当y＋3＞0，且y－4＞0，即y＞4时，𝟑𝟒(y＋3)＝y－4，解得y＝25.当y＋3≥0，且y－4≤0，即－3≤y≤4时，𝟑𝟒(y＋3)＝4－y，解得y＝1.2345678910111当y＋3＜