专项突破11 数学思想在线段和角的计算中的应用（新人教版）

第六章几何图形初步专项突破11数学思想在线段和角的

计算中的应用题型1分类讨论思想在线段和角的计算中的应用1.

[2024成都期末]点

O

为数轴的原点，点

A

，

B

在数轴上的

位置如图所示，点

A

表示的数为5，线段

AB

的长为线段

OA

长的1.2倍.点

C

在数轴上，

M

为线段

OC

的中点.(1)点B表示的数为⁠；(2)若线段BM的长为4.5，则线段AC的长为⁠；－1

2或16

23456781(3)若线段

AC

的长为

x

，求线段

BM

的长(用含

x

的式子表

示).解：(3)①当点

C

在点

A

的右侧(或重合)时，如图①，①23456781则点C表示的数为5＋x.因为M为线段OC的中点，所以点M表示的数为𝟓+𝒙𝟐.所以BM＝𝟓+𝒙𝟐－(－1)＝𝟕+𝒙𝟐.23456781②当点C在点A的左侧时，点C表示的数为5－x，所以点M表示的数为𝟓−𝒙𝟐.ⅰ)若点M在点B的右侧(或重合)，如图②，则BM＝𝟓−𝒙𝟐

－(－1)＝𝟕−𝒙𝟐.②23456781ⅱ)若点M在点B的左侧，如图③，则BM＝－1－𝟓−𝒙𝟐

＝𝒙−𝟕𝟐.③234567812.

[2024怀化模拟]如图，已知点

O

在直线

AB

上，作射线

OC

，点

D

在平面内，∠

BOD

与∠

AOC

互余.

(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，则∠BOD＝⁠；50°

23456781(2)若∠

AOC

＝α(0°＜α≤45°)，

ON

平分∠

COD

，补全

图形，求出∠

AON

的值(用含α的式子表示).解：(2)因为∠

BOD

与∠

AOC

互余，所以∠

BOD

＋∠

AOC

＝90°.当点

D

在∠

BOC

内，0°＜α≤45°时，补全图形如图

①.则易知∠

COD

＝90°.23456781因为

ON

平分∠

COD

，所以∠

CON

＝45°.所以∠

AON

＝α＋45°.①②23456781当点

D

在∠

BOC

外，0°＜α≤45°时，补全图形如图

②.易知∠

BOD

＝90°－α.因为∠

AOB

＝180°，所以∠

AOD

＝180°－(90°－α)＝90°＋α.所以∠

COD

＝90°＋2α.因为

ON

平分∠

COD

，所以∠

CON

＝45°＋α.所以∠

AON

＝∠

CON

－∠

AOC

＝45°.综上所述，∠

AON

的值为45°或α＋45°.23456781题型2方程思想在线段和角的计算中的应用3.

[2024北京朝阳区期末]如图，点

C

把线段

MN

分成两部

分，其比为

MC

∶

CN

＝5∶4，点

P

是

MN

的中点，

PC

＝

2

cm，求

MN

的长.23456781解：因为MC∶CN＝5∶4，所以设MC＝5xcm，则CN＝4xcm.所以MN＝MC＋CN＝5x＋4x＝9x(cm).因为点P是MN的中点，所以PN＝𝟏𝟐MN＝𝟗𝟐x(cm).因为PC＝PN－CN，所以𝟗𝟐x－4x＝2，解得x＝4.所以

MN

＝9×4＝36(cm).234567814.如图，已知AB为一条直线，O是AB上一点，OC平分∠

AOD，OE在∠BOD内，∠DOE＝𝟏𝟑∠BOD，∠COE

＝75°.求∠EOB的度数.23456781解：设∠AOD的度数为x°，则∠BOD＝(180－x)°.因为OC平分∠AOD，∠DOE＝𝟏𝟑∠BOD，所以∠COD＝𝟏𝟐∠AOD＝𝒙𝟐°，∠DOE＝𝟏𝟑(180－

x)°.又因为∠COE＝∠COD＋∠DOE＝75°，所以𝒙𝟐＋𝟏𝟖𝟎−𝒙𝟑＝75，解得x＝90.所以∠BOD＝90°.所以∠DOE＝30°.所以∠EOB＝∠BOD－∠DOE＝60°.23456781题型3整体思想在线段和角的计算中的应用5.

如图，点

C

是线段

AB

上的一点，点

M

是线段

AC

的中

点，点

N

是线段

BC

的中点.(1)如果

AB

＝10

cm，

AM

＝3

cm，求

CN

的长；23456781解：(1)因为

M

是

AC

的中点，所以

AC

＝2

AM

.

因为

AM

＝3

cm，所以

AC

＝2×3＝6(cm).因为

AB

＝10

cm，所以

BC

＝

AB

－

AC

＝10－6＝

4(cm).又因为N是BC的中点，所以CN＝𝟏𝟐BC＝𝟏𝟐×4＝2(cm).23456781(2)如果

MN

＝6

cm，求

AB

的长.解：(2)因为M是AC的中点，所以MC＝𝟏𝟐AC.因为N是BC的中点，所以CN＝𝟏𝟐CB.所以MN＝MC＋CN＝𝟏𝟐AC＋𝟏𝟐CB＝𝟏𝟐(AC＋CB)＝

𝟏𝟐AB.又因为MN＝6cm，所以AB＝2×6＝12(cm).234567816.

[2024苏州二模]已知，

OM

和

ON

分别平分∠

AOC

和

∠

BOC

.

(1)如图，若

C

为∠

AOB

内一点，探究∠

MON

与∠

AOB

的数量关系；解：(1)∠MON＝𝟏𝟐∠AOB.23456781(2)若

C

为∠

AOB

外一点，且

C

不在

OA

，

OB

的反向延长

线上，请你画出图形，并探究∠

MON

与∠

AOB

的数

量关系.23456781解：(2)当C在如图①所示的位置时，∠MON＝𝟏𝟐∠AOB.当C在如图②所示的位置时，∠MON＝𝟏𝟐∠AOB.当C在如图③所示的位置时，∠MON＝180°－𝟏𝟐∠AOB.①②③23456781题型4特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用7.[2024济宁期末]探究题：如图，已知线段AB＝12

cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC

和BC的中点.(1)若点C恰好是AB的中点，则DE＝cm；6

23456781(2)若

AC

＝4

cm，求

DE

的长；解：(2)因为AB＝12cm，AC＝4cm，所以BC＝8cm.因为点D，E分别是AC和BC的中点，所以CD＝𝟏𝟐AC＝2cm，CE＝𝟏𝟐BC＝4cm.所以DE＝CD＋CE＝6cm.23456781(3)试利用“字母代替数”的方法，设

AC

＝

a

cm，请说明

不论

a

取何值(

a

不超过12

cm)，

DE

的长不变.解：(3)因为

AC

＝

a

cm，所以

BC

＝

AB

－

AC

＝(12－

a

)

cm.因为点

D

，

E

分别是

AC

和

BC

的中点，所以CD＝𝟏𝟐AC＝𝒂𝟐cm，CE＝𝟏𝟐BC＝𝟏𝟐−𝒂𝟐cm.所以DE＝CD＋CE＝6cm.所以不论a取何值(a不超过12cm)，DE的长不变.234567818.

刘星对几何中的角平分线兴趣浓厚，请你和他一起探究下

面的问题.已知∠

AOB

＝100°，射线

OE

，

OF

分别是

∠

AOC

和∠

COB

的平分线.23456781(1)如图①，若射线

OC

在∠

AOB

的内部，且∠

AOC

＝

30°，求∠

EOF

的度数；解：(1)因为∠

AOB

＝100°，∠

AOC

＝30°，所以∠

BOC

＝∠

AOB

－∠

AOC

＝70°.因为射线

OE

，

OF

分别是∠

AOC

和∠

COB

的平

分线，23456781所以∠EOC＝𝟏𝟐∠AOC＝15°，∠FOC＝

𝟏𝟐∠BOC＝35°.所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝15°＋35°＝

50°.23456781(2)如图②，若射线

OC

在∠

AOB

的内部绕点

O

旋转，求

∠

EOF

的度数；解：(2)因为射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的

平分线，所以∠EOC＝𝟏𝟐∠AOC，∠FOC＝𝟏𝟐∠BOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝𝟏𝟐(∠AOC＋

∠BOC)＝𝟏𝟐∠AOB＝𝟏𝟐×100°＝50°.23456781(3)若射线

OC

在∠

AOB

的外部绕点

O

旋转(旋转过程中

∠

AOC

，∠

BOC

均小于180°)，其余条件不变，请借助

图③探究∠

EOF

的大小.23456781解：(3)①当射线OE，OF只有1条在∠AOB的外部

时，如图①，则∠EOF＝∠FOC－∠