应用基础数值 5

应用数值分析第九讲非线性方程（组）求根（二）2常用的迭代法（2）

34教学小结提纲非线性方程组的求根1问题引入教学目标与重难点教学目标能运用Newton迭代法几种不同改进方法、非线性方程组求根解法解决相关问题。能解释Newton迭代法几种不同改进方法的原理。

1.能说出Newton迭代法几种不同改进的定义及解题步骤；2.能说出非线性方程组求根解法的定义及解题步骤；

3.能解释Newton迭代法几种不同改进方法的原理。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入上次课学习的Newton法，Newton法是极为有效的方法，其突出的优点是收敛速度快，但它有明显的缺点，即每一步迭代需要计算函数f(x)

的导数值，如果函数f(x)本身就比较复杂，那么计算导数值就很困了，甚至在某些近似值

处，

的值很小，使迭代过程无法进行下去。二常用的迭代法（2）二、常用的迭代法2.简化Newton方法

在应用Newton迭代格式时，很难计算的，甚至在某些近似值处，导数的值很小，使迭代过程无法进行下去。可采用简化Newton法其中C为一常数，常取，有迭代格式二、常用的迭代法其几何意义为用过点且平行于处切线的直线与x

轴交点的横坐标作为。简化Newton只具有超线性收敛性。3.Newton下山法在Newton法中，若函数表达式比较复杂，初值选取比较困难时，为扩大初值的选取范围，可采用迭代格式二、常用的迭代法其中参数选取为且满足下山条件称该迭代格式为Newton下山法，称为下山因子，下山因子的选取常用逐步搜索法，即先取判断下山条件是否成立，若不成立则将缩小倍，直到下山条成立为止

分别取初值，用Newton法求解方程例1二、常用的迭代法计算结果如表所示令，在迭代格式为k01.50.611.347826117.921.325200431.3247182解MATLAB:exp1.m二、常用的迭代法由表中的结果可知，取初值为0.6时的迭代序列不收敛，现对初值使用Newton下山法，从开始逐次搜索当时，有

继续使用Newton下山法有

4.割线法在Newton迭代公式中，用差商近似代替微商有迭代格式该迭代格式称为割线法.二、常用的迭代法其几何意义如图所示的割线与x

轴交点的横坐标作为xk+1，割线法也称为弦截法，它是多步方法，具有超线性收敛性。用连接点二、常用的迭代法在应用中，当序列接近收敛时，由于它们作减法运算时将会损失有效数字，使计算产生很大的误差，所以实用中常令都是相近的数，此时割线法的迭代格式可改写为随着迭代过程的进行,的值将不断地减少，当的值在增加时，停止计算。也即割线法的精度是固定的，一般不能达到预先设定的精度。但割线法不需计算导数，所以割线法也是一种应用相当广泛的非线性方程的求根方法。二、常用的迭代法例2用割线法求解方程f(x)=x3+x-1。应用割线法迭代公式得≈-0.20048899756解取%Example2eps=1e-8;N=300;x0=-0.7;x1=2;f=@(x)(x^3+x-1);Hfun=@Secant;[k,x,f_value]=feval(Hfun,f,x0,x1,eps,N)x11

≈0.6823三非线性方程组的求根三、非线性方程组的求根设有非线性方程组令

方程组可写成向量形式

有非线性方程组三、非线性方程组的求根其解的几何意义是xoy平面上直线与椭圆的交点。1.解非线性方程组的一般迭代法将方程组转化为等价的方程组写成向量形式为三、非线性方程组的求根其中,构造迭代格式向量形式迭代格式为

选取初始迭代向量，按迭代格式计算，产生向量序列{}若向量序列{}收敛，且迭代函数则向量序列{}收敛于方程组的解。连续。三、非线性方程组的求根称矩阵

为迭代函数g(x)的Jacobi矩阵。定理1

设①为的解②在附近具有连续的偏导数③则对任意初始向量，由产生的序列{}收敛于根。三、非线性方程组的求根2.解非线性方程组的Gauss－Seidel迭代法

在简单迭代格式中，用已经计算出的最新分量就得到Gauss－Seidel迭代法。第i个分量的计算公式为代替

例3

分别用一般迭代法和Gauss－Seidel迭代法，解方程组三、非线性方程组的求根解①简单迭代法的迭代格式为

取初值，计算结果如下表所示00.10.1-0.110.499983330.00944115-0.523101270.42320.499995930.00002557-0.523363319.4×10-330.500000000.00001234-0.523598142.3×10-440.500000000.00000003-0.523598471.2×10-550.500000000.00000002-0.523598773.1×10-7

三、非线性方程组的求根

%Example31clc;clearall;eps=1e-6;N=300;x0=[0.1,0.1,-0.1]';G=@(x)([1/3*cos(x(2)*x(3))+1/6;1/9*sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)-0.1;-1/20*exp(-x(1)*x(2))-(10*pi-3)/60]);Hfun=@SNLE_Jacobi;[k,x]=feval(Hfun,G,x0,eps,N)%Example32clc;clearall;eps=1e-6;N=300;x0=[0.1,0.1,-0.1]';G1=@(x)(1/3*cos(x(2)*x(3))+1/6);G2=@(x)(1/9*sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)-0.1);G3=@(x)(-1/20*exp(-x(1)*x(2))-(10*pi-3)/60);Hfun=@SNLE_Gauss_Seidel;[k,x]=feval(Hfun,G1,G2,G3,x0,eps,N)三、非线性方程组的求根②Gauss－Seidel迭代的迭代格式为

计算结果如下表所示

00.10.1-0.110.499983330.0222979-0.523046130.42320.499977470.00002815-0.523598072.4×10-230.500000000.00000003-0.523598772.8×10-540.500000000.00000000-0.523598773.8×10-8准确解为

三、非线性方程组的求根3.解非线性方程组的Newton法函数构成的Jacobi矩阵记为将处进行Taylor展开有三、非线性方程组的求根略去无穷小量，并写成向量形式有若则有称之为Newton公式

定理2设非线性方程组满足以下条件

①函数在解附近连续可微。②Jacobi矩阵非奇异，即

则当初值充分接近于时，Newton迭代格式产生的序列收敛于，且具有二阶的收敛性。三、非线性方程组的求根例4

用Newton法求解例3的非线性方程组

解方程组的Jacobi矩阵为

仍取初值，计算结果如下表所示00.10.1-0.110.500037020.01946686-0.521520470.42220.500045930.0158859-0.5235577111.79×10-230.500000340.00001244-0.523598451.58×10-340.500000000.00000000-0.523598771.24×10-5三、非线性方程组的求根%Example4eps=1e-6;N=300;x0=[0.1,0.1,-0.1]';F=@(x)([3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3]);DF=@(x)([3x(3)*sin(x(2)*x(3))x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3));-x(2)*exp(-x(1)*x(2))-x(1)*exp(-x(1)*x(2))20]);Hfun=@SNLE_Newton;[k,x]=feval(Hfun,F,DF,x0,eps,N)三、非线性方程组的求根应用中，为更好地使用Newton法求解非线性方程组，可采用以下的改进方法

①为避免求Jacobi矩阵的逆矩阵，令终止的条件为②为避免求导运算，可用差商近似代替微商

通过解*式的方程组，并由第三式的迭代格式，产生序列。判别迭代三、非线性方程组的求根③简化Newton方法④松驰Newton法其中松驰因子的选取是使在范数意义下有一般来说松驰因子的引入将会使方法的收敛速度变慢，但在一定的程度上将会放宽收敛性对初值的要求。三、非线性方程组的求根其中阻尼因子选取是使矩阵非奇异并满足⑥松驰阻尼Newton法其迭代格式为⑤阻尼Newton法当