应用基础数值 10

应用数值分析第四讲线性方程组的直接解法（二）2追赶法

34教学小结提纲范数与矩阵的条件数（1）1平方根法教学目标与重难点教学目标能运用平方根法与追赶法，误差的来源及对策。实际问题中，误差的传播。

1.能说出算法的各种表述形式，以及算法的基本特点；2.能说出误差的来源，能解释及运用误差的概念；

3.能列举数值计算时需要注意的问题。教学重点教学难点一平方根法一、平方根法取1.矩阵的LDU分解由Doolittle分解A=LU*的分解过程知定理1

若矩阵A的各阶顺序主子式不等于零，则矩阵A可以唯一分解为

A=LDU其中L是单位下三角阵，U是单位上三角阵，D是对角阵。方程组Ax=b中，系数矩阵A是对称正定矩阵，则三角分解法还可以简化。证一、平方根法记于是则方程组的求解可改写为一、平方根法2.Cholesky分解由于A对称正定，所以A各阶顺序主子式大于0。L1DU1=A=AT=U1TDL1T由L1DU1分解的唯一性有

A=L1DL1T所以L1Tyi=ei必有非零解yi

≠0。定理2

设A对称正定矩阵，则存在三角分解A=LLT，其中L是非奇异下三角矩阵，且当限定L的对角元素为正时，分解是唯一的。证L1=U1T,U1=L1T有下证D的对角元素为正因为|L1|=1≠0一、平方根法这是一个二次型，由A对称正定知di>0(i=1,2,…,n)。由证明过程容易看出是唯一的。形如的分解称为对称正定矩阵的Cholesky分解。一、平方根法3.平方根法和改进的平方根法设由矩阵乘法公式可得①假设已经计算出了L的前k-1列（1≤k≤n)由（１）平方根法由于r>k时，lkr=0得一、平方根法②③Ax=b可化为一、平方根法解Ly=b解LTx=y平方根法的计算量是n3/6左右，只是高斯消元法的一半，显然这是因为只计算L不算U的缘故。④⑤一、平方根法例1用平方根法程序chol_pfgf.m解下列方程组解

编写如下m文件调用函数chol_pfgf.m,并运行。clearall,clcA=[42-402400;22-1-21320;-4-1141-8-356;0-216-1-4-33;21-8-1224-10-3;43-3-44111-4;025-3-101142;0063-3-4219],b=[0-620239-22-1545][L,x]=chol_pfgf(A,b)一、平方根法（２）改进的平方根法设改进的平方根法计算量仍约为但回避了开平方运算.二追赶法二、追赶法设有三对角方程组(1)|b1|>|c1|>0，|bn|>|an|>0(2)|bi|≥|ai|+|ci|，aici≠0,i=2,3,…,n-1.其中|i-j|>1时，aij=0，且满足如下的对角占优的条件二、追赶法由Crout分解，设记为其中二、追赶法解方程组而且，真正需要计算的是，而可以由产生。由此得追赶法的计算公式2)解Ly=d1)计算二、追赶法3)解Ux=y三次样条插值，常微分方程的边值问题等都将归结为系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组求解问题。追赶法的计算量很小，只有5(n-1)次乘除法，而且追赶法的计算也不需要选主元。例2

用追赶法程序Forward_Backward.m解下列三对角方程组二、追赶法解

编写如下m文件调用函数Forward_Backward.m,并运行。clearall,clca=-ones(5,1),d=2*ones(5,1),c=-ones(5,1);c(4)=1,b=zeros(5,1);b(1)=1,x=Forward_Backward(a,b,c,d)计算结果：x=0.78570.57140.35710.14290.0714三范数与矩阵的条件数（1）三、范数与矩阵的条件数定义1

若对Rn中的任意一向量x，均对应一个实数‖x‖,满足1）非负性2)齐次性3)三角不等式则称实数‖x‖为向量x的范数。1.范数（１）向量范数三、范数与矩阵的条件数设x=(x1,x2,…,xn)T

常用的向量范数有n维向量的范数概念是向量长度的推广。实数的绝对值，复数的模，三维向量的模都满足以上三条。容易验证，满足向量范数定义的三个条件。三、范数与矩阵的条件数例3

设x=(1,0.5,0,-0.3)T,求定义2

若对Rn中的任意两个向量x，y，均对应一个实数(x,y)，满足1）非负性2）对称性3）齐次性解4）分配律三、范数与矩阵的条件数定义3

若对任意的n阶方阵A，均对应于一个实数‖A‖,满足1）非负性2)齐次性3)三角不等式（２）矩阵范数4)乘法不等式(相容性）则称为矩阵A的范数。则称实数(x,y)为向量x,y的内积。常见的内积为三、范数与矩阵的条件数定义4

对于给定的向量范数‖x‖和矩阵范数‖A‖,若则称向量范数‖x‖与矩阵范数‖A‖是相容的。定义5称为由向量范数诱导出的矩阵范数。也称为从属于向量范数的矩阵范数。（λ1是ATA的最大特征值）常见的由向量范数诱导出的矩阵范数（最大列和范数）（最大行和范数）三、范数与矩阵的条件数定义6

若对给定的两种范数‖•‖α

，‖•‖β有

m‖•‖α

≤‖•‖β

≤M‖•‖α定理3

1)Rn

中任何两种向量范数均等价。2)Rn×n中任何两种矩阵范数均等价。其中的m,M是正的常数,则称‖•‖α

与‖•‖β等价。定理4则称向量序列收敛于向量定义7

若向量序列满足记为四内