应用基础数值 12

应用数值分析第十三讲函数逼近和数据拟合（一）2逼近的概念

34教学小结提纲最佳平方逼近1问题引入教学目标与重难点教学目标运用最佳平方逼近多项式解决相关问题。最佳平方逼近多项式的解题步骤。

1.能说出函数逼近、最佳平方逼近的定义；2.能说出最佳平方逼近多项式的解题步骤；3.能运用正交函数系最佳平方逼近解决相关问题的能力。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入

二逼近的概念二、逼近的概念定义1

设函数满足则称为区间[a,b]上的权函数。定义2

设，为[a,b]上的权函数，称为函数f(x),g(x)在[a,b]上带权函数的内积。二、逼近的概念定义3

f(x)在C[a,b]上的范数定义为性质

1)Cauchy-Schwartz不等式2)若f与g正交，则定义4

若(f,g)=0，则称f(x),g(x)在[a,b]上带权正交，记为二、逼近的概念定义5

若函数系满足则称是区间[a,b]上带权的正交函数系。是上带权的正交函数系。定义6

设是线性赋范空间，是的一个子集，若对中给定的函数f，在中存在一函数，使则称是中对f的最佳逼近函数。如二、逼近的概念若，则称是中对f的最佳一致逼近函数。若，则称是中对f的最佳平方逼近函数。定理1

函数系在区间[a,b]上线性无关的充分必要条件是Gram行列式，其中三最佳平方逼近二、最佳平方逼近1.函数的最佳平方逼近为了计算的方便，将定义6中的最佳平方逼近改为，设若存在使则称是在中的最佳平方逼近函数。定理1

在中的最佳平方逼近函数存在且唯一二、最佳平方逼近证令，定义m+1元函数由多元函数的极值的必要条件知，在最小值点处有即故有则把上式写成方程组，称之为法方程(正则方程，正规方程）二、最佳平方逼近由于线性无关，故方程组(12.2)的系数行列式不等于0。由Cramer法则，方程组(12.2)存在唯一的一组解故有由方程组（12.1）有二、最佳平方逼近故余项2.最佳平方逼近多项式取则逼近函数为多项式二、最佳平方逼近其中此时，法方程的系数矩阵为Hilbert矩阵例1

设，求f(x)在[0,1]上的最佳二次平方逼近多项式。二、最佳平方逼近解法方程为解之,有最佳二次平方逼近多项式为余项二、最佳平方逼近%Example1clc;clear;f='exp(x)',a=0;b=1;n=2;[dxs,yuxiang]=pfbijin(a,b,n,f)x=0:0.02:1;y1=exp(x);dxs=sym2poly(dxs);%dxs=0.8392*x.^2+0.8511*x+1.013y2=polyval(dxs,x);plot(x,y1,'r',x,y2,'b*')运行结果：dxs=0.8392*x^2+0.8511*x+1.013yuxiang=2.7829e-05二、最佳平方逼近中的最佳平方逼近函数。解

1)令则有例2

在[-1,1]上,分别求函数在和二、最佳平方逼近法方程为解之有最佳平方逼近函数为误差为2)令则有二、最佳平方逼近则有法方程组为二、最佳平方逼近解之有最佳平方逼近为误差为3.以正交函数系作最佳平方逼近求最佳平方逼近函数即求解法方程组（12.2），但当需增加一项时，法方程组的系数矩阵将增加一行、一列，右端向量也将增加一项，成为二、最佳平方逼近法方程(12.3)的解中前m+1个值与方程(12.2)中的解一般来说是不相同的。当进行[0,1]上的最佳平方多项式逼近时，法方程系数矩阵是Hilbert矩阵。由于Hilbert矩阵是病态矩阵，所以求解法方程将会产生很大的误差。为了克服以上两个缺点，我们进行正交函数系逼近。二、最佳平方逼近当是[a,b]上的正交函数系时，由于故法方程(12.2)的系数矩阵是对角型矩阵方程组的解为最佳平方逼近函数为当需要增加一项时，法方程只在原方程组的基础上增加一个方程二、最佳平方逼近最佳平方逼近函数也只须增加一项即可。此时的最佳平方逼近函数为所以正交函数逼近时，既能克服法方程的病态性质，又能在增加逼近函数的项时，充分利用原有数据结果，工程应用是非常方便的。作最佳平方逼近。由Legendre多项式在[－1,1]上的正交性，就可以考虑利用Legendre多项式时，二、最佳平方逼近其中平方误差为若，对区间[a,b]上带权的最佳平方逼近多项式,，令作变换到f(x)在[a,b]上带权的最佳平方逼近多项式在[-1,1]上用Legendre多项式作的最佳平方逼近多项式从而得二、最佳平方逼近此时有则有例3

求在[0,1]上的最佳二次平方逼近多项式解

令二、最佳平方逼近由得f(x)的最佳二次平方逼近多项式为同理可以利用其他的正交多项式在其定义区间和相应权函数下的正交多项式做最佳平方逼近。故所求最佳二次平方逼近多项式为四内容小结四、内容小结（1）函数的最佳平方逼近（2）最佳平方逼近多项