河北省唐山市2027届高三上学期摸底演练数学试卷（含答案）

2026—2027学年度高三年级摸底演练数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．2 B． C． D．2．双曲线的离心率为A．1 B． C． D．23．集合，，则A． B． C． D．4．向量，的夹角为，，，则A． B． C．3 D．75．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在上，，则A． B． C．2 D．46．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为A．4 B．6 C． D．7．点的横、纵坐标都是正整数，且，则满足条件的点个数为A．12 B．10 C．9 D．88．下列函数在区间上存在零点的是A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．圆：，圆：，则下列说法正确的有A．圆的半径为2B．C．直线与两圆都相切D．两圆公共弦所在直线的方程为10．的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则A． B．C．当时， D．当时，11．设函数，则A．的最小正周期为 B．的图象存在对称中心C．的图象存在对称轴 D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则________．13．已知随机变量服从正态分布，且，则________．14．四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．16．（15分）数列满足，，数列满足，．（1）求，的通项公式；（2）设为的前项和，令，求数列的最大项．17．（15分）一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数．（1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析．18．（17分）已知，在椭圆：上，为椭圆上一动点，当为的右顶点时，直线，的斜率之和为2．（1）求椭圆的方程；（2）当点在第一象限时，（ⅰ）求到直线的距离的最大值及对应的点的坐标；（ⅱ）证明：的最大值为8．19．（17分）一般地，如果在函数中，给定值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应，则可由解出关于的表达式，这时是的函数，这个函数称为的反函数，记作，此时称存在反函数．为符合我们习惯用表示自变量的书写形式，常将反函数表达式中的与互换，记作．例如，是增函数，因此任意给定一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数．对调中的和得，解得，因此的反函数是．（1）若，求；（2）若，判断是否存在反函数，请说明理由；（3）若存在反函数，求的取值范围．

2026—2027学年度高三年级摸底演练数学参考答案一、选择题：1—4．CBDA5—8．CCAD二、选择题：9．AC10．ABC11．BD三、填空题：12．313．614．四、解答题：15．解：（1）证明：因为，分别是，的中点，所以， 2分又因为平面，平面，所以平面． 4分（2）由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则得取． 8分因为平面，所以为平面的一个法向量． 9分设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为． 13分16．解：（1）由，，得是以为首项，2为公差的等差数列，所以． 3分由，，得是以为首项，为公比的等比数列，所以． 6分（2）， 8分，， 11分所以当时，；当时，．由此可得，数列的最大项为． 15分17．解：（1）甲有放回抽取，每次抽到黄球的概率为，随机变量． 1分所以，，1，2，3．逐一计算并列表如下：0123 3分所以，． 5分（2）乙不放回抽取，随机变量服从超几何分布．，，1，2，3． 6分逐一计算并列表如下：0123 8分因为服从超几何分布，所以，，． 10分（3），二者数学期望相同；，有放回抽取的方差大于不放回抽取的方差． 12分下面结合分布列的数据分析说明方差不同的原因．①两端概率：，，这意味着有放回抽取更容易出现“极端情况”（全黄球或全白球）．②中间概率：，，说明不放回抽取的结果更集中在均值1.2附近．③本质原因：不放回抽取，总体有限，各次抽取不独立．若前面抽到黄球，剩余再抽到黄球的概率降低，反之亦然．这就抑制了极端值的出现，使得数据分布相对更集中，方差更小． 15分18．解：（1）当M为C的右顶点时，点M的坐标为，所以，解得， 2分由在椭圆：上，得，解得， 4分所以椭圆C的方程为． 5分（2）（ⅰ）直线的方程为， 7分设与直线平行的直线l的方程为，， 8分联立l与椭圆C的方程，消去x，得，，由得， 9分此时直线l与直线的距离d为M到直线的距离的最大值，， 10分此时点M的坐标为． 11分（ⅱ）证明：设点M的坐标为，则．要证，即证，只需证，即证，只需证，即证，又因为，即证，即证，当且仅当时，等号成立，即．所以，即点的坐标为时，的最大值为． 17分19．解：（1）令，解得，因此． 3分（2）不存在反函数， 5分理由是：当时，解得，与反函数定义中“对于值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应”矛盾． 7分（3）因为在定义域内连续可导，且存在反函数，所以为单调函数，依据和的增长差异，可知在上为单调递增函数，恒成立