吉林省第二实验高新学校2026-2027学年九年级（上）开学数学试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年吉林省第二实验高新学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在-3、、0、这四个数中，最小的数为（）A.-3 B. C.0 D.2.一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（）A.

B.

C.

D.3.如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A.平移

B.轴对称

C.旋转

D.位似

4.下列运算正确的是（）A.x2+x3=x5 B.（x2）3=x5 C.2x2-x2=x2 D.x2•x3=x65.四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化.当△ACD为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A.2

B.3

C.4

D.56.如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠BCA=90°，∠BAC=α，BC=h,则AB的长为（）

A. B. C.hsinα D.hcosα7.如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（）

A. B.

C. D.8.已知A（3，2），B（x1，y1），C（x2，y2）都在反比例函数的图象上，其中x1＜x2＜0，则下面结论正确的是（）A.0＜y2＜y1 B.0＜y1＜y2 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.单项式-4xy2的次数是

.10.计算：÷=

．11.若抛物线y=x2-2x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的值可以是

.（写出一个即可）12.如图，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE.若AC=4，BC=7，则△ACD的周长为

.

13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（-3，0），若y随x的增大而减小，则x的取值范围是

.

14.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①2a+b=0；②9a+c＞3b；③若点A（-3，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程ax2+bx+c=-3（a≠0）的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜3＜x2.其中正确的结论是

.

三、计算题：本大题共1小题，共7分。15.先化简，再求值（x-2y）2+（x+y）（y-x），其中x=-1，.四、解答题：本题共9小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

已知抛物线y=x2-4x+c的顶点A在直线y=-4x-1上，求抛物线的顶点坐标.17.(本小题7分)

为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球.已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元.求排球的单价.18.(本小题7分)

如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点.

（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；

（2）若DG⊥BH，BD=3，EF=2，求BH的长.19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC，点C在格点上.

（1）在图①中，ABC的面积为；

（2）在图②中，ABC的面积为5；

（3）在图③中，ABC是面积为的钝角三角形.

20.(本小题7分)

已知函数y=x2-2kx+k2+1．

（1）求证：不论k取何值，函数y＞0；

（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标．21.(本小题7分)

妍妍和佳佳上山游玩，已知佳佳先上山，匀速步行到达小憩屋，休息片刻后继续按原速度前行.佳佳出发一段时间后，妍妍骑电动车按照相同的路线追赶佳佳，两人都到达了山顶.图中l1，l2分别表示佳佳和妍妍离开山脚的距离y（m）与上山所用时间x（min）之间的函数关系（从佳佳上山时开始计时）.根据图象解决下列问题：

（1）妍妍出发______分钟追上佳佳；

（2）求l2所在直线对应的函数表达式；

（3）妍妍比佳佳早______分钟到达山顶.22.(本小题7分)

【问题呈现】

小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是边AC的中点，连结BD，点E是边BC上一点，CE：BE=1：2，连结AE交BD于点M，求的值.

【问题分析】

小明发现：如图②，过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点N，通过证明△AMN∽△EMB，根据相似三角形的性质进而解决上述几何问题.

【问题解决】

（1）下面是小明解决这个问题的部分过程，

解：过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点N.

∵点D是边AC的中点，

∴AD=CD，

∵AN∥BC，

∴∠N=∠CBD，

又∵∠ADN=∠CDB，

∴△AND≌△CBD，

请你补全余下的解题过程.

【深入研究】

（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AC上一点，连结BD，点E是BC延长线上一点，连结AE交BD的延长线于点M，其中AD：CD=1：2，CE：BC=1：3.

（i）的值为______；

（ii）当AC=BC，CE=1时，BM=______.

23.(本小题7分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=16．点P在射线AC上（且不与A、C重合），作PQ=PA交射线AB于点Q(1)AB的长为

(2)当点Q与点B重合时，AP的长为

(3)连接QC，当tan∠QCB=时，求BQ的长(4)将线段PQ绕点Q逆时针旋转90°得到线段QM，以P、Q、M为顶点构造正方形PQMN，当正方形PQMN的一边中点落在边BC上时，直接写出此时线段AP的长24.(本小题15分)

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线y=x2+bx-3的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点P在此抛物线上，设点P的横坐标为m.

（1）b=______，抛物线的顶点坐标为______；

（2）当点P在第三象限时，求m的取值范围；

（3）若点P在x轴下方，当点P到x轴距离是到y轴距离2倍时，求m的值；

（4）点Q在x轴上，且横坐标为1-4m,当PQ所在直线不与坐标轴垂直时，以PQ为对角线作矩形PMQN，边QM在x轴上，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是______，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是______.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】3

10.【答案】4

11.【答案】2（大于1即可）

12.【答案】11

13.【答案】x＞-1

14.【答案】①③④

15.【答案】解：原式=x2-4xy+4y2+（y2-x2）

=x2-4xy+4y2+y2-x2

=-4xy+5y2，

当x=-1，时，

原式=-4xy+5y2

=

=．

16.【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为，，

∴A（2，c-4），

由条件可知c-4=-8-1=-9，

∴A（2，-9）．

17.【答案】解：设排球的单价是x元，则足球的单价是（x+15）元，

根据题意得：=，

解得：x=65，

经检验，x=65是所列方程的解，且符合题意，

答：排球的单价是65元．

18.【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，

∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，

∴DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，

∴DE∥GF，DE=GF，

∴四边形DEFG为平行四边形；

（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，

∴DG=EF=2，

∵DG⊥BH，

∴∠DGB=90°，

∴BG===，

∵G为BH中点，

即线段BH的长度为2．

19.【答案】解：如图：

（1）如图①：ABC即为所求；

（2）如图②：ABC即为所求；

（3）如图③：ABC即为所求．

20.【答案】（1）证明：∵y=x2-2kx+k2+1=（x-k）2+1，

∴不论k取何值，（x-k）2+1≥1，

即不论k取何值，函数y＞0．

（2）解：∵二次函数图象与y轴交于点（0，10），

∴当x=0时，y=10，

∴k2+1=10，解得k=±3，

∴y=x2±6x+10=（x±3）2+1，

∴顶点坐标为（3，1）或（-3，1）．

21.【答案】（1）6；

（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），

将（15，0），（21，1800）代入y=kx+b得：，

解得：，

∴l2所在直线对应的函数表达式为y=300x-4500；

（3）8．

22.【答案】；

（i）；

（ii）．

23.【答案】【小题1】20【小题2】12.5【小题3】如图2，∠ACB=90°，当Q在线段AB上时，过Q作QT⊥BC于T，则∠BTQ=90°，

∴QT∥AC，

∴△ABC∽△QBT，

∴，

∵，

∴，

设QT=2x,则CT=3x,

∵BC=12，

∴BT=BC-CT=12-3x,

∵AC=16，

∴，

解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），

∴，

由（1）得：AB=20，

∴，

解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；

如图3，∠ACB=90°，当Q在线段AB的延长线上时，过Q作QT⊥CB交CB延长线于T，则∠BTQ=90°，

∴QT∥AC，

∴△ABC∽△QBT，

∴，

∵，

∴，

设QT=2x,则CT=3x,

∵BC=12，

∴BT=CT-BC=3x-12，

∵AC=16，

∴，

解得：x=8（经检验，是分式方程的解，且符合题意），

∴QT=16，

由（1）得：AB=20，

∴，

解得：BQ=20（经检验，是分式方程的解，且符合题意），

综上所述，当时，BQ的长为或20【小题4】或或．理由如下：

如图4、图5，记正方形PQMN的边PQ，QM，MN的中点分别为L，J，I，当I在BC上时，过P作PK⊥AB于K，过Q作QT⊥BC于T，过Q作QG⊥AC于G，记BC，QM的交点为O，则∠QGC=∠QTC=∠ACB=90°，

∴四边形QGCT为矩形，

∴QG=CT，QT=CG，

当I落在BC上时，如图4，

设正方形PQMN的边长为10m,

∴PA=PQ=10m,

∵PK⊥AB，

∴，

∴PK=6m,

在直角三角形APK中，由勾股定理得：，

∴AQ=16m,BQ=20-16m,

同理：，，

∴，，

∴，

∵QT∥AC，

∴∠BQT=∠A，

同理可得：，

∴，

∵∠OQT+∠OQG=90°=∠OQG+∠PQG，

∴∠TQO=∠PQG，

∴，

∴，

∵I为MN的中点，

∴NI=MI=5m,

∵∠IOM=∠QOT，∠QTO=∠M=90°，

∴∠OIM=∠TQO=∠PQG，

同理可