人教版（2024）新教材八年级数学上册 全册教案

13.1三角形的概念1.通过具体实例带领学生认识三角形的边、角、顶点等相关概念及表示，2.让学生掌握三角形的两种分类方法.教学重点教学难点1设计意图三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中形如三角形的物体吗?对于三角形，你了解哪些方面的知识?你能画一个三角形吗?境，激发探究新知定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.构成：(1)三角形的边：组成三角形的线段，如图，线段AB,BC,CA是三角形的边；(2)三角形的顶点：相邻两边的公共顶点，如图，点A,B,C是三角形的顶点；(3)三角形的角：相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，如图，∠A,∠B,∠C三角形的角.让学生了的定义及表示：顶点是A,B,C的三角形，记作△ABC,读作“三角形ABC”.△ABC的三边有时候也会用a,b,c表示.如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点问题1:按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类?通过学生的讨论交流，进一步培养学生的归纳概括能力问题2:按照三角形边的相等关系，三角形可以分为哪几类?答：按照三角形边的相等关系分类，如图所示.角形有两条边相等的三角形三角形等边三角形等腰三角形A硕角底角C等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.三角形按边的相等关系分类：不相等(1)图中的三角形有几个?用符号表示出这些三角形.(2)以AB为边的三角形有哪些?(3)以E为顶点的三角形有哪些?题，让学生进一步掌握三角形的定义念(1)写出以点C为顶点的三角形；(2)写出以AB为边的三角形；(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.(2)以AB为边的三角形是△ABC,△ABD;(3)等腰三角形是△ABD,△ADC;等边三角形是△ADC.【变式训练】下列说法正确的有()①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.A.①②B.①③④C.③④D.①②④题，让学生掌握三角形的分类随堂检测1.下面是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.2.关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则()A.甲、乙两种分法均正确锐角三角形直角三角形角形3.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按照角的大小来分类，其中不能判断三角形类型的是()4.如图，D是△ABC的边BC上一点，则在△ABC中，∠C所对的边是;在△ACD中，∠C所对的边是;在△ABD中，边AD所对的角是;这节课我们都学了哪些内容?1.三角形的定义及相关概念2.三角形的分类：(1)按角分；(2)按边分，教师提问并引导学生总结归纳三角形的相关概念及分类13.2与三角形有关的线段13.2.1三角形的边13.2.1三角形的边角形.2.通过实践活动，引导学生进一步掌握三角形的稳定性.题的能力.从而体验到数学与日常生活的密切联系.教学重点三角形的三边关系教学难点三角形的三边关系新授课1设计意图问题1:任意画一个△ABC,从点B出发，沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择?各条线路的长有什么关系?践，激发学生兴趣探究新知答：路线1:从点B到点A,再从点A到点C,长度：BA+AC.路线2:从点B直接到点C,长度：BC.【思考】BA+AC和BC的大小关系如何?问题2:从点C出发，沿三角形的边到点A,该怎么走?路线2:从点C直接到点A,长度：CA.【思考】CB+BA和CA的大小关系如何?引导学生通过动手操作、讨的合作意识与沟通能力，并能从中发论，培养问题3:从点A出发，沿三角形的边到点B,该怎么走?答：路线1:从点A到点C,再从点C到点B,长度：AC+CB.路线2:从点A直接到点B,长度：AB.【思考】AC+CB和AB的大小关系如何?你能得出什么结论?1.三角形两边的和大于第三边；2.三角形两边的差小于第三边.于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形?线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.然后扭动它，它的形状会改变吗?学生的归纳总结能(2)四边形木架上再钉一根木条，将四边形的一还会改变吗?为什么?发现：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.形具有稳定性，所以四边形木架的形状不会改变.定了，这就是三角形的稳定性.常在图形中构造三角形.举出一些现实生活的中应用了三角形稳定性的例子吗?(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?为什么?x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以三角形三边的长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.①如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm,则4+2x=18.解得x=7.②如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm,则2×4+x=18.解得x=10.因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是通过两个问题的讲解，向学生灌输方程思想和分类讨论的思想方4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形，关系，不满足的要舍去，防止多解.【变式训练】如果等腰三角形的两边长分别是4cm,6cm,那么该等腰三角形的周长是多少?符合三角形的三边关系，所以该三角形的周长为4+4+6=14(cm)若腰长为6cm,则该等腰三角形的三边分比为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系，所以该三角形的周长为4+6+6=16(cm),综上，该等腰三角形的周长为14cm或16cm.框上斜钉一根木条，你能用数学的知识解释一下吗?随堂检测1.下列长度的三条线段，能够组成三角形的是().A.3,4,8B.5,6,11C.4,4,9D.5,6,10答案：D的是(),答案：D3.三角形的三边长分别是5,8,x,则第三边长x取值范围是测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.A.3<x<8B.5<x<13C.3<x<13D.8<x<134.下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是()5.等腰三角形的两条边的长分别为4和9,则这个三角形的腰长是多少?底边长为多少?解：两边为4和9,当底边长为4时，腰长为9,另一腰长为9;当底边长为9时，腰长为4,另一腰长也为4,但4+4<9,故三角形不存在腰长为9,底边为4.所以这个三角形的腰长为9,底边长为4.1.三角形的三边关系；2.三角形具有稳定性.巩固所学知识，加深对本节课内容的理解.13.2与三角形有关的线段13.2.2三角形的中线、角平分线、高1.让学生掌握三角形中三条重要的线段的概念；2.让学生会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线；3.让学生了解三角形的三条高，三条中线，三条角平分线的定义和特征.教学重点三角形中三条重要的线段的概念及特征教学难点让学生会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线1设计意图复习垂线、线段中点、角平分线的定义线、线段中点、角平分线的定义，引的高，中线、角平分线定义图示定义图示线段中点把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，角平分线这条射线叫做这个角的平分线C当两条直线相交所成的四个角中，有一垂线个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂 探究新知定义：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.如图所示.【思考】你能找出△ABC的另两条边上的中线吗?的中线、线、高类习，有助于提高学生对这三个概念的交点叫作三角形的重心.【注意】重心一定在三角形内.认识和掌握，便于学生理解概念与性关系?如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，证明：△ABD和△ACD的面积相等.【解】如图，过点A作AE⊥BC,因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以所以△ABD的面积为△ACD的面积所以△ABD和△ACD的面积相等.【归纳】三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形定义：画△ABC的∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线.于三角形内一点.(1)定义：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高.记作AD⊥BC于点D.(2)三角形高的画法：用三角板过某一顶点向其对边或对边所在的直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高.【思考】(1)用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗?(2)用同样的方法，你能画出直角三角形和钝角三角形各条边上的高吗?答：(1)△ABC的另两条边上的高如图所示.(2)直角三角形和钝角三角形各边上的高如图所示.观察图形，不同三角形的三条高各有什么特点?的位置角形内部的交点角形内部重合，另一条高在的直角原点于三角形外一点【解】∵AD是BC边上的中线，∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB∵△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm,∴△ACD的周长为25-6=19(cm).AB=10,AC=8,D是BC的中点，连接AD,若△ACD的周长为20,则△ABD的周长是()【答案】ADD通过例题讲解加深学生对三角形的三条线段的理解，培养学生的实际应用能力.【答案】B边或对边延长线上.【变式训练】如图，在钝角三角形ABC中，CDZAB于点D,下列说法中，正确的是()【答案】B随堂检测1.以下说法错误的是()A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D.一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形3cm.△ABD的面积为acm²,(2)△ABD与△ACD的周长之差为cm.测，及时获知学生对所学知识的掌握通过这节课你有什么收获?1.三角形的中线的定义、画法及性质：三角形的中线将三角形分层面积相等的两个小三角形；2.三角形的角平分线的定义及画法3.三角形的高的定义及画法形成知识网络，加深理解.13.3三角形的内角13.3.1第1课时三角形的内角和13.3.1第1课时三角形的内角和1.让学生掌握三角形的内角和定理；2.理解三角形内角和定理的推导、验证过程，3.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题教学重点教学难点三角形内角和定理的证明及应用1师生活动设计意图你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗?下图给出了两种剪拼的方法.从这个操作心得中，你能发现证明的思路吗?兴趣，导探究新知如图，∠B,∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线1.想一想，直线1与△ABC的边BC有什么关系?由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗?答：从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线I与边BC是平让学生用角形的内角和定理行关系.已知△ABC,求证∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图，过点A作直线1,使得I//BC.∴∠2=∠4,(两直线平行，内错角相等)同理∠3=∠5.∵∠1,∠4,∠5组成平角，则∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换)【思考】你能想出来其他的证明方法吗?方法二证明：过点C作直线l,使得1//AB,延长BC.∵∠1,∠2,∠3构成平角，则∠ACB+∠A+∠B=180°.【拓展】作辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.知识点2用三角形内角和定理解决实际问题见例1、例2ABC的角平分线.求∠ADB的度数.【解】由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得在△ADB中，∠B=75°,50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度?【分析】A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB..【解】∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°,由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°,所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°让学生掌握利用三角形内角和定理求角的度数=90°.答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.随堂检测1.在△ABC中，∠C=90°,∠B=46°,则∠A的度数为()A.44°B.34°C.54°D.64°【答案】AA.20°B.30°C【答案】A3.如图，在△ABC中，∠ACB=68°,∠1=∠2,则∠BPC=.【答案】112°4.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD=30°,从B处观测C处时仰角∠CBD=45°.从C处观测A,B两处时视角∠ACB是多少?解：在团ACD中团CAD=30°,PD=90°.在围BCD中CBD=45°,2D=90°.②BACB=7ACD一BCD=60°-45°=15°测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.这节课你都学到了什么?巩固所学三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°应用知识，加深对三角形内角和定理的理13.3三角形的内角与外角13.3.1第2课时，直角三角形的性质与判定13.3.1第2课时直角三角形的性质与判定1.掌握直角三角形两锐角互余的性质；2.能够利用直角三角形两锐角互余这一性质求解直角三角形相关计算题；3.利用两锐角互余判定三角形是直角三角形.教学重点直角三角形的性质与判定教学难点1设计意图如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?答：30°+60°=90°,45°+45°=90°,两锐角的度数之和都为90°.引出直角三角形的性质.探究新知如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°,两锐角的和等于多少呢?解：在直角三角形ABC中，因为∠C=90°,由三角形内角和定理，得所以∠A+∠B=90°.思考：由此，你可以推断出直角三角形具有什么性质?【归纳】直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在△ABC中，如果∠C=90°,那么∠A+∠B=90°.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.引导学生推导直角三角形的两个锐角之间的关系，带领学生分析解决问题的思路和方法.不能单独使用.个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗?如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C=90°.即△ABC是直角三角形.几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形，角和定理求解.比较∠CAE与∠DBE的大小.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.【变式训练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列结论不一定成立的是()通过例题让学生体角形性质与判定的应用.为什么?解：在Rt△ABC中，∠2+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.【变式训练】如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠1=∠B.求证：△ABC是直角三角形.证明：∵AD⊥BC,∴△ABC是直角三角形.随堂检测1.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余角有()A.1个B.2个C.3个D.4个度数是()测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.3.给定下列条件，不能判断△ABC是直角三角形的是()什么关系?(2)如图2,∠B=∠D=90°,AD交BC于点O,∠A与∠C有什么关系?请说明理由.A解：(1)方法一(利用平行的判定和性质):方法二(利用直角三角形的性质):(2)∠A=∠C.理由如下：5.如图，CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C,△ABD是直角三角形吗?为什么?∴△ABD是直角三角形.通过这节课，你学到了什么?1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.巩固所学知识，加深对本节内容的理13.3三角形的内角与外角13.3.2三角形的外角1.让学生掌握三角形外角的概念；2.让学生掌握三角形的外角的性质；3.培养学生利用三角形的外角性质解决实际问题的能力.教学重点三角形外角的性质教学难点1设计意图复习；邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补),具有这种关系的两个角互为邻补角.邻补角的性质：∠1+∠2=180°.思考：如果延长△ABC的边AB至点D,那么该延长线BD与相邻回顾邻补角的概念及性质，导入三角形外角的定义和性的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢?探究新知三角形外角的定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠长线组成的角，叫作三角形的外角.①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边：③另一边是三角形中一边的延长线.【合作探究】(1)如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?(2)∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形的每个顶点处有多究，让学生理解三角形外角的定义.少个外角?(3)画出△ABC的所有外角，共有几个呢?答：(1)∠BCE是△ABC的一个外角，∠D外角.(2)∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE;在三角形每个顶点处都有两个外角。(3)每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A,∠B求出∠ACD吗?如果能，∠ACD与∠解：由三角形内角和定理，得∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.由平角的定义，得∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°,又∠A+∠B=70°+60°=130°,所以∠ACD=∠A+∠B.都有这种关系?已知：如图所示，△ABC中，D为BC延长线上一点.求证：∠ACD=∠A+∠B.方法二：角形外角的性质的多种方法拓展学生学生学习兴趣..【归纳】三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质):三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角.拓展：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，是△ABC的三个外角，它们的和是多少?不相邻的两个内角的和，得∠BAE=由∠1+∠2+∠3=180°,得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°题，让学生掌握三角形的外角和等于360°,同时让学生在从不同=360°.思考：你还有其他解法吗?解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①∴①+②+③,得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°.又∵∠1+∠2+∠3=180°归纳三角形的外角和等于360°.【变式训练】如图，∠a=125°,∠1=50°,则∠β的度数是所以∠2=∠a-∠1=125°-50°=75°,所以∠β=180°-∠2=105°.答案：105°角度解决问题的过程中，感受几何问策略多样随堂检测测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.3.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为答案：30°或75°4.如图，∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=.答案：120°5.如图，点D是△ABC的边BC上的一点，∠B=∠BAD=∠c,∠ADC=72°.试求∠DAC的度数.解：图∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=72°,图∠ADC=∠B+∠BAD,又图∠B=∠BAD,图LDAC=180°-∠ADC-∠C=180°-72°-36°=72°.通过这节课的学习，你有哪些收获?1.三角形外角的定义；2.三角形外角的性质.梳理本节课知识内容，加深学生对本节内容的理解.14.1全等三角形及其性质14.1全等三角形及其性质1.让学生熟记全等形及全等三角形的概念；能够正确找出全等三角形的对应2.让学生熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.(难点)3.初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关教学重点对应角.教学难点让学生熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.1设计意图形象，你能再举出一些类似的例子吗?2.国旗上4颗小五角星.3.同一张底片洗出的大小相同的两张照片.4.边长相等的两个正方形，5.同等面值的纸币.从学生熟悉的图形和例子引出全等形的概念探究新知全等形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.判断下列两组图形是不是全等形?有什么关系?2.△ABC与△DEF形状相同.3.△ABC与△DEF完全重合.没有发生变化，平移前后的图形是全等形.形之间有什么关系?2.△ABC与△DBC形状相同.3.△ABC与△DBC完全重合.没有发生变化，翻折前后的图形是全等形.学生进行讨论，各此过程中学生说的论、交流中，学生慢慢地纠正自己的受别人的法，这样能更加深与掌握找全等三角形的对应点、对应全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，对应角.点A与点D,点B与点E,点C与点EAB与DE,AC与DF,BC与EF.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”.△ABC≌△DEF,那么这两个全等三角形的对应边有什么关系?对应角呢?角形的对应角相等.几何语言：∵△ABC≌△DEF,(已知)∴AB=DE,AC=DF,BC=EF,(全等三角形的对应边相等)∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.(全等三角形的对应角余的对应角和各对对应边，通过例题让学生进一步掌握全等三角应顶点，∠CBE=65°,∠BCE=26°,BE,CD的延长线相交于点A.求∠ACE,∠A的度数.【解】∵△BCE≌△CBD,在△ABC中.∠E+∠ABC+∠ACB=180°,【变式训练】如图，在△ABC中，点D,E在BC上，△ABE≌△(1)若BE=6,DE=2,求BC的长；(2)若∠BAC=75°,∠BAD=30°,求∠DAE的度数.解：(1)∵△ABE≌△ACD,BE=6,∴CD=BE=6.即∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,∴∠BAD=∠CAE=30°.形的相关概念，让学生体会全等三角形的性质的应用.随堂检测773答案：B2.下列说法中，正确的有()合的图形是全等形；④大小相同的图形是全等形.答案：A3.如图，△ABC≌△ADE,若∠D=∠B,∠C=∠AED,则∠DAE=_;∠DAB=_,4.,如图，已知△ABD≌△CDB,AB=5cm,BD=8cm,DA=7cm,则BC的长是()答案：A5.已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1.若这两个三角形全等，则x等于()A.3B.4C.3D.3或答案：C测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提6.如图，△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长.解：∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∴CF=BC一BF=7-4=3.通过这节课的学习你有什么收获?1.全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.生变化，翻折前后的图形是全等形.表示方式.对应角相等.巩固所学知识，加深对本节知识的理14.2三角形全等的判定第1课时用“SAS”判定三角形全等1.引导学生探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS”.2.让学生会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问3.让学生了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学重点探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS”教学难点会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题设计意图根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B℃满足三条边分别相等，三个角分别相等，即AB=A'B',BC=B'C",CA=C′A',∠A=∠A'∠B=∠B',∠C=∠C',就能判定△ABC≌△AB'C".思考一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗?分条件，简捷地判定两个三角形全等呢?我们按照条件由少到多的顺序进行研究.引导学生探究判定三角形全等的条件探究新知先任意画出一个△ABC.再画一个△A'BC',使△ABC与△A'B℃满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B℃与△ABC一定全等吗?画图、观思考等活(1)只有一条边相等的情况(2)只有一个角相等的情况只有一条边或者一个角对应相等的两个三角形不一定全等.(3)有两条边对应相等的情况两条边对应相等的两个三角形不一定全等.(4)有两个角对应相等的情况两个角对应相等的两个三角形不一定全等.(5)有一条边和一个角分别对应相等的情况一步地探论，感悟基本事实性，在概括基本事实的过程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力，同时也增加了学生的们充分感受到成功的喜悦.满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△AB℃不一定全全等吗?【合作探究】如图，直观上，如果∠A,AB,AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A'BC与△ABC中，如果∠A=∠A',AB'=AB,AC'=AC,那么△AB'℃≌△ABC,线AB'与射线AB重合，那么射线A'C'与射线AC重合.再由A'B'=AB,A℃=AC,可知点B',C分别与点B,C重合.这样，△AB'C”够完全重合，因而△AB'℃′≌△ABC.写成“边角边”或者“SAS”),符号语言表示：在△ABC和△AB℃中，见例1意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.让学生会用“SAS”证明两个三角形全等，培养学生解决【变式训练】如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证∠A=∠D.实际问题的能力.在△ABF和△DCE中，随堂检测1.下列三角形全等的是()测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，2.如图，AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则需要增加的条件是()3.下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()CCEE4.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：(1)如图，在△AOB和△DOC中(2)如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD,AC=AB,请说明△AEC≌△ADB的理由。解：在△AEC和△ADB中这节课你有什么收获?用SAS判定三角形全等：(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.(2)符号语言巩固所学知识，加深对本节知识的理14.2三角形全等的判定第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等2.使学生熟练利用“角边角”“角角边”条件证明两个三角形全等.(难点)3.带领学生通过探究判定三角形全等条件的过程，提高学生分析和解决问题的能力.教学重点引导学生理解并掌握三角形全等判定“角边角”“角角边”条件的内容.教学难点使学生熟练利用“角边角”“角角边”条件证明两个三角形全等.设计意图角边”或者“SAS”).符号语言表示：在△ABC和△A'B'℃中，知，引入新知前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况，接下来研究两个三角形的两角和一边分别相等的情况.探究新知【合作探究】如图，直观上，AB,∠A,∠B的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就要让学生角定理、角角边定理的获得程，加深是说，在△A'B℃与△ABC中，如果A'B′=AB,∠A=∠A,∠B'=∠B,那么△A'B'C"≌△ABC.这个判断正确吗?如图，由A'B=AB可知，如果使点A'与点A重合，点B'在射线AB上，那么点B'与点B重合.再由∠A'=∠A,∠B=∠B,可合，于是射线A℃”,B'C的交点C与射线的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重的理解.完全重合.【归纳】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以CC如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那角边角条件证明你的结论吗?证明：∵∠A+∠B+∠C=180°,全等.(可以简写成“角角边”或“AAS”).符号语言表示：在△ABC和△A′B'C′中，,AB=AC,∠B=∠C.求证AD=AE.【分析】如果能证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边角”的条件.【证明】在△ACD和△ABE中，题，使学生熟练利用“角边证明两个三角形全等，培养学生解决问题的额能力.DAC.求证：△ABC≌△ADC.【变式训练】如图，BE=CD,∠1=∠2,则AB=AC吗?为什么?证明：∵∠1=∠2,CC随堂检测形和左侧△ABC全等的是()甲甲A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙答案：B2.在△ABC与△A'B′C′中，已知∠A=44°,∠B=67°,∠C′=69°,∠A′=44°,且AC=A′C′,那么这两个三角形()C.不一定全等D.以上都不对答案：B3.如图，ZABC=BDEF,AB=DE,要使园ABCPEDEF.(1)若以ASA为判定依据，还需要添加的条件是;(2)若以AAS为判定依据，还需要添加的条件是.答案：(1)∠A=∠D(2)ZACB=图F4.如图，己知∠C=∠DBA=90°,BC=EB,DE//BC.求证：△ABC≌△DEB.测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.证明：∵DE//BC,在△ABC和△DEB中，5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,点E在AC的延长线ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证：CE=DB.证明：BEDBAB,在图ABC和?AED中，2EABCPEAED(AAS).2AE-AC=AB-AD,即CE=DB通过这节课的学习你有什么收获?两个三角形全等巩固所学知识，加深对本节知识的理14.2三角形全等的判定第3课时用“SSS”判定三角形全等1.引导学生理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容，(重点)2.使熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等。(难点)4.让学生学会用尺规作图做三角形.教学重点引导学生理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容.教学难点使熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等.新授课设计意图如图，直观上，AB,BC,CA的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A'B'C与△ABC中.如果A'B=AB,B'C'=BC,C'A=CA.那么△AB℃≌△ABC.这个确吗?“SSS”判定三角形全等的方探究新知【合作探究】如图，由AB'=AB可知，如C落在直线AB的含有点C的一侧，由于点C是以点A为圆心、AC为半径的圆和以点B为圆心、BC通过合作探究，归纳出判定三角形全等的方法所以由A℃=AC,B'C'=BC可知点个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B℃与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).见例题利用上面的基本事实，可以说明我们曾经做过的实验的结果：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具有稳定性.上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三角形.如图，已知三条线段a,b,c(其中任意两条线段的和大于第三条线段),求作△ABC,使其三边分别为a,b,c.作法：如图.(1)作线段AB=c;(2)分别以点A,B为圆心，线段b,a为半径作弧，两弧相交于点C;(3)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形1.SAS:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.2.ASA:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.∠ADC,从而有AD⊥BC.而△ABD与△ACD具备“边边边”的条件.在△ABD和△ACD中又∠ADB+∠ADC=180°,【变式训练】如图，AD=BC,AC=BD.求证：∠CAD=∠DBC.即∠CAD=∠DBC.随堂检测测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.6解：(1)证明：∵AD=CF,∴AD+DC=CF+DC,即AC=DF.在△ABC和△DEF中，1.这节课你有什么收获?(2)尺规作图：作三角形的步骤(3)三个内角对应相等的三角形不一定全等(4)判定三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS.巩固所学知识，加深对所学知识的理14.2三角形全等的判定第4课时尺规作图—-作一个角等于已知角第4课时尺规作图---作一个角等于已知角.1.带领学生探究如何作一个角等于已知角以及作三角形(重点)2.训练学生熟练掌握作图的语言.(难点)教学重点掌握作一个角等于已知角以及作三角形的步骤教学难点熟练掌握作图的语言新授课设计意图用直尺和圆规作一个角等于已知角呢?类比尺规作图作一条线段等于已知线段，引出如何作一个角等于已知角.探究新知如图，已知∠AOB,怎样用直尺和圆规作一个角与其相等?是用直尺和圆规确定∠AOB的大小.如图，在∠AOB的边OA,OB上分别取点C,D,连接CD,得到△COD,∠AOB就是∠COD的一个内角.再作出△C'OD',使△CO'D'≌△COD,让学生运用三角形的全等进行尺规作图，同时体会作图性，增强见例2则∠COD=∠COD=∠AOB.BD0如图，已知：∠AOB.交OA,OB于点C,D;(2)作一条射线O'A',以点O为圆心，OC长0°为半径作弧，交OA'于点C';(3)以点C'为圆心，CD长为半径作弧，与上一步所作的弧相交(4)过点D'作射线OB',则∠A'O'B=∠AOB.过点C作直线AB的平行线CD.再作出相等的同位角.(2)再点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB;(3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD//AB.(1)作∠DAE=∠a;(2)在射线AD上作AB=a,在射线AE上作AC=b;(3)连接BC,则△ABC就是所求作的三角形.通过例题体会作一个角等于已知角的应用，同时培养学生的作图技能.【变式训练】人勤不负好春光，春耕备耕正当时，如图，某农田中有一条笔直的灌溉渠，点C是农田外的一个水源，现要过水源点C修一条新灌溉渠，使与平行.请在图中画出新灌溉渠，(用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹)随堂检测测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.2.如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是()A.以为圆心，长为半径的弧3.如图，P为边上的一点，请用尺规作图法，求作直线PQ,使PQ//AB.(不写作法，保留作图痕迹)别交ACAB于点M,N,(2)以点P为圆心，AM长为半径画弧，交PC于点M(3)以点M'为圆心，MN长为半径画弧，与前面所画弧相交于点(4)过点P,N'作直线PQ,则PQZAB.这节课你有什么收获?(1)作一个角等于已知角的步骤(2)作三角形的步骤巩固所学知识，加深对所学知识的理14.2三角形全等的判定第5课时判定直角三角形全等的方法14.2第5课时判定直角三角形全等的方法1.带领学生探究直角三角形全等的判定方法.(重2.培养学生学会运用三角形全等的判定方法判定、证明两个直角三角形全等，(难点)教学重点带领学生探究直角三角形全等的判定方法.教学难点培养学生学会运用三角形全等的判定方法判定、证明两个直角三角形全等新授课设计意图或“SAS”证明.2.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形引出判定直角三角形的判定定理.探究新知如图，在△ABC和△AB℃中，∠C=∠C=90°,A'B=AB,B℃=BC,这两个三角形让学生经历角形全等的过程，体验用出数学结论的方法.如图，由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C与点C重合，并且使射线C'A与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合，再由B'C'=BC,可知点B'与点B重合.为了判断点A与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C,∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM>BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A在射线CA上，A'B'=AB,可知点A与点A重合.这样△AB'C的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，因而(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)符号前面要加上“Rt”.判定直角三角形的方法：一锐角对应相等可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角(或直角)的对边对应相等斜边对应相等HL或AAS可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等一直角边对应相等可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等求证：BC=AD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，【变式训练】如图，AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证：AE=DF.让学生体会直角三角形判定定理的应用，培养学生的解决问∴CE-FE=BF-EF,即CF=BE.在Rt△ABE和Rt△DCF中，Rt△ABC≌Rt△AB℃的条件的个数为().在Rt△ABC和Rt△AB℃'中，B③AC=A'C,BC=B'C';④AB=A在Rt△ABC和Rt△AB'℃中，③Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).随堂检测1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()C.斜边和一条直角边对应相等2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长为3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”),根据(用简写法).答案：全等HL4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC,CE⊥AB,BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.通过设置随获知学生对所学知识的掌握情况，在Rt△EBC和Rt△DCB中，这节课你有什么收获?1.用“HL”判定三角形全等的方法以及语言符号表示；2.选取适当的方法判定直角三角形，巩固所学知学内容的理解.第1课时角的平分线的做法与性质14.3第1课时角的平分线的做法与性质1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.(重点)2.探究并证明角平分线的性质，(难点)3.会用角平分线的性质解决实际问题.教学重点会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据教学难点探究并证明角平分线的性质新授课1设计意图叫做这个角的平分线.如图，OC是∠AOB的平分线.则有接下来我们进一步研究角的平分线的作法与性质.探究新知【合作探究】1.如图，OC是∠AOB的分别是OA,OB上的点，当OM,ON满足什么关系时，PM=PN?在△OPM和△OPN中，OP=OP,∠POM=∠PON.如果OM=ON,那么△OPM≌△OPN(SAS),就有PM=PN.反过来，如图，M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点，OM=ON,连接OP,由OM=ON,PM=PN,OP=OP,可得△OPM≌△OPN(SSS),所以∠POM=∠PON,即点P在∠AOB的平分线上.答：可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端作过这个点的射线，就能得到角的平分线了，思考：半径小于或等于可以吗?答：不可以，位置关系是什么?如图，OC是∠AOB的平分线，点P₁,P₂,P₃,…在OC上，过点P₁,P₂,P₃,…分别画0A与OB的垂线，垂足分别为D₁与E₁、与D₂与E₂、D₃与E…….分别比较P₁D₁与P₁E₁、P₂D₂与P₂E₂、P₃D₃与P₃E₃……,你有什么发现?P₁D₁=P₁E₁、P₂D₂=P₂E₂、P₃相等.离相等.用符号表示如下：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.在△PDO和△PEO中，(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；于点N.(2)分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.线的距离相等.定已知和求证解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.【针对练习】于点D、E;再分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P,连接BP并延长，交AC于点F,若点F到BC的距离为4,则AF的长为()随堂检测1.△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则答案：32.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，图痕迹，不写作法);(2)若CP=3,AB=10,求△APB的面积.(1)解：如图，AP即为所求；(2)解：设点P到AB的距离为h,图AP是△ABC的角平分线，∠ACB=90°,图△APB的面积这节课你有什么收获?1.尺规作图作角的平分线的步骤；2.证明几何命题的一般步骤；3.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.巩固所学知识，加深对所学知识的理第2课时角的平分线的判定第2课时角的平分线的判定1.探究并证明角的平分线的判定定理.(重点)2.会用角的平分线的判定定理解决实际问题.(难点)3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重点探究并证明角的平分线的判定教学难点会用角的平分线的判定解决实际问题新授课设计意图角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴PD=PE.也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗?复习角的平分线的性质，引入角的平分线的判定定理.探究新知猜想证明：已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP,∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°,在Rt△PDO和Rt△PEO中，带领学生通过猜想证明，归纳处角的平分线的理，培养学生的抽∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等).∴点P在∠AOB的平分线上.等的点在角的平分线上.几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线OC上.象概括能性质定理性质定理(角的内部)点到角的两边的距离相等点在角的平分等的依据.边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.(1)点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.(2)△ABC的三条角平分线交于一点，BC,CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等；平分线上.点D,E,F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.(2)由(1)得，点P到边AB,CA的距离相等，∴△ABC的三条角平分线交于一点.让学生体会对角的平分线的判定的应用，获得新知.【针对练习】D作DE⊥AB于点E,若DE=DC,则∠ADE的度数为.答案：75°2.如图，BF⊥AC于点F,CEIAB于点E,BE=CF,BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.证明：囹BF⊥AC于点F,DEIAB于点E,在△BDE和△CDF中，又∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,∴AD平分∠BAC.随堂检测1.如图，P是△ABC(AB≠AC≠BC)内一点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,且PD=PE=PF,则点P是△ABC的()A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A.一处B.两处C.三处D.3.如图，在图ABC中，D是BC的中点，DEZAB于点E,DFZAC于点F,且⑧BDE=8CDF.求证：AD平分园BAC.PD是BC的中点，图BD=CD.又BDEBAB,DFAC,PAD平分图BAC.测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.巩固所学知识，加深对所学于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.内容的理第十五章轴对称15.1图形的轴对称15.1.1轴对称及其性质15.1.1轴对称及其性质1.通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.(重点)2.掌握轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质.(难点)教学重点通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.教学难点掌握轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质设计意图志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受!【思考】你还能举出生活中见到的对称现象吗?引入新知探究新知如图是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗?以上图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合.历探索过程后让学生尝试归纳，培养学生的概括能力，加深对轴的理解.这时,我们也说这个图形关于这条直线对称.下面每对图形有什么共同点?把图中的每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形都能与右边的图形重合。个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,也称这两个图形关于这条直线对称,同样地,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.答：点A',B′,C′D′的位置如图所示.仔细观察,下列两个图形有什么区别和联系?图1成轴对称图形,图2两个图形成轴对称.【归纳】区别:轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后,这个轴对称图形.如图，△ABC和△A'B℃'关于直线MN对称，点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点，线段AA',BB',CC与直线∴将△ABC沿着MN折叠后能和△AB'℃完全重合.设AA',BB',CC分别交直线MN于点P,E,则有AP=AP,∠MPA=∠MPA'=90°;CF=CF,∠MFC=∠MFC'=90°.因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.1.成轴对称的两个图形全等.轴对称图形也具有类似2的性质.如图，五图形，直线1是一条对称轴，则直线l垂直平分对称点所连线段线段的垂直平分线.图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线中错误的是()养学生的观察、辨巩固所学知识.随堂检测1.下列表情图中，属于轴对称图形的是()测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.2.下列图形中，对称轴最多的是()A.长方形B.正方形C.角D.圆答案：D3.如图，下面4组图形中，成轴对称的有()4.小明从镜子中看到镜子对面墙上挂着的示，则电子表的实际时刻是.5.如图，已知△ABC和△A'B'C′关于直线I成轴对称，(1)在图中标出点A,B,C的对称点A',B',C;(2)若AB=5,则对应线段A'B′=;(3)若∠A=50°,∠C′=20°,求∠B的度数.(3)∵△ABC与△AB'C关于直线I对这节课你有什么收获?1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.2.两个图形成轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.3.轴对称和轴对称图形的性质：(1)成轴对称的两个图形全等.(2)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平巩固所学知识，加深对所学内容的理15.1.2线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质与判定第1课时线段的垂直平分线的性质与判定.1.让学生理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定.(重点)3.引导学生掌握逆命题及逆定理的概念，会判定命题的逆命题及逆命题是否成立教学重点1.让学生理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.引导学生掌握逆命题及逆定理的概念，会判定命题的逆命题及逆命题是否成立教学难点能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题设计意图轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的重直平分线的性质.我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离有什么关系?引入新知探究新知如图，直线1垂直平分线段AB,点P₁,P₂,P₃,…在1,分别比较点P₁,P₂,P₃,…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现?让学生经历探索线段的垂直平分线的性质和判学生解决问题的能通过测量发现：我把线段AB沿着直线I对折，发现线段P₁A与P₁B,线段P₂A与P₂Be1,线段P₃A与P₃B……都是重合的，因此它们也分别相等.【思考】由此你能得到什么结论?【归纳】线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相符号表示：如图，直线lIAB,垂足为C,AC=BC,点P在1上，则有PA=PB.【思考】你能证明这个性质吗?如图，直线ILAB,垂足为C,AC=BC,点P在I上.求证：PA=PB.当点P与点C不重合时，∵1LAB,又AC=BC,PC=PC,题还成立吗?即如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?如图，线段AB外任意一点P到点A,点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线l,使得lIAB,垂足为0.在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴点P在线段AB的垂直平分线上.点在这条线段的垂直平分线上，符号表示：如图，已知线段AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.3.逆命题与逆定理【思考】分析前面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系?你还学习过其他具有类似关系的命题吗?线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.这两个命题的题设和结论正好相反，种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD.让学生体会线段的垂直平分(1)对顶角相等；(2)两直线平行，内错角相等.(2)内错角相等，两直线平行.成立.随堂检测雅典为C地，分别连接AB,AC,BC,形成了一个三角形，若想仓的位置应选在()A.三边垂直平分线的交点B.三边中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边上高所在直线的交点B.莫斯科北京雅典“一带一路”示意图2.下列命题的逆命题是成立的是的是()A.同旁内角互补，两直线平行测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.C.全等三角形的对应边相等3.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是.解析：图DE是BC的垂直平分线，2ZABD的周长=AB+AD+BD=5+8=13.答案：134.如图，C是BABE的边BE上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE,给出下列结论：①AD≌BC;②CFZAE;③1=82;④AB+BD=DE.其中正确的结论有()又园AB=AC,团直线AD是BC的垂直平分线，故①正确，故④正确.②③不能得出，故选B.答案：B5.如图，在RtBABC中，园ACB=90°,D是AB上一点，BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,连接BE.求证：BE垂直平分证明：图ZACB=90°,DEZAB,PPEDB=2ACB=90°.ZBD=BCZRtaBEDERt?BEC,点B在CD的垂直平分线上，②DE=CE,图点E在CD的垂直平分线上，2BE垂直平分CD.这节课你有什么收获?两个端点的距离相等，条线段的垂直平分线上.3.逆命题与逆定理巩固所学知识，加深对所学内容的理第2课时线段的垂直平分线的作法与应用第2课时线段的垂直平分线的作法与应用.1.让学生会用尺规作图作线段的作垂直平分线；(重点)3.让学生会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线.(难点)教学重点让学生会用尺规作图作线段的作垂直平分线教学难点1.让学生能作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图.2.让学生会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线.1设计意图1.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.符号表示：如图，直线lLAB,垂足为C,AC=BC,点P在1上，则有PA=PB.2.线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号表示：如图，已知线段AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.新知思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线?探究新知如图，已知线段AB,要作线段AB的垂直平分线，由于“两点确定一条直线”,所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.让学生学会如何用尺规作图作线段的垂直平分线、作轴已知一点作已知直线的垂线生的实际操作能力作法：(1)分别以点A,B为圆心，以大于(2)作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线.的长为半径作弧，两弧【思考1】有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?不折叠图形能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对应点，作出连接它们的线段的垂直平分可以得到这两个图形的对称轴.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?大于的长为半径画弧(想一想为什么),两弧相交于点C,D两点.(2)作直线CD.直线CD就是所求作的垂线，这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中点.【思考2】对于轴对称图形，我们作出它们的对称轴?如图中的五角星，你能作出它的称轴吗?对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.图中的五角星，我们可以找出它的一对对应点A和A′,连接AA',作出线段AA′的垂直平分线，则就是这个五角星的条对称轴.(1)作对称轴的依据：如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③作：作出对应点所连线段的垂直平分线这轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴，见例2刻度的直尺作出它们的对称轴.连接PQ,则直线PQ即为所要求作的直线I已知：直线AB和AB外一点C(如图).求作：过点C.【分析】假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB足与点C的距离相等即可.【解】作法：(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交AB于(2)分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F;(3)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.知，体会作轴对称的方法随堂检测建在()答案：C中正确的是()测，及时获知学生对所学知识的掌握ABCD大于的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若图A=2ADC=的度数为,答案：105°4.如题图，△ABC与△DFE关于直线I对尺，在题图①与②中分别作出直线1.的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线L.>∠B,请你用直尺和圆规作边AB的垂直平分线，交AB于点D,交BC于点1.尺规作图一作线段的垂直平分线的步骤；2.尺规作图一作对称轴的步骤；3.过已知点作已知直线的垂线的步骤.巩固所学知识，加深对所学内容的理的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线L.>∠B,请你用直尺和圆规作边AB的垂直平分线，交AB于点D,交BC于点1.尺规作图一作线段的垂直平分线的步骤；2.尺规作图一作对称轴的步骤；3.过已知点作已知直线的垂线的步骤.巩固所学知识，加深对所学内容的理15.2画轴对称图形第1课时画轴对称图形第1课时画轴对称图形1.能够按照要求画出一个平面图形关于某条直线对称的图形；2.能设计轴对称图形.教学重点能够按照要求画出一个平面图形关于某条直线对称的图形教学难点能设计轴对称图形设计意图1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.2.线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.3.作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；连：连接这一对对应点；作：作出对应点所连线段的垂直平分线，前面我们已经学习了画一个轴对称图形或两个成轴对称的图形的对称轴，如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢?知，引入新知探究新知如图，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印.把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印.作轴对称图形的方法，并应用于简单的图案设【思考1】:认真观察，左脚印和右脚印有什么关系?由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同.【思考2】:对称轴是折痕所在的直线，即直线1,它与图中的线段PP′是什么关系?并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.请你动手再画一个图形，看看能否得到相同的结论?称的图形呢?探究1:已知点A和直线I,画出点A关于直线l的对称点A′.作法：(1)过点A作直线l的垂线，垂足为0;(2)在垂线上截取OA′=OA,点A′就是点A关于直线I的对称探究2:已知线段AB和直线I,画出线段AB关于直线I的对称线段A'B′.作法：(1)过点A作直线I的垂线，垂足为0,在垂线上截取OA'=OA,点A′就是点A关于直线I的对称点.(2)过点B作直线I的垂线，垂足为P,在垂线上截取PB′=PB,点B′就是点B关于直线I的对称点.(3)连接A′B′,则线段A'B′即为所求.【归纳】画轴对称图形的方法：连：连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.见例2三个顶点关于直线I的对称点，连接这些对称点，的图形，【解】作法：(1)如图，过点A作直线l的垂线，垂足为0,在垂线上截取OA'=OA,A就是点A关于直线I(2)同理，分别画出点B,C关于直线I的对称点B',C'.(3)连接A'B',B'℃”,CA',则△AB'C即为所求.让学生能够按照要求画出一个平面图形关于某条直线对形，并能设计轴对称图形，培养学生解决问题的能力.对称图形，则不同的补法有()解析：如图所示，一共有4种画法.随堂检测1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是()C.过已知点作一条直线与已知直线平行D.不确定答案：B2.下面是四名同学作与△ABC关于直线MN对称的△A'B℃,其中正确的是()测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.ABCD3.如图是的正方形网格，要在图中再给一个小正方形涂色，使得图中涂色部分成为轴对称图形，这样的小正方形有个.答案：54.如题图①②③,已知⑧ABC和直线