湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题（含解析）

武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试卷2026.9.16本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】不等式可化为.因此，所以，对应区间为.2.平面向量的夹角为，若，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【详解】由题意得：.3.某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（）A.万片 B.万片C.万片 D.万片【答案】C【解析】【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为，则，，，，，即该企业这个月的总产量为万片.4.若函数为奇函数，则（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再根据奇函数的定义验证函数是奇函数即可.【详解】的定义域为且，因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，故，即.所以，的定义域为，关于原点对称，又，故函数为奇函数.所以.5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题先对已知式子切化弦，利用两角和差正弦公式化简，再用正弦定理完成边角互化，化简求出的值，结合三角形内角范围得到角.【详解】将题中所给等式切化弦得，，则，由两角和公式化简可知，，因为，所以两边同时乘以得，，由正弦定理得，，因为，所以两边同时除以得，，所以，因为，所以.6.某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为（）A.60 B.70 C.80 D.100【答案】C【解析】【详解】第1天：5个人任选1人，5种选择；第2天：不能和第1天是同一个人，剩下4人，4种选择；第3天：不能和第2天是同一个人，剩下4人，4种选择；总方法数：.7.已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意得：，又，所以，所以，所以，所以，所以.8.已知，若函数与的最大值相等，则a的值所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出的最大值；再把换元改写成与同构的形式，比较得应满足，并说明这样的唯一，最后由单调性定位根所在的区间.【详解】（），则.设满足，则当时，单调递增；当时，单调递减.所以的最大值为.（）.令，则，代入得.当，即时，，此时的最大值与的最大值相等.下证使最大值相等的唯一.记，则当且仅当，故的最大值在某点处取得.当时，，于是且，所以的最大值，即越大，的最大值越小.所以使最大值相等的至多一个，故恰为方程的根.设（），则，单调递增，方程有唯一根.因为，，所以根.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知，为复数，则下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【详解】设，，，A.法一：∵，∴，即，而，显然条件推不出结论，法二：举反例，取，满足，但是，，A错误.B.∵，∴，即，∴，B正确.C.∵，∴，即，其几何意义是圆上任意两个点，又，其几何意义是两个点之间的距离小于等于2，∵圆上任意两点(直径），∴C正确.D.举反例，当时，，满足，但是，D错误.10.记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（）A.双曲线的离心率是B.若，则的周长为C.存在四条不同直线使得D.线段的中点坐标可能是【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误.【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则，双曲线的离心率，A正确；对于B，，，的周长为，B正确；对于C，当斜率不存在时，即时，；当斜率存在时，设，，，由得：，且，则，，，解得：，即，方程为：；综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误；对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为；当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为，则，，解得：，当方程为时，线段的中点坐标为，D正确.11.在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”，张开的空间范围就叫“立体角”.如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面上截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小.现有底面半径为2的圆锥，设母线长为l，记其顶点锥口的立体角为.另有四棱锥，其底面是边长为2的正方形，记其顶点锥口的立体角为.则下列说法中正确的有（）A.对任意，B.若，则C.当平面时，若，则D.当四棱锥是正四棱锥时，若，则【答案】ACD【解析】【分析】本题明确立体角的定义：以锥顶点为球心作半径为1的单位球面，锥在球面上截取的曲面面积就是该立体角的大小.结合圆锥、正四棱锥几何特征，利用球面几何知识，正方体几何知识，逐一分析选项.【详解】对于A，由题可得，如图所示，圆锥在球面上截取的曲面面积小于该球表面积的一半，记球的表面积为，则；A正确；对于B，如图所示，因为，所以圆锥的高，作圆锥底面圆的外接正方形，设顶点为，分别连接正方形各顶点，则该四棱锥为正四棱锥，设其立体角为，易得，以该正方形为底面作正方体，则单位球在该正方体内，且该正方体与单位球都是关于点的中心对称图形，又因为正方体能分成6个如图所示的正四棱锥，所以，所以；B错误；对于C，将正方形边长扩大两倍形成如图所示大正方形，将顶点分别连接大正方形各顶点，得到大正四棱锥，设其立体角为，则，以大正方形为底面，形成一个正方体，该正方体边长为4，由B可得，所以，且为该正方体的中心，则；C正确；对于D，同理B可得，此时单位球面与正方体面相切，则点到底面的距离，.D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______.【答案】8【解析】【详解】函数的图象向右平移个单位长度后解析式为：，要使其与原图象重合，即，，所以，，因为是正实数，所以，当时，最小为8.13.记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为______.【答案】15【解析】【详解】因为是等差数列，设公差为d，因为，所以，即，所以解得.14.记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______.【答案】①.②.【解析】【分析】设，由椭圆定义得，利用余弦定理、勾股定理得；再由角平分线及正弦定理建立与角的关系，通过三角恒等变换求出比值，进而解得.【详解】设，则设平分，记，又设，因为，所以，在与中由正弦定理得：①，②，在中，由余弦定理得：，在中，由勾股定理得：两式相等，且，整理得，由①②相乘：，又，所以，于是，由①②相加：两边平方：所以，即由①②消去，整理得于是，代入，，计算可得，又由勾股定理：.所以，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图.（1）求的值，并估计女生评分的平均数；（2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联.性别评分等级合计合格不合格男生

女生

合计

附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1），74.5分.（2）性别合格不合格合计男生12080200女生21090300合计330170500没有关联.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图所有频率之和为1求，用各组中点乘对应频率求和得到女生评分平均数；（2）由直方图算出男女生合格、不合格人数填写列联表，计算卡方值与临界值比较，判断评分等级和性别是否有关联.【小问1详解】由女生直方图各矩形面积之和为1，得，解得.以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为.所以，女生评分的平均数约为74.5分.【小问2详解】男生合格频率为，女生合格频率为，故列联表为：性别合格不合格合计男生12080200女生21090300合计330170500提出零假设：评分等级与性别相互独立.由列联表计算得.因为，所以在小概率值的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据认为评分等级与该校报名者的性别有关联.16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点.（1）证明：直线平面；（2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）如图所示，连接BD，交AC于O，因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点，在中，E、O分别为PB、BD的中点，故，又平面，平面，所以平面ACE.（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，进而说明线面平行；（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线线夹角求出几何体的高，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面夹角的正弦值即可.【小问1详解】略【小问2详解】如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由，可取，，，，，，直线AE、PD的方向向量可分别取，，由两直线所成角为45°，得，平方整理得，所以，.可知，，设平面的法向量为，可得，即，令，解得，即平面的一个法向量为设直线PD与平面PAC所成角为，则.17.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增（3）【解析】【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由参数值求出函数在时的函数值和导数值，再由点斜式方程求出切线方程；（2）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，分别求出导函数值的正负，进而求出函数的单调区间；（3）根据函数恒成立的条件，判断函数最小值为正，由函数单调性求出函数最小值，进而列出不等式，求出参数范围.【小问1详解】函数定义域为，且.当时，，.故切线方程为，即.【小问2详解】因为，导数的符号由决定.当时，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；当时，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.【小问3详解】要使定义域内恒有，只需且必须使其最小值大于0.当时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，所以等价于，得到.当时，在上单调递减，在上单调递增.最小值为，所以等价于，得到.综上，.18.已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形.（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为.（i）若，求所在直线的斜率；（ii）若，求.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）联立方程求出圆与抛物线的三个公共点，根据这三点恰好构成等腰直角三角形求出即可；（2）设直线方程为，，，联立，写出韦达定理，（i）利用到角公式表达出，代入韦达定理求解即可；（ii）由，得，根据三角形相似得到，且，分别表达出，，进而得出，解得，且，利用弦长公式计算出即可.【小问1详解】联立，得，即，所以或.故圆与抛物线的三个公共点分别为，.这三点恰好构成等腰直角三角形，所以，解得或（舍去）.故的标准方程为.【小问2详解】易知的斜率不为，设直线方程为，，，.联立，得，所以.（ⅰ）因为，到距离，即.因为，所以，而，且.所以，解得或，但时，舍去.故，，故直线的斜率.（ⅱ）由，得，所以，从而.由（ⅰ）知，而.所以，解得，且.又由，即，由弦长公式知，所以.19.已知个正整数，，…，满足：，这个数两两成对可组成对数，这对数中每对的两个数求和后形成一个数列：.例如1，2，4求和后形成3，5，6.（1）当时，形成对求和数列：，，，，，.试写出，，，可能的两组值.（2）当时，对于形成的，，…，，证明：，，，，的解是唯一的.（3）当时，证明：存在两个不同的数列，，…，和，，…，对应同一个求和数列，，…，.【答案】（1）或（2）设.每个原数出现4次，所以，由所给和数列唯一确定.利用递增关系，可确定四个极端和：，，，.于是中间项首先被唯一确定：.再依次得到，，，.右端