上海市第五十四中学2026-2027学年第一学期期初学情调研高三数学试卷（含解析）

五十四中学2026学年度第一学期期初学情调研高三数学试卷2026年9月（闭卷120分钟，满分150分）一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）．1.已知集合，，则________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，所以，因此.2.已知为虚数单位，复数z满足，则________．【答案】##【解析】【分析】利用复数乘法和除法法则计算出，由模长公式求出答案.【详解】，故.故答案为：3.已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据70百分位数的定义计算即可得答案.【详解】这组数据共有10个，且已按从小到大排列.因为，所以这组数据的第70百分位数是这组数据的第7个数与第8个数的平均值，即为.4.若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________．【答案】【解析】【分析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案.【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线标准方程为：，∵抛物线的准线方程为，∴，∴，∴抛物线的标准方程为：，故答案为：5.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．【答案】【解析】【详解】因为向量，，则在方向上的投影向量为.6.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________．【答案】##【解析】【分析】利用等差中项以及等比中项的性质进行化简求值即可.【详解】因为是等比数列，所以，所以，解得.又因为是等差数列，所以，所以，解得，所以7.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝________.【答案】－【解析】【分析】先根据已知和三角函数的坐标定义得到cosα＝x＝，解方程解答x的值，再利用三角函数的坐标定义求tanα的值.【详解】因为α是第二象限角，所以cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，所以tanα＝＝－.故答案为－（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin=cos=,tan=.8.的二项展开式中常数项为_______．【答案】【解析】【分析】写出展开式的通项，令，解出，代入计算即可得答案.【详解】展开式的通项为，令，解得，所以的二项展开式中常数项为.故答案为：.9.若，，则________（用、表示）．【答案】【解析】【详解】因为，所以，又因为，由换底公式可得.10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得，又，，设的中点为，在中，，，，则，，根据，可知，.故答案为：.11.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.【答案】【解析】【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量.【详解】由题可知，故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得，又由题知，如图建立平面直角坐标系则，由两点之间线段最短可得，所以，故答案为：12.已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积计算公式，求得，根据题意转化为，进而转化为，设，利用导数求得函数的单调性，结合在上单调递减，进而求得的取值范围.【详解】因为向量的夹角为的单位向量，则，所以，由对任意的，且，，可得，所以，即，设，即函数在上单调递减，又因为时，，解得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.二.（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．13.“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可.【详解】因为等价于，则可以推出，即必要性成立；但不能推出，例如，即充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.14.函数在定义域上是（）A.严格增的奇函数 B.严格增的偶函数C.严格减的奇函数 D.严格减的偶函数【答案】A【解析】【详解】函数定义域为，关于原点对称.记，，故为奇函数.将函数变形为，在上严格递增，则严格递减，严格递增，因此在上严格递增.15.已知直线与圆相切，则的值（）A.与a有关，与b有关 B.与a有关，与b无关C.与a无关，与b有关 D.与a无关，与b无关【答案】D【解析】【分析】先求得圆的圆心坐标为和半径为，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即，化简即可得到答案.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，可知，故选：D.16.记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数.判断如下两个命题真假：①函数包裹函数的充要条件是；②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数.则下列选项正确的是（）A.①真②假 B.①假②真 C.①②全假 D.①②全真【答案】D【解析】【分析】①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确；②利用反证法证明可得，即，则函数包裹函数，即②正确.【详解】①因为函数包裹函数，所以，又因为，所以，所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确；②假设，令，则当时，，与题意中矛盾，故假设不成立.所以，即，所以函数包裹函数，故②正确.故选：D.三.解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）．17.如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．（1）求证：平面PAD；（2）若，求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）证明：连接BD，如图，∵底面ABCD为菱形，，则，∴△BCD为等边三角形，∵E为BC的中点，∴，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵平面PAD，∴ED⊥平面PAD；（2）【解析】【分析】（1）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PBC的一个法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】略【小问2详解】以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，∴，设平面PBC的法向量为，则，即，令，则，∴，又，∴点D到平面PBC的距离为：.18.已知向量，且，（1）求函数在上的单调递减区间；（2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间；（2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值.【小问1详解】∵，∴，即，所以，令，，解得：，，因为，所以，解得：，因为，所以，所以，函数在上的单调递减区间为；【小问2详解】，即，因为，所以，所以，解得：，因为，所以，从而，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：，由面积公式得：，当时，等号成立，所以面积的最大值为19.某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题．（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．（3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率．【答案】（1）分合理（2）平均数90，方差22.25．（3）【解析】【分析】（1）利用百分位数的定义求解；（2）利用平均数和方差的定义求解；（3）利用古典概型的概率公式求解．【小问1详解】由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以，又，所以．因为成绩落在内的频率为，落在内的频率为，所以第90百分位数在内．设第90百分位数为，则，解得，所以晋级分数线划为分合理．【小问2详解】因为，所以，所以，所以．剔除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为，平均数与标准差分别为，则剩余8个分数的平均数，方差．【小问3详解】由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，分别记为．所有的抽样情况，共21个样本点，“选出的2人来自于不同组”，则，共14个样本点，所以．20.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，其中点在第一象限，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点，的内切圆圆心是半径是.(i)若求证:圆心在一条定直线上；(ii)若求的面积.【答案】（1）（2）（i）联立椭圆方程与直线的方程，得，设，化简得，所以，，，设直线的斜率分别为，所以，故直线平分，所以圆心在一条定直线上；（ii）【解析】【分析】（1）首先得，然后根据题意得，求出即可；（2）（i）联立椭圆方程与直线的方程，由韦达定理得，只需证明直线的斜率互为相反数即可；（ii）根据已知条件可得，由数量积为0可求出，进一步求出以及点到直线的距离即可.【小问1详解】因为，所以，联立，解得，所以，解得，故所求为；【小问2详解】（i）略（ii）如图所示，设，其中是垂足，因为，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形是等腰直角三角形，所以，即，解得或，满足，但是当时，直线过点，所以只能，此时，点到直线的距离为，，故所求为.21.设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”．性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．（1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；（2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围；（3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．【答案】（1）区间是，区间不是，理由如下：由，当时，，所以区间是函数的“美好区间”；当时，，不是的子集，且，所以不是的“美好区间”.（2）（3）由题意，对于任意，，即，则在R上单调递减，故取，则，由，无法满足性质①，故若存在“美好区间”，只能满足性质②，因为在R上单调递增且值域为R，故必与有交点，不妨设交点为，则任意的区间，使，则，则无法满足性质②，故存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”；故取区间，使，则，故此时对于任意，都有，即满足性质②，故函数存在