北师大版九年级数学上册《1.3矩形的性质与判定》同步练习题（带答案）

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678910答案BBCCAADDCB1．【答案】B【知识点】矩形性质理解利用菱形的性质证明【分析】根据矩形和菱形的性质逐项判断各选项是否符合题意即可．【详解】解：A矩形和菱形的对角都相等故此选项不符合题意B．矩形的对角线相等菱形的对角线不一定相等故此选项符合题意C矩形和菱形的邻角都互补故此选项不符合题意D矩形和菱形的对角线都互相平分故此选项不符合题意．2．【答案】B【知识点】三角形的外角的定义及性质等边对等角利用矩形的性质求角度【分析】本题考查了矩形的性质等腰三角形的性质三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AOB=∠ACB+∠OBC=2∠ACB=56°即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴OB=OC∴∠OBC=∠ACB∵∠AOB是△OBC的外角∠AOB=56°∴∠AOB=∠ACB+∠OBC=2∠ACB=56°∴∠ACB=28°．故选：B．3．【答案】C【知识点】等边三角形的判定和性质根据矩形的性质求线段长【分析】根据矩形的性质可得OA=ODBD=2OD从而得出△OAD是等边三角形据此计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴OA=ODBD=2OD∵∠OAD=60°∴△OAD是等边三角形∴OD=AD=4∴BD=2OD=2×4=8．4．【答案】C【知识点】利用平行四边形的性质求解根据矩形的性质求面积【详解】解：∵矩形木框挤压变成平行四边形后底边没变但高变小了∴木框的面积变小了．5．【答案】A【知识点】矩形与折叠问题求角的余弦值【分析】本题考查矩形的折叠问题求角的余弦值由折叠的性质可得AF=AD=5再根据cos∠BAF=【详解】解：由折叠得AF=AD=5∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90°∴cos故选：A．6．【答案】A【知识点】用勾股定理解三角形斜边的中线等于斜边的一半【分析】根据勾股定理即可求得AB的长再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE的长由三角形面积相等即可求得CD的长进而由勾股定理可以求得DE的长．【详解】解：Rt△ABC中∠ACB=90°∴AC2+BC2=AB2∵AC=2BC=1∴AB=3∵CD是斜边上的高∴三角形ABC面积=∴CD=6∵CE是斜边AB上的中线∴CE==Rt△CDE中∠CDE=90°∴DE=故选：A【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质正确求出AD和CE的值是解题的关键．7．【答案】D【知识点】矩形的判定定理理解【分析】本题主要考查了矩形的判定解题的关键是熟记矩形的判定定理并会灵活运用．根据矩形的判定定理判断即可．【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形不一定是矩形故A错误不符合题意选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形不一定是矩形故B错误不符合题意选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形故C错误不符合题意选项D：根据四边形内角和定理三个角是直角则另一个角也是直角即四个角均为直角可判定四边形为矩形故D正确符合题意故选D．8．【答案】D【知识点】添一条件使四边形是矩形【分析】本题考查了矩形的判定熟练掌握矩形的判定是解题的关键．根据矩形的判定方法只有D选项满足条件由此得到答案．【详解】解：需要添加的条件是：AC=BC理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形又对角线相等的平行四边形是矩形∴AC=BD时平行四边形ABCD为矩形故选：D．9．【答案】C【知识点】用勾股定理解三角形利用矩形的性质证明方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了方位角解直角三角形矩形的性质勾股定理的运用掌握方位角解直角三角形的计算图形结合分析思想是解题的关键．根据题意可确定点P在线段AB，AC垂直平分线的交点处如图所示可得PE⊥AC，PF⊥AB作PG⊥AGPE与AG交于点H可得四边形AFPG是矩形根据∠CAG=30°运用特殊角的三角函数可得AH，GH的值在直角△APG中根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意点P到A，B，C三艘军舰的距离相等即点P在线段AB，AC垂直平分线的交点处作图如下

∴PE⊥ACPF⊥AB垂足分别为点E，F作AG⊥AB过点P作PG⊥AG于点GPE与AG交于点H连接AP由题意得AC=4海里AB=6海里四边形AFPG是矩形∴AE=CE=12AC=2海里AF=BF=1∵∠CAH=30°∠AEH=90°∴cos∴AH=233AE=∴在Rt△PHG中∴GH=3∴AG=AH+GH=4在Rt△APG中AP=故选：C．10．【答案】B【知识点】求矩形在坐标系中的坐标中点坐标【分析】连接BD交AC于点E利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点E的坐标再计算出点B的坐标．【详解】解：如图连接BD交AC于点E∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD互相平分∵A−2,0∴点E的坐标为1∵D∴点B的坐标为12×2−−1,0×2−211．【答案】③【知识点】证明四边形是平行四边形同旁内角互补两直线平行证明四边形是矩形【详解】解：①AB∥CDAB=CD只能判定四边形ABCD为平行四边形不能判定为矩形不符合要求②∵∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可得AB∥CD∴只能判定四边形ABCD为平行四边形不能判定为矩形不符合要求③∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°∴可判定四边形ABCD为矩形符合要求．因此符合要求的条件为③．12．【答案】3【知识点】根据矩形的性质与判定求面积【分析】本题考查了矩形的判定与性质利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键作PM⊥AD于M交BC于N则得四边形AEPM四边形DFPM四边形CFPN四边形BEPN都是矩形由矩形的对角线平分矩形的面积得S矩形EPNB【详解】解：如图作PM⊥AD于M交BC于N则有四边形AEPM四边形DFPM四边形CFPN四边形BEPN都是矩形∴S△ADC=∴S∴S∴S故答案为：3．13．【答案】3或6【知识点】用勾股定理解三角形矩形与折叠问题【分析】本题考查的知识点是勾股定理折叠性质解题关键是熟练掌握勾股定理和分类讨论．分两种情况：①当∠DA′E=90°时②当∠【详解】解：∵矩形ABCD中∠A=90∘AB=6∴BD=由折叠性质可得A′B=AB=6∠B∴A′分两种情况：①当∠DA′E=90°则∠BA′E+∠DA′E=180°所以点∴B∴∴设AE=A′Rt△EA′D即x解得x=3∴AE=3．②当∠A则∠AE∴四边形ABA∴AE=AB=6．综上线段AE的长为3或6．14．【答案】5【知识点】从函数的图象获取信息动点问题的函数图象根据矩形的性质求线段长【分析】根据动点P的运动路径分析△ABP的面积y随路程x的变化情况结合函数图象读取数据计算即可．【详解】解：由题意可知当点P在BC上运动时△ABP的面积y随x的增大而增大当x=4时面积开始保持不变则此时点P运动到点C即BC=4当x=9时面积开始减小说明此时点P运动到点D即BC+CD=9∴CD=9−4=5．15．【答案】12【知识点】用勾股定理解三角形垂线段最短根据矩形的性质与判定求线段长【分析】如图连接PA先证明四边形PEAF是矩形由矩形性质得到PA=EF当AP⊥BC时线段AP最小即EF最小在Rt△ABC中由勾股定理求出BC【详解】解：如图连接PA∵在Rt△ABC中∠A=90°PE⊥AB∴∠A=∠PEA=∠PFA=90°∴四边形PEAF是矩形∴PA=EF∵A是定点P是线段BC上的一个动点∴当AP⊥BC时线段AP最小即EF最小∵∠A=90°AB=3AC=4∴BC=∵S∴3×4=5AP解得AP=∴EF的最小值是12516．【答案】(1)证明：∵点E是AC的中点∴AE=CE∵EF=DE∴四边形ADCF是平行四边形∵点D为等腰△ABC的底边AB的中点∴CD⊥AB即∠ADC=90°∴四边形ADCF是矩形(2)6+6【知识点】化为最简二次根式用勾股定理解三角形三线合一利用平行四边形性质和判定证明证明四边形是矩形等边三角形的判定和性质【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形再由三线合一得到∠ADC=90°即可证明为矩形（2）先证明△ABC是等边三角形然后利用勾股定理求解CD即可求解周长．【详解】（1）略（2）解：∵△ABC是等腰三角形AC=BC∠B=60°∴△ABC是等边三角形∴AB=AC=6∵点D是AB的中点∴AD=∵∠ADC=90°∴CD=∴矩形ADCF的周长=2AD+CD17．【答案】97米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形矩形的判定与性质掌握解直角三角形的计算是解题的关键．如图所示延长BA,CD垂直于点M所在的水平直线垂足为点F,E则四边形BCEF是矩形则BC=EF在Rt△BMF中由tan∠BMF=BFMF得到MF≈57.7（米）在Rt△DEM中由tan∠DME=tan56.2°=DE【详解】解：如图所示延长BA,CD垂直于点M所在的水平直线垂足为点F,E∵AB⊥BC，CD⊥BC，BF⊥EF∴四边形BCEF是矩形则BC=EF∴CE=BF=60（米）在Rt△BMF中∴MF=BF在Rt△DEM中DE=CE−CD=60−1.5=58.5（米）∴EM=DE∴EF=EM+FM=57.7+39.3=97（米）∴BC=EF=97（米）答：河宽的长度为97米．18．【答案】四边形ABCD是矩形24【知识点】根据矩形的性质与判定求面积【分析】利用平面内两点间距离公式求出ABCDADBCAC的长度即可判断出四边形ABCD的形状．【详解】解：∵点A（35）B（53）C（-1-3）D（-3-1）∴AB2=（3-5）2+（5-3）2=8CD2=（-1+3）2+（-3+1）2=8AD2=（3+3）2+（5+1）2=72BC2=（5+1）2+（3+3）2=72AC2=（3+1）2+（5+3）2=80∴AB=CDAD=BCAC2=AB2+BC2∴四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形∴矩形ABCD的面积=AB•BC=22【点睛】本题考查了平面内两点间的公式利用公式求出五条线段的长度是解决问题的关键．19．【答案】(1)80°(2)①83②【知识点】用勾股定理解三角形两直线平行内错角相等矩形与折叠问题【分析】此题考查图形的翻折变换勾股定理注意折叠前后的对应关系是解题的关键．（1）根据平行线的性质得到∠DEF的度数根据翻折变换的性质得到∠DEB的度数根据平角得到答案（2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程解方程得到答案．【详解】（1）解：∵AD∴∠1=∠DEF=50°由翻折的性质可知：∠DEF=∠BEF=50°∴∠BED=2∠DEF=100°∴∠2=180°−∠BED=180°−100°=80°（2）①设CF=x,由题意可知：C′F=x,由勾股定理可得：B即2解得：x=即CF=②设ED=x,由题意可知：BE=x,AE=6−x由勾股定理可得：A即2解得：x=即ED=20．【答案】（1）证明：如图1延长CD到E使得DE=CD连接BEAE

图1∵D为AB中点∴AD=BD∴四边形ACBE为平行四边形∵∠ACB=90°∴四边形ACBE为矩形∴AB=CE=2CD∴CD=1（2）5【知识点】斜边的中线等于斜边的一半用勾股定理解三角形证明四边形是矩