大学物理第一章习题解答

习题解答

(注：无选择题，书本已给出)

习题一

IAr|与4有无不同？|案|和上有无不同？dvvdv

1—6——和——有无不同？其不同在哪里？试妥例说明.

dzdzdt

解：(1)加|是位移的模，△厂是位矢的模的增量，即加|=|々_耳|,4r=同一同；

⑵上是速度的模，即

上只是速度在径向上的分量.

dz

V<r=rr（式中，叫做单位矢）—r+r—

drdrdr

式中不就是速度径向上的分量,

.dr与黑不同如题1—1图所示。

••

dz

题1-6图

dv

表示加速度的模，即同二四是加速度。在切向上的分量.

哨d7dr

・・•有U=V彳代表轨道节线方向单位矢)，所以

dvdv_dr

——=——r+v——

drdrck

式中立就是加速度的切向分量。

dt

匕与二■的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

drdr

1—7设质点、的运动方程为x=x(z),y=y(/),在计算质点的速度和加速度时，有人先求出广=+)产，

然后根据丫=—,及。=.而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

drdr-

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者

差别何在?

解：后一种方法正确。因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有『二点+），，

-drdxdy-

?.v=—=—iT+—/

d/d/dr

dvd"Vd2yr

dr2dr2

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

dr

v=一

dr

其二，可能是将上与二误作速度与加速度的模。在17题中已说明上不是速度的模，而只是速度在径向

drd广dr

上的分量，同样，•注也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分。径=叮-/丝].或者概

d厂|_d广Id。

括性地说，前一种方法只考虑了位矢尸在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢尸及速度/的

方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1—8一质点在X。），平面上运动，运动方程为

2

x=3/+5,y=—/+3/—4O

2

式中，以s计，x,y以m计.（1）以时间，为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出f=1s时刻和，=

2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算f=0s时刻到f=4s时刻内的平均速度；（4）求

出质点速度矢量表示式，计算，=4s时质点的速度；（5）计算f=Os到f=4s内质点的平均加速度；（6）

求出质点加速度矢量的表示式，计算/=4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、

平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.

解：（1）r=（3r+5）7+（1r2+3r-4）Jm

⑵将，二],，=2代入上式即有

%=8？-0.5jm

r2=llj+4jm

△/二G一%=3j+4.5jm

(3)•・•r0=5j-4J,r4=17i+16j

一办；

y=Ar=-q-------=--1-2-7--+---2--0:-=37+5/mV

Ar4-04

(4)v=—=37+(z+3)jm-s-1

dr

则

v4=3i+7jm-s

(5)VV0=37+3；,V4=3Z+7J

-Avv-v4-_

a=——=--4-----L0=—=1/ms2

X44

dv

(6)a=—=1jm-s92

dr

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

▲在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1一4图所示.当人以％(m・HD的速

率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.

解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成。角，由图可知

/2=/r+?

将上式对时间，求导，得

由

2/—=2s题▲图

dtdr

根据速度的定义，并注意到/,s是随/减少的,

d/ds

/"％上

即y船=

d/sdrscos®

_(〃2+/产%

或院=1=—

将喋再对/求导，即得船的加速度

d/ds

血船_$d/_df,,__%$+//%

丁./—%

/2

(r+f)o2//2

______s_〃％

J―uc>3

1-9质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6x2,。的单位为mr-。x的单位为m.质点在x=

0处，速度为10m・sT,试求质点在任何坐标处的速度值.

刎..dvdvdxdv

drdrdrch-

分离变量：u6u=adx=(24-6x2)±r

两边积分得

-v2=2X+2X3+C

2

由题知，x=()时，v0=10,Ac=5()

v=2y13+x+25ms-1

1-10已知一质点作直线运动，其加速度为a=4+3rms-2,开始运动时，工=5叫v=0,求该质点在，

=10s时的速度和位置.

解：:a=—=4+3t

dr

分离变量，得dr=(4+3/)dr

3

积分，彳孑v=4fH—/2+c,

2

由题知，f=0,v0=0,t?1=0

/3，

故=4t+-t-

v2

ch-.3,

又因为v=—=4/+-/~

dr2

分离变量，dx=(4r+-r)dr

2

3

积分得x=2r+-r+c2

由题知f=0,x0=5,/.c2=5

故x=2t2+-r3+5

2

所以r=10s时

v=4X1()4--X102=190ms-1

102

.1,

x=2xlO2+-xl034-5=705m

102

1—11一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为。二2+3”，。式中以弧度计，/以秒计，求：（1）t=2

s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？

de八2cdG

解：co=——=9厂，£=—=18f

drdr

2

(1)r=2s时,aT=R。=1x18x2=36m-s-

%=Reo2=1x(9x22)2=1296ms

（2）当加速度方向与半径成45°角时，有

tan45°=—=1

即Reo2=Rp

亦即(9r2)2=18/

32

则解得=—

9

于是角位移为

2

0=2+3t3-2+3x—=2.67rad

9

1-12质点沿半径为7?的圆周按s=卬一^42的规律运动，式中$为质点离圆周上某点的弧长，％,〃都是常

量，求：（1），时刻质点的加速度；（2），为何值时，加速度在数值上等于

解：（1）v=—=v-bt

dr（）

dv.

a=—=-b

rdr

4“--------Z---

RR

则a=如+却=++”？

加速度与半径的夹角为

a-Rb

(P=arctTan-=--------

4(均一次厂

(2)由题意应有

,J%-初尸

“3R*2*

即b2=_+''%—，)4,n(%_6)4=0

.・.当，="时，a=b

b

▲半径为R的轮子，以匀速％沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点8的运动方程为l=

R(Mt-smcot),y=R(1-coscot),式中口二%/R是轮子滚动的角速度，当4与水平线接触的瞬间开始计

时.此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求3点速度和加速度的分量表示式.

解：依题意作出下图,由图可知

、、、、、、、、0

题▲图

(1)

x=v/-2/?sin—cos—

n22

=v()t-RsinO

=R(c/)t-Rsincot)

.0.0

y=2/<sin—sin—

-22

=R(1-cos。)=R(\-cos0)

(2)

vx=—=Ra)(\-coscot)

dy.

v=—=RDsinryf)

vdf

2

av=Reos\ncot=--

*dr

D,di\.

a、,=Reocosof=--

dr

▲以初速度%=20m-sT抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角,

求：(1)球轨道最高点的曲率半径4;(2)落地处的曲率半径

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1一10图所示.

题▲图

(1)在最高点,

匕=vr=%cos600

%i=g=l°m・s"

V；

又二%=一

p<

v；(20xcos60°)

P\=—=------------------

a„10

=10m

(2)在落地点,

1

v2=v0=20m-s-,

而=gxcos60"

1-13一质点在半径为半径为0。4m的圆形轨道上子静止开始作匀角加速转动，其角加速度为a0o2

rad•s_2,求/=2s时质点上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：当/=2s时，G=aT=().2x2=().4rad-s-1

则v=RM=0.4x0.4=0.16m-s

an-Rco~=0.4x(0.4)~=0.064ms

2

at=Ra=0.4x0.2=0.08m-s-

-2

a=业+/=J(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s

▲如题1-12图，物体A以相对8的速度妙=血区沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为〃

处，8物体以〃匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度.

解：当滑至斜面底时，y=/?,则以二J丽，A物运动过程中又受到〃的牵连运动