初升高数学衔接第3讲函数的基本概念函数的表示教案（暑假衔接）

初升高精品教案

教学课题第3讲函数的概念及其表示

1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系。

2了解构成函数的要素；

教学目标3会求一些简单函数的定义域和值域；

4能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

5明确函数的三种表示方法；

教学重难点1理解函数的模型化思想；2.明确函数的三种表示方法；3.了解分段函数。

第1节函数的概念

今天我们学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的

观点，揭示了函数概念的本质。

我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1895年)时，首先把“function”译成函数。之所以这么翻

译，他给出的原因是''凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变

化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

函数是科学技术的重要工具，小到手机，ipad,大到神9上天，无论从飞行器设计，到轨道计算，哪里

都离不开函数运算，而且必须保证高度准确，否则就无法成功。

(一)函数的有关概念

1.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系3使对于集合A中的任意一个数X,在集合B

中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数(function).

记作：y=f(x),x£A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数

值，函数值的集合｛f(x)|x£A｝叫做函数的值域(range).

注意：

①函数首先是两个数集之间建立的对应.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f,都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的

---对应或多一对应。

强调：

①y=f(x)w是函数符号，可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

2.构成函数的三要素:

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义域都确定了,

那么函数的值域也就确定了.

考点：

（1）求函数定义域

说明：

①函数的定义域通常由问题的实际背景确定。

②如果只给出解析式y=f（x）,而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的

实数的集合；

③函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

（2）判断两个函数足否为同一函数

说明：

①构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如

果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

3.区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间;

（3）区间的数轴表示.

例1.判断下列函数/小）与g是否表示同一个函数，说明理由？

例2.求下列函数的定义域

例3在下列从集合A到集合B的对应关系中，不可以确定丁是x的函数的是

例4.求下列函数的值域：

变式2：求下列函数的值域:

第2讲函数的表示

复习初中已经遇到过的对应：

1.对于任何一个实数小数轴上都有唯一的点P和它对应；

2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对和它对应；

3.对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

4.金逸影城的变形金刚4的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

1.我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任

意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射

（mapping）

2.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元

素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AfB为从集合A到集合B的一个

映射（mapping）.

记作“f：AfB”

3.映射与函数

由映射的定义可以看出,映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的

两个集合A3必须是o

4.表示函数的方法常用的有：

（1）解析法：用表示两个变量之间的对应关系;

（2）图像法：用表示两个变量之间的对应关系;

（3）列表法：用表示两个变量之间的对应关系;

5.分段函数

在函数的定义域内，对于•自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

对分段函数的概念.需要注意：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

例1.求下列函数的解析式：

（1）已知/（工）是一次函数,且心叨=%+4,求/G4

的原象是（）

A、A中每个元素必有象，但B中元素不一定由原象;

B、B中元素必有原象，

C、B中元素只有一个原象；

D、A或B可以空集或不是数集；

例3.作出下列函数的图象

例4.在运距不，超过500公里以内，投寄快寄包裹，首重不超过1000克需付邮资5元，5000克以内续重每

500克需付邮资2元，5001克以上续种500克需付邮资1元（不足500克，按500克计算），一件重x克的

包裹需付邮资y元，

A.磨剑

一.选择题

A.25B.36C.42D.49

A2x1Bx+1C2x+lD1

二.填空题

B.挑战

3.函数)，可㈤是一次函数，Rf[f(x)J=9x+8,^.f(x).

4.已知3f(x)+2f(x)=x+3,f(x)

A2B3C6D9

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