高二期末常考基础题型专练（解析版）-【重难点突破】2024-2025学年高二年级上册数学常考题专练

高二期末常考基础题型专练

总览题型解读

一.直线与圆命题的真假判断一一七.空间中点到直线的距离及两平行直

二.等差数列的性质线间的距离

三.等差数列的^念与判定一十八.直线的两点式方程

四.等差数列的前n项和（共4小题）一十九.圆的标准方程

五.等比数列的性质二十.直线与圆的位置关系（共7小题）

六.等比数列的前n项和二士一.圆与圆的位置关系及其判定

七.错位相减法二+二.由点差法求椭圆的标准方程

八.数列求和的其他方法二十三.椭圆的几何特征

九.数列递推式二十四.椭圆的中点弦

一十.异面直线及其所成的角二十五.抛物线的焦点与准线

一十一.空间向量的数量积运算二+六.直线与抛物线的综合

一十二.空间向量基本定理、正交分解及坐二十七.抛物线焦点弦与准线

标表示二*八.求双曲线的渐近线方程

一十三.平面的法向量二十九.双曲线的几何特征（共5小题）

一十四.直线与平面所成的角三+.直线与圆锥曲线的面积问题

一十五.二面角的平面角及求法（共6小题）三十一.轨迹方程

一~I■六.由垂直关系求参数三4二.直线与圆锥曲线的定点定值问题

IB噩知识侬与常考题型

题号34568161828313840

答案ACCDDDBCDDC

题号4143444849505158

答案BDCDCCAC

一.命题的真假判断与应用（共1小题）

1.（2023秋•盐田区校级期末）下列说法正确的是（）

A.直线XCOS/9+0），+2=0的倾斜角的范围是[0,-]M[—,外

6,6

B.直线（3+m）x+4y-3+3m=（X/WGA）恒过定点（-3,-3）

C.曲线G:Y+）；+2x=0与曲线G：V+y2-4,v-8y+〃?=。恰有三条公切线，则in=4

D.方程J（x+4）2+y2-Ja-4f+），2=6表示的曲线是双曲线的右支

【答案】ACD

【解答】解：对于A，直线的斜率出出，6，

A:=--cos^e[-——]

333

.•.直线的倾斜角的范围是[0，乃।[5乃，7ty故A正确；

对JB：直线方程整理为：*x+3）+（3x+4y_3）=0,

由卜+3=0，解得卜=-3，故该直线恒过定点（一3,3），故8错误：

3x+4y-3=（）y=3

对于C,丁曲线G:丁+J+2工=0，曲我C2:丁+丁-4x-8），+m=0付二条公切缥

.•两条曲线均为圆,故20-〃?>0,即mv20,

且两圆的位置关系为外切，

故圆心距」=|。£|=再而不=5=由+]'解得：〃—故C正确；

对于设尸（X,）,），4-4,0），8（4.0），

则方程等价为|网-|阳=6<|AB|=8,

则根据双曲线的定义可知，尸的轨迹是以4、8为焦点的双曲线的右支，故O正确；

故选：ACD.

二.等差数列的性质（共1小题）

2.（2023秋•金华期末）己知等差数列｛q｝的公差为-3,若%>（），4<（），则首项4的值可能是（

）

A.18B.19C.20D.21

【答案】BC

【解答】解：由题意，可得

出=q+6d=«1—18>0,

4=4+7J=«)-21<0

18<«（<21,

故选：BC.

三.等差数列的概念与判定（共1小题）

3.（2023秋•宝安区期末）若（〃“}是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A-{\an\}B.{牝+「4}

C.{pa“+g}（p,q为常数）D.{2an+n）

【答案】A

【解答】解：若{q）是等差数列，设公差为

当a=〃-2时，la।显然不是等差数列，A符合题意；

〃—〃-〃为常数列，一定为等差数列，不符合题意；

因为pa.+i+q-（pa“+q）=Plh-a.）=pd（d为吊数）'

所以+/为等差数列，不符合题意；

2%+〃-”「（〃-1）=2（—+1=如1为常数，即{2%+〃}一定为等差数列，不符合题意•

故选：A.

四.等差数列的前n项和（共4小题）

4.（2023秋•南山区期末）记公差不为零的等差数列{%}的前〃项和为S”,若九=3（4+3^+%）,

则&=（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】C

【解答】解：设等差数列但“}的公差为4,则〃工0,

S、5=3（%-t-3%十%）'

15x14，

/.15a]+---d=3f"+d+3q+24d+q+（攵-l）d]

即15^+105d=l5a,+3（k+24）d'

.•.3（0+24）=105,

解得左=11.

故选：C.

5.（2023秋•龙岗区校级期末）已知等差数列的前〃项和为S.,S4=l,SL4，则

«17+«18+a194-a20=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解答】解：根据题意，等差数列口｝中，邑，品7.每「SJ兀-兀，52。-九……也成等

差数列，

其首项5=1，第二项£_$=3，则其公差。=3-1=2,

则$2。-兀=1+2（5-1）=9'故知+q8+/+生。=9.

故选：C.

6.（2023秋•深圳期末）设等差数列｛可｝的前〃项和为S”,若-4+4O+4=2O,则片=（

）

A.150B.120C.75D.68

【答案】。

【解答】解：因为等差数列（q｝满足%+%+%+/+《尸2。，

所以5%=20，即为=4，

所以（6+如“17=也也=7x4=68.

1722）

故选：。.

7.（2023秋•龙岗区校级期末）己知等差数列他“｝的前〃项和为工，公差d*0,S：〃wN）,则

（）

A.q<0B.d>0C.a4„0D.S9<0

【答案】ABC

【解答】解：根据题意，等差数列｛6｝中，

Y'ICS，则有SC»CC»

力5,•Qj

f

则/a=S4-S”0，a5=S5-S4..OC正确；

必有〃=6_q>0，4正确；

则有q=《-4d<0，A正:确；

（4+4）x9J。叫误•

故选：ABC.

五.等比数列的性质(共1小题)

8.(2023秋•下城区校级期末)已知等比数列｛《｝的前〃项和为S”，$。=1,^=13,S40=()

A.-51B.-20C.27D.40

【答案】。

【解答】解：由｛%｝是等比数列，且九=1>0,S30=I3>0,得4>0,S4G>(),且1<52。<13,

S4c>13

所以九，520-510,SW-S20,S4c-SR成等比数列，

即1,5^-1,13-5^,S4o-13构成等比数列，

..(4—1)2=1x(13—520),解得邑o=4或邑。=一3(舍去)，

/.(B-SJO)2=(520-1)(5^-13),即92=3x(Sg—13),解得%=40.

故选：D.

六.等比数列的前n项和(共2小题)

9.(2023秋•温州期末)已知正项等比数列｛为｝的前〃项和为S”，53=2%+3《，且%=16,则q=

I.

【答案】1.

【解答】解：正项等比数列｛q｝中，S3=2a2+3«(,且6=16,

所以卜4(1””2)=2。q+3q,解得a.,g=2(舍负).

4g=16

故答案为：1.

10.(2023秋•龙岗区校级期末)一个乒乓球从而高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原

米高度的2,在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为—

3_9一

【答案】—.

9

【解答】解：由题意得第3次着地时，乒乓球经过的总路程为：

S=l+2x-+2x（-）2=—/».

339

故答案为：”.

9

七.错位相减法（共2小题）

11.（2023秋•嘉兴期末）已知数列｛〃“｝的各项均为正数，其前〃项和为S”，且2s“=q（勺-1）.

（1）求｛q｝的通项公式；

（2）记九为｛%｝在区间（S/S%）中的项的个数，求数列｛%4｝的前八项和十.

【答案】⑴%=3"；

（2）7；,=^—i-3n+,+-.

"44

【解答】解：（1）•.•数列｛/｝的各项均为正数，其前〃项和为5“，旦2S”二q（a“-l）.

/.2ax=4（q-1）=4=3,贝!j2S“=3an-3»

•*-2々用=2（Sn+]-Sn）=3（。用一a”）=。，川=3a.，

二.{aj是首项为3公比为3的等比数列,则〃“=3".

oq/r+l_q

(2)vS=-(3H-l)=-——,

“22

当〃=1,区间(£,52)=(3,12),则4=1,

当”..2，可<S“<a,m,a2,l<S2ll<a2n+l,

即当，儿.2,在区间(s“，S2Q内的项有。"，%+2，，%，则⑥=加，

bn=n,anhn„=n-3”,

23234

7；,=3+2-3+3-3+..+H-3\37；=3+2-3+3-3++〃々田，

作差得，-27；,=3(D_，i・T+,=(--7Z)-3,,+1-

”1一322

2/z-1

4・F,

12.(2023秋•罗湖区期末)已知数列仅“｝的前〃项和为工，满足％=2S,,+4(〃eN*),且4=4.

(1)求｛，”｝的通项公式；

(2)若2=("一»%,求数列｛d｝的前〃项和7；.

4

【答案】(1)%=4X3”T,〃CN'；(2)7；=l+(〃—l)x3".

【解答】解：(1)由/+]=2S,+4可得，当儿.2时，q=2S,_]+4,

以上两式相减可得qm-％=25“-2S“T=24,

即%=3%，

当,2=1时，a2=2sl+4=12,满足生=3q,

所以数列优〃｝是以4为首项，3为公比的等比数列，

故q=4X3"T”M.

(2)2=(2〃；)%=⑵1"I,

7；,=1x3°+3x3'+5x32+...+(2/i-i)x3w-1,

,23

37；I=1X3+3X3+5X34-...4-(2/7-1)X3\

两式相减，得一27；=1+2X6+32+—+3"T)-(2〃-1)X3”

=]+2><3X(：―；)_(2/LI)X3"

=-2+(2-2n)x3n,所以7；=1+(〃-1)x3".

A.数列求和的其他方法（共1小题）

13.（2023秋•下城区校级期末）已知正项数列｛q｝的前〃项和为S“，且满足8S“=d+44+4.

（1）求数列伍“｝的通项公式;

2"i〃为奇数

（2）若低｝=1治保将，收｝的前〃项和为，，求八

〃为偶数

【答案】（1）=4〃-2,N*；

(2)T.=-+2n2-n--

~n33

【解答】解：（1）由题意，当〃=1时，8q=8，=〃：+4q+4,

整理，得d-4%+4=0,

解得q=2,

当〃..2时，由85“=〃：+4/+4,

可得8s,7=破产4<%+4，

两式相减，可得8%=d-片7+4%-4%_

化简整理，得利+%）（%—%—4）=0,

〃”>()，nwN*»

rn-l>0,

二•a”一-4=0，即4_a,T=4，

.••数列｛《｝是以2为首项，4为公差的等差数列，

=2+4,-1)=4〃-2,〃eN*.

(2)由(1)可得，

〃为奇数为奇数

七明〃为偶数7-3/为偶数

•-T2n=b、+b2+&+b4+&+/+••.+%+b2n

=2°+l+22+54-24+9+...+22n-2+(4n-3)

=(2°+22+24+...+22"-2)+U+5+9+...+(4〃—3)]

l-22nH-(1+4/1-3)

=-----+----------

1-222

九.数列递推式（共2小题）

14.（2023秋•金华期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该

数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈If4-2-1.这就是数学史

上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数〃?=6,根据上述运算法则得出

6-3—10-5->16—8—472—1,共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.数列他“}

满足冰雹猜想，其递推关系为：％为正整数），=.3%当凡为偶数时.若q=l,则"?

3a“+1,当为为奇数时

所有可能的取值为1和8.

【答案】1和8.

【解答】解：当q=1时，/=2，%=4,q=8或1,

故机所有可能的取值集合是｛1，8｝.

故答案为：1和8.

15.（2023秋•罗湖区期末）知数｛%｝满足％=2,4.1=54+12,则数列｛4｝的通项公式4=

5"-3_.

【答案】5"-3.

【解答】解：由q=2,a"+[=5%+12,

可得4+1+3=53.+3），

则数列｛〃“+3｝是首项和公比均为5的等比数列，

可得q+3=5",即4=5”-3.

故答案为：5”-3.

一十.异面直线及其所成的角（共1小题）

16.（2023秋•罗湖区期末）正方体ABCO-AgG"中，用是4R中点，则异面直线CW与AB1所

成角的余弦值是（)

A也

A.—B.

33D/

【答案】D

【解答】解：连接用〃，取的中点N,连接CN、MN、4。、CR、AC,

在△A8Q中，M、N分别是40、4R的中点，所以MN//A4，且MN=g/W1,

因此，4CMN（或其补角）就是异面直线CM与八々所成角,

设正方体的棱长为2,则等边△AQC的边长为2夜，可得CM=半AC=«,同理可得CN=卡,

在△CW?V中，MN=、AB\=也,可得cosNCMN=6+」一"=正,

22xV6xV26

所以异面直线CM与所成角的余弦值是走

6

故选：D.

一十一.空间向量的数量积运算（共1小题）

17.（2023秋•深圳期末）如图所示，平行六面体A3CO—A5c〃中，\C^B[DX=O[,以顶点A为

端点的三条棱长都为2,且NR4O=N£>A4]=N3A4,=6（）。，则卜.列结论正确的是（）

3

A.|BD.|=2>/2B.DO\B\C=-j

C.〃平面D.ACj±BD

【答案】ACD

【解答】解：设A8=a,AD=b,AA}=c,

则由题意有:\a\=^b\=\c\=2,

ab=ac=h-c=2x2x—=2,

2

选项A,BD】=ADt-AB=-a+b+c,

则18A|=yj(-a+b+c)2=712-4-4+4=2x/2,

即|B£>J=2&,故A正确；

选项8,DC\=DD、+DQi=c+；(a-b),

B£=BC-BBi=b-c,

则DQ.B©=(ga-；b+c).(h-c)

=l-l-2+l+2-4=-3,故8错误；

选项C,连接AC,8。交于点O,连接。A，CO1,

QA=/L4,-/\O=c--(«+/?).

所以CQ；=OA,即CQ//Q4，

又平面AB。，。4,<=平面43。，

所以CQ//平面A4O，故C正确：

选项。，AC)=a+b+c,BD=b-a,

则ACt-BD=(a+b+c)•(b-a)

=2-4+4-2+2-2=0,故4GJ,3。，故。正确.

故选：ACD.

一十二.空间向量基本定理、正交分解及坐标表示(共1小题)

18.(2023秋•下城区校级期末)以下四个命题中，正确的是()

A.^OP=-OA+-OB,MP,A,"三点共线

23

B.若｛4,九。｝为空间的一个基底，贝I」｛。十。/十乙。十〃｝构成空间的另一个基底

C.(ab)c=a(bC)

D.若a•b=a•c,且。工0,则力=5

【答案】B

【解答】解：对于A：由于=故尸、A、8三点不共线，故A错误;

23236

对于3:若｛。,dc｝为空间的一个基底，a+b=2(Z?+c)+ju(c+a),不存在实数力和〃使关系式成立,

故｛a+b2+5,。+〃｝作为向量的另一个基底，故4正确;

对于C：由于c和〃不共线，故,故C错误;

对于Q：若a•b=a-c,整理得〃•（/?-c）=（）,故a_LS-c）,故O错误.

故选：B.

一十三.平面的法向量（共1小题）

19.（2023秋•金华期末）已知u为直线/的方向向量，勺，々分别为平面1,夕的法向量（a,//不

重合），那么下列说法中，正确的有（）

A.n}//n2oa!!pB.rtj±/?,<=>a±C.v//n1o///aD.v±/z（<=>/±a

【答案】AB

【解答】解：v为直线/的方向向量，斗,曲分别为平面々，尸的法向量（a，/?不重合），

对于A,由面面平行的性质和判定定理得：nJhi10aMi3,故A正确；

对于8,由面面垂宜的性质和判定定理得：故8正确；

对于C,由线面垂直的性质和判定定理得"/々o/_L。，故C错误；

对于Q,由线面平行的性质和判定定理得u_L，qo"/a,故。错误.

故选：AB.

一十四.直线与平面所成的角（共1小题）

20.（2023秋•温州期末）如图，四棱锥尸-ABCZ）的底面是边长为1的菱形，ZABC=-^,叨_1_平

3

面WAS,PD=1,M为必的中点.

（1）求证：平面M4C_L平面尸/出；

（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值.

p

M

D

A

B

证明过程见解答；(2)叵

【答案】(1)

4

【解答】解:(1)证明：平面AACD,ACu平面AACZ),

:.PDLAC,

.四边形是菱形，.•.AC_L8£),

vBD[\PD=D,.•.AC_L平面尸£应，

•.ACu平面AMC,平面MAC_L平面PDB；

(2)过点尸作尸，_L平面4WC,交平面/WC于点H,

连接C",则NPC”是CP与平面M4C所成角,

连接40,交4c于O,连接QW,

♦.•尸D//QW,.•/£>//平面AMC,「.PH是点。到平面4WC的高,

PD_L平面A8CD,:.OM工OD,

.•平面AMC_!_平面PDB,平面AMCC平面PDB=OM,

.•.OD_L平面AMC,:.PH=0D=-,PC=x/2

2

设CP与平面MAC所成角为0，

则CP与平面MAC所成角的正弦值为sin^=—=i=—.

PCx/24

一十五.二面角的平面角及求法（共6小题）

21.（2023秋•嘉兴期末）如图，四棱锥P-A5CD的底面是边长为2的菱形，Za4£>=60°,PALPC,

PB=PD,石为PC的中点.

（1）证明：尸C_L平面8ED；

（2）若PD工AB,求平面PAA与平面加Z）夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见过程;

(2)T

【解答】（1）证明：如图,

连接AC与交于点O,则。为AC中点，也为小）中点,

连接OP,OE,因为PB=PD,

所以加＞_LO〃，又“DJLAC,AC,8是平面7MC内两条相交线,

所以8O_L平面抬C,PCu平面抬C,

所以8Z）_LPC,因为O,石分别为AC,尸C中点,

所以AP//OE,因为Q4_LPC,

所以夕CJ.OE.又RD,OH是平面“£店内两条相交线,

所以PC_L平面比。；

（2）因为8O_L平面A4C,所以平面ABCD_L平面Q4C,作尸”_LAC,交点为”,

则叨_1_平面488,由知OH_LAB,

则OH」Q/4=3,ZV/2HC=§,PH1瓜.

3333

如图，以O为原点建立空间直角坐标系，

则A(0,-6，0),B(\,0,0),P(0,--,—),AB=(1,AO),AP=(0,—

333

设平面PAB的一个法向量m=（x,y,z）,

x+x/5y=0

in-AB=0

即J取加=（2x/I—2,近），

m-AP=0正y+巫z=0

33

473一2灰）

平面世花的一个法向量PC=（0,

设平面PAB与平面BED的灭角为〃,

|用•PC|二小

则cos6=|cos〈m,PC）I：

I”小|PCI9二瓦-3

所以平面E4B与平面曲夹角的余弦值为—.

3

22.（2023秋•下城区校级期末）如图，在平行四边形A8CD中，AB=\,BC=2,ZABC=60°,

四边形ACE厂为正方形，且平面ABC£）_L平面AC£F.

（1）证明：ABLCF；

（2）求平面8石尸与平面AD产夹角的余弦值.

【解答】（1）证明：在三角形人AC中，AB=\,BC=2,乙48C=60°,

由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC,

即AC2=12+22-2X1X2COS60°=3,即AC=6,

则有4c2+44=4=BC"则Za4C=90。，BPABLAC,

又平面45CD_L平面ACE/L平面A3CQC平面ACEV=AC,A8u平面A48,

于是得AAJ_平面ACE尸，又C/u平面AC£7L

所以/VJJLCZ7；

（2）解：因四边形AC£尸为正方形，则AFLAC,

由（1）知AB,AC,AF两两垂直，

以点A为原点，AB,AC,AF所在直线分别为尤，y,z轴,

建立空间直角坐标系,如图所示.

则A(0,0,0),8(1,0,0),0(0,0,0),尸(0,0,6),D(T,6,0),E(0,6®

FE=((),>/3,()),BF=(-l,(),x/3),

设平面BEF的一个法向量为〃=(0X0),

则由卜"*=同=]，令4=1,WH=(73,0.1),

n-BF=-Xj+J3Z[=0

,Z

设平面ADF的一个法向量为W=(X2O2，2)»

AF=(0,0,G),A。=(-1,G,0),

则有卜A公用U,令％"得〃』"],()),

[m-AD=-x2+\13y2=0

m-n73x753

则cos〈〃?,〃〉

J（G）2+rx"（G）2+14

所以平面BEF与平面ADF夹角的余弦值为

4

23.（2023秋•宁波期末）如图所示，在三棱锥ABC中，侧棱Q4_L底面ABC,BCA,AB,

PA=AB=BC=2,M为棱PC的中点，N为棱8C上的动点.

（1）求证：AMVPB.

【答案】（1）证明过程见解答；（2）2.

【解答】解：（1）证明：取用中点O,连接A。，DM,

因为P4=A3,所以40_LP8,

因为以底面八4C,所以m1J_AC,

因为8C_L4?,PA^AB=A,所以8CJ_平面Q48,

因为尸Bu平面P4B,所以8C_LP8,

因为M为棱PC的中点，所以MD//8C,所以。8_LMD,

所以尸8_L平面ADW,因为AWu平面A0M,所以P8_L4W.

（2）以A为原点，AB,AP所在直线分别为y,z轴，建立如图所示坐标系,

贝O,0),P(0,0,2),8(0,2,0),C(2,2,0),

1),AM=(1,1,1),/\fi=(0,2,0),BC=(2,0.0),

设3N=43C(0领兑1),AN=AB+BN=AB+ABC=(2A,2,0),

由题知，平面AMC的法向量〃?=(一1,1,0),

令〃=(x,y,2)是平面AMN的一个法向量，则〃_LAM,nlAN,

n-AM=0k+y+z=0

即《

〃AN=02Ax+2y=0

令x=l,则y=-4,z=A—1,〃=(1,-2,4-1),

_"+1|_"+1|

由cos〈〃•ni)=

V2jl+A2+(/l-l)22VA2-A+114

解得4=2或％=3(舍).

32

所以BN=ZBC,所以处=2.

3NC

p

A^B

c

24.(2023秋•杭州期末)如图，在多面体八尸中，四边形人08是边长为2的正方形，EF//AD,

AE=2EF=2,ZE4D=120°,平面4)FE_L平面A38.

(I)求证：BDLCFx

(II)求平面A跖与平面/比卢所成锐角的余弦值.

【答案】(I)证明详情见解答.

(II)叵.

4

【解答】解：(I)证明：连接所，

因为EF//AD,ZE4D=120°,

所以NA£b=60°,

因为AE=2砂=2,

所以AF二\lAE2+EF2-2AEEFcos600=J5,

因为A尸+£尸=1+3=,

所以

因为£73/4）,

所以A尸_LA£>,

因为平面4）庄，平面A38,平面ADfEC平面ABCD=A。，A尸u面AD庄,

所以4bd.面人4s.

因为AOu面ABC。，

所以AF_L3。，

连接AC,在正方形ABC。中，ACVBD,

因为4尸。4。=人,且4万，ACu面AFC.

所以3£>_1面4"?，

因为CFu面八fC,

所以BDLCF.

（II）由（I）知人笈，AD,人尸两两垂直，以人为原点，/3,/W,AF所在直线分别为x,），，

z轴，建立空间直角坐标系：

48=(2,0,0),AE=(0,-1,x/3),BD=(-2,2,0),DF=(0,-2,5,

设平面ABE的一个法向量为，〃=（x,,x,Z1）,

AB-m=2x=0

由，}

AE-m=-+£z[=0

令y=6,则Z1=1,X=0,

所以"?=（0,百，1）,

设平面BDF的一个法向量为〃=（工2，y2»2,）,

BD-n=-2X+2y2=0

由，2L，

DF•n=-2y2+\J3z2=0

令XL6，则必=G，z2=2,

所以〃=（6，62）,

设平面ABE与平面BDF所成的锐角为0,

.mn,|5|、伍J

H即ncos。=|------1='=——，

Im||/J2xx/l04

所以平面ABE与平面瓦下所成的锐角的余弦值为巫.

4

25.（2023秋•南山区期末）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，已知A3//8,ADJ.CD,BC=BP,

CD=2AB=4,AA。尸是等边三角形，且石为OP的中点.

（1）证明：A£//平面必C；

⑵当幺=6时，试判断在棱8c上是否存在点M,使得二面角%-E的大小为60。.若存在，

请求出也的值；否则，请说明理由.

BC

【答案】（1）证明见解答；

/c、BM2

（2）存在，-----=—.

BC7

【解答】（1）证明：在四棱锥P-ABC。中，已知A8//CO,AD1CD,BC=BP,CD=2AB=4,

如图，

取PC的中点/，连接叮，BF,

AAOP是等边三角形，且E为D尸的中点..\AEA.PD,

••E是棱的中点，F为PC的中点、，.•.EF//CD,^LEF=-CD,

2

AB//CD,AB=-CD,EF/1AB,且EF=AZ?,

2

四边形ABFE是平行四边形，

BFu平面PBC,AEU平面依C,

.•.山〃平面me；

（2）解：AAD尸是等边三角形，石为止的中点，

•：BC=BP,且尸为PC的中点，:.BF工PC、

-AE//BF,:.AE±PC,

又且4?_L〃C，PCQ/,D=/,,PC,/Y〉u平面"CP,

.•.AE上平面PCD,COu平面PS,

/.AE±CD,又4OJ_C£>,ADf^AE=A,且AD,AEu平面AD尸,

.•.CDJ_平面皿\「.MJ"平面AD尸，

以E为坐标原点，£P,//EF的方向分别为x,），，z轴的正方向,

建立如图所示空间直角坐标系E-.pz,

则P(\0,0),A(0,3>/3,0),B(0,3x/3,2),C(-3,0,4),

假设存在满足题设的点M,不妨设M（〃，b,c）,且二竺=/1,则2c[0,1],

...BM=(a,b-3Gc-2),且8C=(-3,-3R2),

又BM=2BC,BP(«,/>-3^,c-2)=(-3A,-3^/t,2A),

a=-34,

则有《〃一3N/5=-3&,则/=3右(1一/1),即M(-34,36(1-A),2(1+4)),

c=2(1+2),c-2=22,

设平面PAM的一个法向量为n=(x,y,z),

易知尸A=(-3,375,0),PM=(-3(1+2),375(1-2),2(1+2)),

,\n-PA=-3X+3\/3y=0

川L，

n-PM=-3(l+2)x+3V3(l-A)y+2(l+/l)z=0

令x=8'则），=Lz=誓，，〃=（61，警），

不妨取平面W的一个法向量为〃7=（0,0」），

3&

£

则|COS〈〃2,〃〉|=%=36。。=

3口

2

1+2又4€[0,1],解得

.••存在满足题设的点“，此时跑=2

BC7

26.(2023秋•龙岗区期木)如图，在四棱锥5-/WCZ)中，SA1CD,AD//tiC,4)_LA«,SB=bD,

AB=AD.

(1)求证：&1JL平面A8CD；

(2)若%=AB=AD=1,BC=2,SN=/ISC(()<4<1),若平面3DN与平面SZ)C夹角的余弦值为

1,求实数4的值.

3

【答案】（1）证明见解答；（2）

2

【解答】解：（1）证明：如图，取3。中点E,连接SE,AE,

又SB=SD,AB=AD,

:.BD±SE,BDYAE,且5£。47?=月，

8。_L平面SAE,又3u平面SAE,

:.SA1BD,又S4J_C£>,BDfyCD=D,且BD,COu平面八AS,

平面/WS；

(2)由(1)知SAJL平面4BCO,且

.•・以4）,AB,AS所在直线分别为x,y,z轴，建系如图,

C

x

D

又S4—AB—AD—l,BC-2,

B(0,1,0),"1,0,0),S(0,0,1),C(2,1,0),

80=(1,—1,0),DS=(-1,0,1),DC=(1,1,0),SC=(2,1,-1),

SN=4SC,

DN=DS+SN=DS+ASC=(-\f0,l)+/l(2,1,-1)=(2A-1,2,1-/1),

设平面BDN与平面SDC的法向量分别为〃?=(x,y,z),n=(“,"c)

n.m-BD=JC-y=0\n-DS=-a+c=0

in-DN=(22-l)x++(1-2)z=0[n-DC=a+h=O

取〃？=(1一冗,1一43冗—1),«=(!,-1,1),

.•・平面BDN与平面SDC夹角的余弦值为：

|32-1|1

Icos<m,n>|=------=/:———=-,

J(>㈤2+(]_㈤2+(3义一ifxG3

3(3Z-l)2=2(l-2)2+(3/l-l)2,

A(3/1-I)2=(1-A)2,/.32-1=±(1-A)

解得义=■!"或o,又/le(0,l),

2

故实数％的值为

2

一十六.点、线、面间的距离计算(共1小题)

27.(2023秋•南山区期末)已知平面a的一个法向量为〃=(I,-1,2),若点A(-l,0,1),8(2,

3,c)均在a内，则|A8|=_3尤

【答案】3垃.

【解答】解：根据题意，点4一1,0,1),3(2,3,C),则AB=(3,3,c-1),

若平面a的一个法向量为〃=(1,-1,2),则〃•AB=3-3-2(c-l)=0,

解可得：c=l,则43=(3,3,0),

故|/W|=W+9+()=30.

故答案为：3叵.

一十七.空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离(共1小题)

28.(2023秋•龙岗区期末)已知1),8(101),=则点A到直线5c的距离为()

A.正B.空C.逅D.巫

3333

【答案】C

【解答】解：由题知41=(0,1,()),CB=(1,-1,1),

所以3<胡，BC>=BABC4=旭,

|^A||«C|V33

sin<BA,8c>=.-(-#尸=巧,

所以点A到直线4c的距离4=|附|.sin<BA,BC>=—.

3

故选；C.

一十八.直线的两点式方程(共1小题)

29.(2023秋•宝安区期末)下面说法中错误的是()

A.经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-jci})表示

B.经过定点。（%，.%）的直线都可以用方程x不）=〃?（_y>（））表示

C.经过定点4（0万）的直线都可以用方程），=依+〃表示

D.经过任意两个不同的点片区，y）,鸟（々，必）的直线都可以用方程

（y-y）（占一%J=（%一内）（%一劣）表示

【答案】ABC

【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点P*。，%）的直线不能用方程），-先=%。-王）表示，

故A项不正确；

当直线的斜率为0时，经过定点P®,%）的直线不能用方程一寸=〃心-%）表示，故B项不正确；

经过定点4（。,〃）的宜线为y轴时，不能用方程y=丘+〃表示，故C项不正确；

对于点虫内，y）,2（9，乃），当用工乂且y/刈时.，可以用方程二工=上与表示，整理得

必一）19一X

（y->\）（^2-xi）=（x-xi）（y2-y（）,

当X=4或y=%时，直线%-％=0与直线y-y=0也包含在（二一9）（七一多）=（%—%）（必一丁1）中，

因此，经过任意两个不同的点［（%,x）,2（W，为）的直线都可以用方程

（y-y）（占一X）=（%-X）（%-』）表示，。项正确•

故选：ABC.

一十九.圆的标准方程（共1小题）

30.（2023秋•温州期末）已知圆满足：

①截），轴所得的弦长为2；

②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；

③圆心到直线/:x-2y=（）的距离为乎.

求该圆的方程.

【解答】解：设所求圆心为长力)，半径为,•，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|6、|a|,

因圆尸截)，轴得弦长为2,由勾股定理得尸=々2+],又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3:1,

•••劣弧所时的圆心角为90。，

故r=>[2b,即产=2b2,

.•.2//一/=1①，

又・尸(。,勿到直线x-2y=0的距离为正，

5

即与监

65

a—2b=±\.②

〃=]〃=I

解①②组成的方程组得：，，或，一，，于是即产=2/=2,

b=1b=-1

所求的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(1-1)2+()，-1)2=2.

二十.直线与圆的位置关系(共7小题)

31.(2023秋•盐田区校级期末)已知圆C:/+)，2=1,直线/：)，=2x+〃相交，那么实数人的取值范

围是()

A.(-3,1