2026新教材数学 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学课件-初中数学人教版九年级上册

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系

2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章

一元二次方程问题1以下3个方程，请同学们自主选择其中的一个，快速算出它的两根之和与两根之积，看谁算得最快．①x2－6x＋8＝0；②x2－4x－6＝0；③2x2－3x－2＝0．x1＋x2＝6，x1x2＝8．x1＋x2＝4，x1x2＝－6．x1＋x2＝

，x1x2＝－1．一元二次方程的两根之和、两根之积，可以直接由方程的系数算出来．如何研究？问题2当一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足什么条件时，方程有实数根？你能表示出它的实数根吗？当

Δ≥0时，方程有实数根．方程的根由什么确定？给定系数，可以通过求根公式计算方程的根．那么，根与系数之间，是否还存在其他简洁的关系？系数问题若一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为

x1，x2，观察求根公式

它们之间有什么特点？你能获得什么启发？能得出哪些结论？同一个数加、减同一个根式．x1＝

＋

，x2＝

－.问题x1＝

＋

，x2＝

－.x1＝m＋nx2＝m－nmmnn要想获得形式简洁的关系，就需要去掉

n

中的根号．看到

m＋n和m－n的形式，大家回忆整式运算的知识，什么样的代数运算可以去掉

n

中的根号？问题x1＝

＋

，x2＝

－.x1＝m＋nx2＝m－nmmnnx1＝m＋nx2＝m－nx1＋x2＝2m＝x1x2＝m2－n2＝还有其他获得根与系数关系的方法吗？一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0问题因式分解a(x－x1)(x－x2)＝0方程的根x1，x2左边展开ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0－a(x1＋x2)＝bax1x2＝c问题一般地，对于一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当

Δ≥0时，方程有实数根．两个实数根

x1，x2与其系数

a，b，c有如下关系：

例

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根

x1，x2的和与积：（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2．解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15．（2）x1＋x2＝x1x2＝（3）方程化为

4x2－5x＋1＝0，所以

x1＋x2＝x1x2＝先化成一般形式确定a，b，c的值代入公式注意系数的符号归纳运用一元二次方程根与系数的关系解题时，需注意以下几点（1）先将方程化为一般形式

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定

a，b，c的值；（2）注意各项系数的符号，避免符号错误；（3）利用根与系数的关系的前提是方程有实数根，即Δ≥0．对于上述方程，能否利用根与系数的关系，求出

x12＋x22和

的值？转化为用

x1＋x2与x1x2表示的形式x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，把x1＋x2，x1x2的值代入，即可计算出结果．归纳巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值（1）计算：计算出

x1＋x2，x1x2的值；（2）变形：将所求的代数式变形为用

x1＋x2和

x1x2表示的式子；（3）代入：把

x1＋x2，x1x2的值代入所求的代数式计算．1．不解方程，求下列方程两个根

x1，x2的和与积：（1）x2－3x＝15；

（2）3x2＋2＝1－4x；解：（1）方程化为

x2－3x－15＝0，所以

x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15．（2）方程化为

3x2＋4x＋1＝0，所以解：（3）方程化为

x2＋x－1＝0，所以

x1＋x2＝－1，x1x2＝－1．（4）方程化为2x2－4x＋1＝0，所以1．不解方程，求下列方程两个根

x1，x2的和与积：（3）5x2－1＝4x2－