3.2 第2课时 反比例函数的性质2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

第三章反比例函数2反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数的性质

1.通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象和性质.2.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.3.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.学习目标学习重难点重点难点利用反比例函数的图象性质解决问题1.理解反比例函数的性质2.理解反比例函数的系数k的几何意义1．问题1反比例函数的图象是什么？2．问题2反比例函数的性质是什么？

能类比前面学习的一次函数得到吗？反比例函数的图象是双曲线复习导入观察反比例函数的图象，你能发现它们共同的特征吗？思考(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？知识点1

反比例函数的性质探究新知（1）函数图象分别位于哪几个象限内？函数的图象都位于一、三象限.（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？随着x值的增大，y越来越小.（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？图象两端无限延伸靠近坐标轴，但不和坐标轴相交.●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：考察当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象，它们有哪些共同特征？观察·思考反比例函数(k＜0)的图象和性质：●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而增大.(1)当k>0

时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一

象限内，y随x的增大而减小；(2)当k<0

时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：k的正负决定反比例函数所在的象限和增减性特别提醒

在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一象限内”.(3)当x的绝对值无限增大时，双曲线的两支无限接近x轴；当x的绝对值无

限接近零时，双曲线的两支无限接近y轴，但永远不会与坐标轴相交。

总结例2

已知反比例函数，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=-1，且a－1<0．解得a=-3.知识点2

反比例函数的图象和性质的初步运用

已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得m2－10=-1，且3m－8＞0．解得m=3.练一练例3

已知反比例函数的图象经过点A(2,6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：设这个反比例函数的解析式为，因为点

A(2，6)在其图象上，所以有

，解得k=12.

因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D

不在这个函数的图象上.

所以反比例函数的解析式为

.例4

若反比例函数的图象经过点A（－3,6）。（1）求这个反比例函数的表达式；所以k=-18。解：

设反比例函数的表达式为将点A（-3,6）代入

得，所以这个反比例函数的表达式为（2）在这个函数的图象上任取点A（a，m）和点B（b，n），若a>b>0，那么m和n有怎样的大小关系?因为k<0，所以在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.又因为a>b>0，所以m>n.若把上题中的条件“a>b>0”改为条件“a<b<0”或“a>0>b”，则m与n的关系又如何？与同伴进行交流。m>n.思考·交流Q

在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？PS1S2想知识点3

反比例函数解析式中k的几何意义操作·思考1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：

P(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系

4

4S1=S2S1=S2=k51234-15xyOPS1

S2-5-4-3-21432-3-2-4-5-1Q填一填S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P(－1，4)Q(－2，2)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4

4S1=S2S1=S2=-kyxOPQS1

S2由前面的探究过程，可以猜想：

若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.QPS1S2设P点坐标为（x1，y1），Q点坐标（x2，y2），则S1=|x1|•|y1|=|k|

S2=|x2|•|y2|=|k|

S1=S2=|k|证明反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线

y=（k≠0）上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，即S1=S2=|k|QPS1S2反比例函数的面积不变性总结

QP推理

A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB1.如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（

）yxOABCC练一练2.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=

.-12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意

k＜0.yxOPA3.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向

x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形

PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是

.或

1.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围

是________.

(1)(3)m＞22.下列关于反比例函数的图象的三个结论：

(1)经过点(-1，12)和点(10，-1.2)；

(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小；

(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是

(填序号).课堂练习BA．y1>y2>y3

B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3

D．y1>y3>y24．已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝

(m是常数)的图象上，且y1<y2，则a的取值范围是__________．3.点(－5，y1)，(－3，y2)，(3，y3)都在反比例函数y＝

(k>0)的图象上，则()

A.4B.2C.－2D.不确定6.如图所示，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB

⊥x轴于点B，点A在y轴上，△ABP的面积为2，则k的值为（

）

OBAPxyA7.已知反比例