22.3.2 相似三角形的判定 教学课件 2026-2027学年华师大版九年级数学上册

相似三角形的判定（1）图形的相似会说判定两个三角形相似的方法：两角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.是否存在判定两个三角形相似的简便方法？我们在判定两个三角形全等时，使用了哪些方法？SSS，SAS，ASA，AAS那么，对于相似三角形的判定，是否也存在类似的分类与判定方法呢？45°45°60°30°30°60°从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实是这样吗？探索任意作两个三角形，使其两个角分别相等.用刻度尺量一量两个三角形的各条边，看看它们的边是否对应成比例？你能得出什么结论？ABC45°60°A′C′B′60°45°AC=5cmAB=3.7cmBC=4.5cmA′C′=4cmA′B′=3cmB′C′=3.6cm我们可以发现它们的对应边成比例，于是这两个三角形相似.相似三角形的判定定理１文字语言几何语言图示两角分别相等的两个三角形相似∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′已知：如图，在△ABC

和△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1.求证：△ABC

∽△A1B1C1.ABCA1B1C1证明在边AB

或它的延长线上截取AD=A1B1，过点D

作BC的平行线交AC

于点E，则

△ADE

∽△ABC

，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B1，∴∠ADE=∠B1.又∵∠A=∠A1，AD=A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.DE思考如果两个三角形仅有一对角相等，那么它们是否一定相似？显然是不一定的，那么对于直角三角形呢？60°60°例2

如图，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′

中，∠C

与∠C′

都是直角，∠A=∠A′.求证：△ABC

∽△A′B′C′.解∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′

，∴△ABC

∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.ABCDEF例3

如图，在△ABC

中，DE∥BC，EF∥AB.

求证：△ADE

∽△EFC.证明∵DE∥BC

，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∵EF∥AB，∴∠EFC=∠B

，∴∠ADE=∠EFC，∴△ADE∽△EFC

（两角分别相等的两个三角形相似）.如图，在□ABCD中，E

为CD上一点，连结AE，F为AE上一点，且∠BFA＝∠D.求证:△ABF∽△EAD.□ABCDAB∥CD∠BAF=∠AED∠BFA=∠D△ABF∽△EAD证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFA＝∠D，∴△ABF∽△EAD.如图，在□ABCD中，E

为CD上一点，连结AE，F为AE上一点，且∠BFA＝∠D.求证:△ABF∽△EAD.1.如图，DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形.解:△ABC∽△AFI∽△AEH∽△ADG.【选自教材第79页练习第1题】ABCDGEHIF2.如图，找出图中所有的相似三角形，并说明理由.【选自教材第79页练习第2题】解:△ABC∽△CBD∽△ACD.ABCD文字语言几何语言图示注意两角分别相等的两个三角形相似∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似相似三角形的判定（2）图形的相似1.掌握相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2.掌握相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个

三角形相似.3.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，

正确判断两个三角形相似.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：（1）根据定义；（2）两角分别相等的两个三角形相似.观察下图，如果有一点E

在边AC

上移动，那么点E

在什么位置时能使△ADE与△ABC

相似呢？BACD

△ADE与△ABC

似乎相似，此时E

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.猜想BACABC你能证明这个猜想吗？已知：如图，在△ABC

和△A1B1C1中，∠A=∠A1，求证：△ABC

∽△A1B1C1.

ABCA1B1C1DE

∴AE=A1C1.又∵∠A=∠A1，AD=A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.相似三角形的判定定理2文字语言几何语言图示两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

如果相等的角不是成比例的两边的夹角，那么这两个三角形还相似吗？画一画,看看是否相似.50°10864.850°例4

如图，已知AE=54，BE=54，CE=30，FE=36.求证：△AEB

∽△FEC.

ABCEF45543630

又∵∠AEB=∠FEC

，∴△AEB

∽△FEC

（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.图中的两个三角形是否相似？为什么？（1）解:（1）图中的两个三角形相似.理由如下:∵AB＝AD

+DB＝2+4＝6，AC＝AE

+EC

＝3+1＝4，

又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.（2）（2）图中的两个三角形相似.理由如下:∵AO＝4，DO＝3，CO＝8，BO＝6，

又∵∠AOC＝∠DOB，∴△AOC∽△DOB.探索如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边上的相同倍数.画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角大小，你得出了什么结论？画一画，量一量相似三角形的判定定理3文字语言几何语言图示三边成比例的两个三角形相似

例5

在△ABC和△A′B′C′中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm．求证：△ABC

∽△A′B′C′

．

∴△ABC∽△A′B′C′

（三边成比例的两个三角形相似）.

解:甲、乙两个三角形木框相似.理由如下:

∴甲、乙两个三角形木框相似.利用三边成比例判定两个三角形相似的步骤:将每个三角形的三边按大小顺序排列分别计算最长边与最长边的比，次长边与次长边的比，最短边与最短边的比由比值是否相等来判断两个三角形是否相似一排二算三判1.依据下列各组条件，说明△ABC

和△A′B′C′

是否相似：

【选自教材第82页练习第1题】（1）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，A′B′=16cm，

B′C′=12.8cm，A′C′=25.6cm；∴△ABC和△A′B′C′相似

.（2）∠A=80°，∠C=60°，∠A′=80°，∠B′

=40°；（3）∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A′=40°，

A′B′=16，A′C′=30.（2）∵∠A＝∠A′＝80°，∠C′

＝180°－∠A′－∠B′＝60°，∴∠C＝∠C′，∴△ABC和△A′B′C′

相似.

∴△ABC和△A′B′C′相似.2.在第1题的小题（3）中，若已知BC=a，∠B=α，

你能求出B′C′

的长及∠B′、∠C′

的大小吗？写出

你的计算过程.【选自教材第82页练习第2题】解:能.计算过程如下:由题意知△ABC∽△A′B′C′，

∴B′C′

＝2BC

＝2a，∠C′

＝180°－∠A′－∠B′

＝180°－40°－α

＝1