2.5 二次函数的应用2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

第三章二次函数3.5二次函数的应用第1课时

几何图形的最大面积学习目标学习重难点能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.难点重点1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.探究新知问题如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40m，AE=30m，（1）如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y有最大值?最大值是多少？

在上面的问题中，直角三角形不变，如果把矩形改为如图所示的位置，B，C在斜边上，A，D分别在两条直角边上，那么矩形ABCD的最大面积是多少？你是怎样知道的？思考·交流

一般地，当a>0(a<0)时，抛物线

y=ax2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说当

时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值

.如何求出二次函数

y=ax2

+

bx+c的最小（大）值？总结典例精析例

用总长为

60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积

S随矩形一边长

l的变化而变化.当

l是多少米时，场地的面积S最大？即

S=-l2+30l(0<l<30).S=l(30-l),解：根据题意得

也就是说，当

l是

15m时，场地的面积

S最大.矩形周长为60m一边长为lm,另一边长为(30-l)m变式

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为lm，菜园的面积为Sm2，

因为0<l≤18，所以l=18时，S取得最大值，即当矩形的长为21m，宽是18m时，菜园的面积最大，最大面积为378m2.

当

l<30时，S随

l

的增大而增大，总结1用二次函数解决实际问题的一般步骤1.审：仔细审题，厘清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.归纳2二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

课堂练习1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是

.2.如图2，在△ABC中，

∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过

秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图233.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x).即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。第三章二次函数3.5二次函数的应用第2课时

最大利润问题

学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.学习重难点能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.难点重点探究新知服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5000件，并且表示单价每降0.5元，愿意多购进500件。厂家将批发单价定为多少时可以获利最多?厂家将批发单价定为12元时可以获利最多。尝试·思考还记得本章前面研究过的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(单位：棵)与橙子总产量y(单位：个)的二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。(1)在右图中画出这个函数的图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上?增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子总产量在60400个以上。求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出.总结典例精析例y=(160+10x)(120-6x)某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，则当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.=－60(x－2)2+19440.∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).课堂练习1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为

元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简）y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)3.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式法求最大值或利用函数图象和性质求出.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。第三章二次函数2.5二次函数的应用第3课时

抛物线形问题

学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．学习重难点掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．难点重点课时导入前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，最大利润问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”形问题.探究新知如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部AB宽为4

m，顶部C距地面的高度为4.4

m。（1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数的表达式;（2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65m，装货宽度为2.4

m，那么这辆汽车能否顺利通过大门?解：（1）以AB所在直线为x轴，以过点C垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系。设抛物线的表达式为y=ax²+k。∵AB=4m,点C到AB的距离为4.4m，∴点C,B的坐标为C(0,4.4),B（2,0）。代入求出a=-1.1,k=4.4。∴抛物线的表达式为y=-1.1x²+4.4。（2）当x=1.2时，y=2.816＞2.65,所以汽车能顺利通过大门。尝试·思考在上面的问题中，如果装货宽度为24m的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少(结果精确到0.01m)?总结解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式;(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上.例如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点,其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米.(1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式.(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少?(1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0,2),∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a=-,故y与x的函数解析式为y=-(x-6)2+2.6.(2)当x=9时,y=-(x-6)2+2.6=2.45>2.43,所以球能过球网;当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,解得:x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),故会出界.解：(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得此时二次函数解析式为y=-(x-6)2+,

此时球若不出边界，则h≥；当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43),

抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得此时球要过网，则h≥,故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥-.

解决抛物线形运动问题时,要会根据图的特点,建立恰当的坐标系,由抛物线图象读出最大高度和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式,并解决问题.总结课堂练习1.发射一枚炮弹，经过

x

秒后炮弹的高度为

y

米，x，y

满足

y=ax2+bx，其中

a，b

是常数，且

a≠0.若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是第

秒.10解：∵x取6和14时y的值相等，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=（6+14）÷2=10，即炮弹达到最大高度的时刻是第10

秒．

2.

如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.43.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：