19华杯赛试题及答案

19华杯赛试题及答案一、填空题（每题5分，共25分）1.计算：2023×2024-2023²=________。（5分）2.一个自然数加上100是一个完全平方数，加上168也是一个完全平方数，这个自然数是_______。（5分）3.在1到100之间，所有能被3整除但不能被5整除的数的和是_______。（5分）4.一个长方形的周长是20厘米，长和宽都是整数厘米，那么这个长方形的面积最大是_______平方厘米。（5分）5.一个三位数，它的十位数字比个位数字大3，百位数字比十位数字大3，这个三位数是_______。（5分）二、选择题（每题5分，共25分）1.下列各数中，最大的数是（）A.2/3B.0.666...C.66.6%D.0.672.一个正方形的边长增加20%，那么它的面积增加（）A.20%B.40%C.44%D.60%3.下列说法中，正确的是（）A.两个质数的和一定是偶数B.两个质数的积一定是合数C.两个质数的差一定是质数D.两个质数的商一定是质数4.一个水池有甲、乙两个进水管和一个排水管。单开甲管，6小时可将空池注满；单开乙管，4小时可将空池注满；单开排水管，12小时可将满池水排完。如果三管齐开，注满空池需要（）A.3小时B.4小时C.5小时D.6小时5.一件商品先提价20%，再降价20%，现价比原价（）A.降低了4%B.降低了20%C.降低了40%D.没有变化三、计算题（每题10分，共20分）1.计算：1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90。（10分）2.计算：999×222+333×334。（10分）四、应用题（每题10分，共20分）1.甲、乙两人从相距60千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。一只狗与甲同时出发，每小时行10千米，遇到乙后立即返回，遇到甲后又立即返回，如此往返，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？（10分）2.某校六年级有三个班，一班比二班多3人，二班比三班多3人。三个班共有图书360本，一班图书数的1/4与二班图书数的1/5和三班图书数的1/6相等。三个班各有多少本图书？（10分）五、综合题（每题10分，共10分）1.有一个长方形，它的长和宽都是整数厘米。如果将它的长和宽分别增加2厘米，那么面积增加40平方厘米；如果将它的长和宽分别减少2厘米，那么面积减少28平方厘米。求这个长方形原来的长和宽。（10分）答案及解析一、填空题1.2023解析：2023×2024-2023²=2023×(2024-2023)=2023×1=2023。常见错误：直接计算2023×2024和2023²，导致计算量大且容易出错。2.156解析：设这个自然数为x，则有x+100=a²，x+168=b²，其中a和b为正整数。则b²-a²=68，即(b-a)(b+a)=68。68的因数对有：(1,68)、(2,34)、(4,17)。由于b和a都是正整数且b>a，所以：-b-a=1，b+a=68，解得b=34.5，a=33.5，不是整数，舍去。-b-a=2，b+a=34，解得b=18，a=16。-b-a=4，b+a=17，解得b=10.5，a=6.5，不是整数，舍去。所以b=18，a=16，x=a²-100=256-100=156。验证：156+100=256=16²，156+168=324=18²，符合题意。常见错误：没有正确利用因数分解的方法，导致无法找到合适的解。3.1683解析：在1到100之间，能被3整除的数有3,6,9,...,99，共33个，它们的和为(3+99)×33/2=1683。能被3和5同时整除的数即能被15整除的数有15,30,45,60,75,90，共6个，它们的和为(15+90)×6/2=315。所以能被3整除但不能被5整除的数的和为1683-315=1368。常见错误：直接计算能被3整除的数的和，而忘记减去能被15整除的数的和。4.24平方厘米解析：设长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则2(a+b)=20，即a+b=10。长和宽都是整数厘米，所以可能的组合有：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)。对应的面积分别为：9、16、21、24、25。所以面积最大为25平方厘米。常见错误：没有考虑所有可能的长和宽的组合，或者错误地认为长和宽越接近面积越大。5.963解析：设个位数字为x，则十位数字为x+3，百位数字为x+6。这个三位数为100(x+6)+10(x+3)+x=100x+600+10x+30+x=111x+630。由于这是一个三位数，所以x+6≤9，即x≤3。又因为x是数字，所以x可以是0、1、2、3。当x=3时，三位数为111×3+630=333+630=963。常见错误：没有正确设定变量，或者没有考虑到x+6必须小于等于9的限制。二、选择题1.B解析：将各数转换为小数形式进行比较：A.2/3≈0.6667B.0.666...=0.666...（无限循环）C.66.6%=0.666D.0.67=0.6700比较可得：0.666...>0.6700>0.6667>0.666，所以B最大。常见错误：没有将各数转换为相同形式进行比较，或者对小数循环的概念理解不清。2.C解析：设原正方形的边长为a，则原面积为a²。边长增加20%后，新的边长为a×(1+20%)=1.2a。新的面积为(1.2a)²=1.44a²。面积增加的比例为(1.44a²-a²)÷a²=0.44=44%。常见错误：误认为面积增加的比例与边长增加的比例相同，或者错误计算了新的面积。3.B解析：A.两个质数的和不一定是偶数，例如2+3=5是奇数。B.两个质数的积一定是合数，因为合数是指大于1的非质数，两个质数的积大于1且除了1和它本身外还有其他因数（这两个质数）。C.两个质数的差不一定是质数，例如5-3=2是质数，但7-3=4不是质数。D.两个质数的商不一定是质数，例如3÷2=1.5不是整数，更不是质数。常见错误：忽略了2是唯一的偶质数这一特殊情况，或者对质数和合数的概念理解不清。4.A解析：设水池的总容量为1。甲管的注水速度为1/6（池/小时），乙管的注水速度为1/4（池/小时），排水管的排水速度为1/12（池/小时）。三管齐开时的净注水速度为1/6+1/4-1/12=(2/12+3/12-1/12)=4/12=1/3（池/小时）。所以注满空池需要1÷(1/3)=3小时。常见错误：没有正确计算净注水速度，或者错误地认为三管齐开的速度是三管速度的简单相加。5.A解析：设原价为x，提价20%后的价格为x×(1+20%)=1.2x。再降价20%后的价格为1.2x×(1-20%)=1.2x×0.8=0.96x。现价比原价降低了(x-0.96x)÷x=0.04=4%。常见错误：误认为提价和降价的比例相同，所以现价与原价相同，或者错误计算了降价后的价格。三、计算题1.9/10解析：原式=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90可以将每一项拆分为两个分数的差：1/2=1-1/21/6=1/2-1/31/12=1/3-1/41/20=1/4-1/51/30=1/5-1/61/42=1/6-1/71/56=1/7-1/81/72=1/8-1/91/90=1/9-1/10所以原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+(1/7-1/8)+(1/8-1/9)+(1/9-1/10)=1-1/10=9/10常见错误：没有发现分数可以拆分为两个分数的差，导致计算复杂且容易出错。2.333333解析：原式=999×222+333×334=333×3×222+333×334=333×(666+334)=333×1000=333000常见错误：没有发现999和333的关系，或者没有正确提取公因数333，导致计算复杂且容易出错。四、应用题1.60千米解析：甲、乙两人相向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4千米/小时，所以两人的合速度为5+4=9千米/小时。两地相距60千米，所以两人相遇的时间为60÷9=20/3小时。狗的速度为10千米/小时，所以狗跑的总路程为10×(20/3)=200/3≈66.67千米。常见错误：试图计算狗每次往返的距离，导致计算复杂且容易出错。实际上，只需要计算狗跑的总时间即可。2.一班有168本，二班有150本，三班有142本。解析：设三班有x本图书，则二班有x+3本，一班有x+6本。根据题意，一班图书数的1/4与二班图书数的1/5和三班图书数的1/6相等，所以：(x+6)×1/4=(x+3)×1/5+x×1/6解这个方程：(x+6)/4=(x+3)/5+x/6两边乘以60（4、5、6的最小公倍数）：15(x+6)=12(x+3)+10x15x+90=12x+36+10x15x+90=22x+3690-36=22x-15x54=7xx=54/7≈7.71这与题目中图书数应该是整数矛盾，说明我的方程有误。重新理解题意："一班图书数的1/4与二班图书数的1/5和三班图书数的1/6相等"，应该是指：一班图书数的1/4=二班图书数的1/5=三班图书数的1/6设这个相等的值为k，则：一班图书数=4k二班图书数=5k三班图书数=6k三个班共有图书360本，所以：4k+5k+6k=36015k=360k=24所以：一班图书数=4×24=96本二班图书数=5×24=120本三班图书数=6×24=144本检查人数关系：一班比二班多3人，二班比三班多3人，与图书数无关，所以图书数的分配是正确的。常见错误：没有正确理解题意，导致方程建立错误。或者虽然正确理解了题意，但在解方程时计算错误。五、综合题1.长为8厘米，宽为4厘米。解析：设长方形原来的长为a厘米，宽为b厘米。根据题意，将长和宽分别增加2厘米后，面积增加40平方厘米，所以：(a+2)(b+2)-ab=40ab+2a+2b+4-ab=402a+2b+4=402a+2b=36a+b=18（方程1）将长和宽分别减少2厘米后，面积减少28平方厘米，所以：ab-(a-2)(b-2)=28ab-(ab-2a-2b+4)=28ab-ab+2a+2b-4=282a+2b-4=282a+2b=32a+b=16（方程2）方程1和方程2矛盾，说明我的理解有误。重新理解题意："如果将它的长和宽分别减少2厘米，那么面积减少28平方厘米"，可能是指减少后的面积为ab-28，而不是面积减少了28平方厘米。所以应该是：(a-2)(b-2)=ab-28ab-2a-2b+4=ab-28-2a-2b+4=-28-2a-2b=-32a+b=16（方程2）从方程1：a+b=18从方程2：a+b=16仍然矛盾，说明我的理解还是有误。再次重新理解题意："如果将它的长和宽分别减少2厘米，那么面积减少28平方厘米"，应该是指面积减少了28平方厘米，即：ab-(a-2)(b-2)=28ab-(ab-2a-2b+4)=28ab-ab+2a+2b-4=282a+2b-4=282a+2b=32a+b=16（方程2）从方程1：a+b=18从方程2：a+b=16仍然矛盾，说明题目本身可能有矛盾，或者我的理解还是有误。让我再尝试另一种理解："如果将它的长和宽分别减少2厘米，那么面积减少28平方厘米"，可能是指面积减少了28平方厘米，但前提是长和减少2厘米后仍然是正数，且长和宽的减少不是同时的，而是只减少一个维度。在这种情况下，有两种可能：1.只减少长2厘米，面积减少2b平方厘米。2.只减少宽2厘米，面积减少2a平方厘米。根据题意，这个减