江苏南京师范大学附属中学树人学校2026-2027学年九年级第一学期9月练习 数学学科（含解析）

2026—2027学年度第一学期九年级9月练习数学学科（分值：150分时长：120分钟日期：2026年9月）一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案．【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意．选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意．选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意．选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意．2.用配方法解方程时，原方程应变形为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案.【详解】原式=故答案选B.本题考查的是一元二次方程的解法，能够熟练掌握配方法是解题的关键.3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.故选D.“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.4.如图，是的外接圆，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系结合等腰三角形求内角即可．【详解】如图所示，连接，易知，又是等腰三角形，所以．5.对于反比例函数，下列说法正确的是（）A.图象经过点B.图象位于第二、四象限C.当时，随的增大而减小D.当时，随的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可．【详解】解：∵当时，，∴A错误；∵，∴反比例函数图象位于第一、三象限，∴B错误；∵，当时，函数图象在第三象限，∴随的增大而减小，∴正确；∵，当时，函数图象在第一象限，∴随的增大而减小，不是增大，∴错误．6.如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（）A.8cm B.4cm C. D.【答案】D【解析】【分析】过圆心，作，根据垂径定理得出，根据图示得出，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过圆心，作，则在中，，，∴，∴,故选：D．本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．7.设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（）．A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值．【详解】解：当时，y的最大值为，，，，对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小，在区间，x取最小值时y取得最大值，将代入，得，即反比例函数为，在区间中，x取最小值2时y取最大值．8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（

）A.9 B.12 C.16 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过B作轴于E，轴于F，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解．【详解】解：过B作轴于E，轴于F，，四边形是矩形，，，，，又四边形是正方形，，，，，四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，，解得，点的坐标为，，，故选：C．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.方程的根是_____．【答案】，【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∴，，故答案为：，．10.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______．【答案】2.4【解析】【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键.根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案．【详解】解：设，把代入得：，反比例函数的解析式为，当时，，当时，，当电流I从增加到时，电阻R减小了故答案为2.4．11.如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________．【答案】【解析】【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可．【详解】解：点，的纵坐标相同，线段平行于轴，且中点横坐标为，线段的垂直平分线为直线，的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，设外接圆圆心坐标为，点到点、的距离相等，且，，，，，，，，外接圆圆心坐标为，外接圆半径．12.如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为______°．【答案】72【解析】【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由四边形内角和为360°可得出∠AOB＝72°．【详解】连接OC，∵AO＝OC，OC＝OB，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC，∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°，∴∠AOB+2∠ACB＝360°，又∵∠ACB＝2∠AOB，∴5∠AOB＝360°，∴∠AOB＝72°，故答案为：72．本题考查了求扇形的圆心解，等腰三角形的性质，四边形内角和等知识，掌握这些知识是关键．13.如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______．【答案】26【解析】【分析】利用切线长定理进行求解．【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点，∵内切于四边形，即是的切线，∴，∴，∴四边形的周长为．14.如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________．【答案】4【解析】【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出．【详解】解：如图：连接，∵点是的中点，∴，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴．15.若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，∴故答案为：6．16.如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切.由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围．【详解】解：直线的解析式为，直线与轴正半轴的夹角为，当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径，设切点为，连接，，，，，是等腰直角三角形，，由勾股定理得，当直线与轴正半轴相交且相切时，，即，同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即，直线与有公共点，点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是．17.规定：对于任意实数、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．【答案】且【解析】【分析】根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案．本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式．【详解】解：∵，∴，即，∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，且，解得：且，故答案为：且．18.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________【答案】【解析】【分析】延长交于点，连接，，，，根据垂径定理推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用直角三角形的性质求出和的长，即可求解．【详解】解：延长交于点，连接，，，，如图，∵，为弧的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴点关于的对称点为点，∴，∴，当，，三点共线时，最小，最小值为的长，∵，，∴，故在中，，∵，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．三．解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：，∴，∴，∴，∴，；【小问2详解】解：，，，，，∴或，∴，．本题考查解一元二次方程．根据方程特点选择合适的方法求解是关键．20.如图所示，是的直径，、在上，，求证：．【答案】证明：连接，，，．，．．．【解析】【分析】作辅助线半径，先用平行线性质得到两组角相等，再利用半径相等得到等腰三角形底角相等，等量代换证明两个圆心角，最后用圆心角、弦的关系证弦相等．【详解】略21.已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识．（1）计算，根据题意得到，即，得到；（2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出．【小问1详解】解：，∴，∵关于的一元二次方程有实数根，∴，即，∴；【小问2详解】解：设方程的两个实数根分别为，，∴，∵，∴，∴，∴．22.内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使；（2）在图2中的圆上找一点，使得平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知；（2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，点F即为所求：23.某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出______件；（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】（1）8（2）每件童装应降价元．【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．（1）根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，即可得到结果；（2）设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．【小问1详解】解：根据题意得：（件），则平均每天就可多售出8件；故答案为：8；【小问2详解】解：设每件童装应降价元，根据题意得：，整理得：，即，解得：或，根据题意得到扩大销售量，增加盈利，减少库存，故舍去，∴每件童装应降价元．24.如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．（1）若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．（2）若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．【答案】（1）AB＝4，BC＝3（2）AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4【解析】【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可．（2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出满足题意的方案．【小问1详解】根据题意得：，即．代入得：，整理得：．解得：或．当时，，不符合题意；当时，，符合题意．则AB=4,BC=3．【小问2详解】根据题意得：，即．∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且．∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．（1）求k2，n的值；（2）请直接写出不等式k1x+b＞的解集；（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A'B、A'C，求△A'BC的面积．【答案】（1）k2＝﹣6，n＝3；（2）x＜﹣2或0＜x＜3；（3）△A'BC的面积为6．【解析】【分析】（1）将A点坐标代入y＝求得k2，然后代入B（−2，n）即可求得n；（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；（3）求出对称点坐标，根据S△A'BC＝S△A'AB-S△A'AC即可求面积．【详解】（1）将A（3，﹣2）代入y＝，得k2＝﹣6．∴y＝﹣，将（﹣2，n）代入y＝﹣，求得n＝3．∴k2＝﹣6，n＝3；（2）根据函数图象可知：不等式k1x+b＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜3；（3）如图，将A（3，﹣2），B（﹣2，3）代入y＝k1x+b，得k1＝﹣1，b＝1，∴一次函数的关系式为y＝﹣x+1，与x轴交于点C（1，0）∴图象沿x轴翻折后，得A′（3，2），S△A'BC＝S△A'AB-S△A'AC＝（3+2）×4﹣×4×（3﹣1）＝6∴△A'BC的面积为6．本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．26.如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点．（1）求证：是的切线；（2）当，，时，求的长．【答案】（1）证明：连接，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴又∵为的半径，∴为的切线；（2）【解析】【分析】（）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证；（）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解．【小问1详解】略【小问2详解】解：连接，如图所示：∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．27.定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．（1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________；（2）若关于的一元二次方程有衍生点．①求实数的取值范围；②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值；（3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值．【答案】（1）（2）①且；②或（3），【解析】【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．（1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标；（2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可；②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方